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Viele Lösungen zu aktuellen Übungen und Altklausuren sowie zu allgemeinen Lösungswegen findet ihr in meinem YouTube-Kanal. Viele der Videos kamen durch Anfragen von Studierenden zustande. Ist zum Beispiel eine Hausübung oder alte Klausuraufgabe unklar, kann ich ein Video dazu drehen, in dem alles erklärt wird.

Im folgenden eine Übersicht von allen meinen bisherigen Videos, nach Themengebieten sortiert. Innerhalb jeden Themengebietes sind die Videos dann chronologisch sortiert, die neuesten Videos also immer unten in jedem Abschnitt.

Videos können über facebook (z. B. Gruppe dischinger-repetitorium) oder E-Mail nachgefragt werden.

  YouTube-Kanal

 

Mathematik

 


1) Polynomdivision, Horner Schema

Mathe1, Polynomdivision mit dem Hornerschema, Beispiel http://youtu.be/h-TmBhsygIw
Ein Beispiel zum Hornerschema mit zwei Hornerfaktoren ohne jede weitere Schwierigkeit.

 

 


2) Ungleichungen:

Mathematik 1, Ungleichung
 http://youtu.be/1ShdWLilJds
Der linke Teil der Ungleichung ist einfach: x Betrag größer 1/4.
Der rechte Teil der Ungleichung wird in drei Fälle aufgeteilt:
1) Für x größer 2 sind die Betragszeichen weg, der Nenner positiv und wird hochmultipliziert. Kubische Gleichung, eine Nullstelle raten, Satz von Vieta, Hornerscheme, in drei Linearfaktoren aufspaltbar.
2) Für 0 kleiner x kleiner 2 dreht sich die Ungleichheitsrelation um, die kubische Gleichung ändert also nur ihr Vorzeichen.
3) Für x kleiner 0 drehen sich die Betragszeichen um, es entsteht eine neue kubische Gleichung, Vieta und Horner.
Am Ende müssen die drei Lösungsmengen der rechten Ungleichung vereinigt werden, das Ergebnis dann mit der ersten Lösungsmenge geschnitten.

Mathematik1, Ungleichung Nr.21
 http://youtu.be/Pd2nxmMX8HA
Eine verhältnismäßig einfache Ungleichung: Definitionsbereich ist ganz R, das erste Quadrieren ist unproblematisch, da beide Seiten positiv sind. Das nächste Quadrieren erfordert dann eine Fallunterscheidung, für positive x ist die Ungleichung immer wahr, da negativ kleiner als positiv. Für negatives x kann nochmal quadriert werden, x kleiner - Wurzel 6 oder x größer - Wurzel 2 ist dann die Lösungsmenge.

Mathematik1,Ungleichung:
 http://youtu.be/P1sVMiEaCSM
Definitionsbereich klären, für x größer 0 sofort mit x malnehmen, x größer gleich -11/8 führt auf L1: x größer Null.
Jetzt x kleiner Null, einfach Ungleichheitsrelation umdrehen, x kleiner -11/8 ist ebenfalls Lösung.

Mathe1,Klausur,Ungleichung:
 http://youtu.be/cJXjktpHbcY
Fallunterscheidung, x größer -1, Beträge weg, alles ausmultiplizieren, x-1 ausklammern, bleibt positiver quadratischer Term übrig, den man kürzen kann: L1 : X größergleich 1. Fall 2: x kleiner -1: Aufpassen, Betragszeichen liefert - links, Multiplikation mit x+1 dreht die Relation um, Rest analog eben, L2: x kleiner -3, L = L1 Union L2.

Ss16, A1c                                                                                                                                https://youtu.be/vP-4MpkHaAw
linke Seite Wurzek ziehen, Kreis um -4 mit Radius 5, also alle Zahlen außerhalb -1 und 9, diese Punkte inbegriffen. Rechte Seite dritte binomische Formel, dann Fallunterscheidung x+1 größer, gleich oder kleiner Null, im ersten Fall werden die Betragszeichen weggelassen und x+1 rausgekürzt, im zweiten Fall steht auf beiden Seiten Null, also wahr, im dritten Fall Minuszeichen bei Auflösen der Betragszeichen und Umkehr der Ungleichrelation bei Division mit x+1. Dann Zusammenfassen der Lösungsmengen.



3) Analytische Geometrie, Gleichungssysteme:

Höma1 H1:
 https://youtu.be/CBx814bW45A
a) zwei parallele Ebenen schneiden sich nicht
b) die Normalenvektoren sind linear abhängig, je zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, die drei Schnittgeraden sind aber alle parallel, also schließen die drei ebenen ein unendlich langen, dreieckförmigen Gang ein.

Höma2, H2:
 http://youtu.be/6UAbpjbniw0
3 Gleichungen mit drei Unbekannten, Lösungsmenge ist die Leermenge. Schnitt dreier Ebenen, die Normalenvektoren sind linear abhängig, liegen in einer Ebene, sind also komplanar. Schneidet man nun E1 mit E2, erhält man die Gerade G1, E2 mit E3 ergibt G2, E3 mit E1 ergibt G3. Die Geraden G1,G2,G3 sind parallel und bilden die Ecken eines unendlich langen, dreieckigen Ganges. Man kann auch noch dessen Fläche bestimmen. Es gibt also keinen Punkt, der zu allen drei Ebenen gleichzeitig gehört.

Mathe2, 1.Hausaufgabe, 1.1 und 1.2:
 http://youtu.be/2jf49KHXBEA
mit Gauß auf Diagonalenform bringen, für be ungleich 3, -3 eindeutig lösbar, für be = 3 ga = 0 komme eine Gerade raus, für andere Ga unlösbar, füt be =-3 kommt eine andere Gerade raus, wenn ga -12 ist.
Mathe 2, 1.Hausaufgabe 1.3 http://youtu.be/mYIK8ro2vx4
Geraden gleichsetzen ergibt s=1 und t=-2, einsetzen ergibt Schnittpunkt, dann Ebene in Parameterform hinschreiben, G1 mit Differenzvektor als zweiten Richtungsvektor, Kreuzprodukt bilden ergibt Normalenvektor, normieren und Gleichung malnehmen ergibt Hesseform der gesuchten Ebene.

 


4) Vollständige Induktion;

Höma1, vollständige Induktion:
 http://youtu.be/QmU6bYvgJqA
Eine typische Aufgabe zur vollständigen Induktion: Zerst mal den formalen Aufbau der Induktion mit Induktionsanfang, Induktionsvorraussetzung und Induktionsschluss ordentlich aufschreiben. Den Induktionsschluss umformen mit Umkehrfolgerungen, also Vergrößern der kleineren oder Verkleinern der größeren Seite. Zunächst die Induktionsvorraussetzung einsetzen. Dann die Terme zu
(1+1/m)^m zusammenfassen, Term geht übrigens gegen die Eulerzahl e. Dann Binominalkoeffizienten des pascaldreiecks einführen und ausmultiplizieren, die ersten beiden Terme liefern die erforderliche 2, der Rest wird weggeschätzt.

n! größer 2 hoch n-1 mal n-2 zum Quadrat                                                                                      https://youtu.be/s8VcLhDrHu4
Induktionsanfang klappt erst für n=6, 720 größer 512, IV, IS und dann solange umformen, bis eine wahre Aussage entsteht. Umkehrfolgerung bedeutet Verkleinern der größeren Seite.

 


5) Komplexe Zahlen:

komplexe Zahlen, Aufgabe9
 https://www.youtube.com/watch?v=TkO0J-C9BQI 
Zwei Gleichungen, die linke Gleichung ist einfach, mit der quadratischen Ergänzung ergibt sich das innere eines Kreises, Mittelpunkt x=0, y=1 Radius r=1. Der rechte Teil wird auf den Hauptnenner gebracht und konjugiert erweitert, die Gleichung quadriert, viele Terme heben sich raus, dann kann der Term x²+y² ausgeklammert und weggekürzt werden, übrig bleibt x größer gleich 1/2.

 



6) Folgen


Mathe1, Folge mit epsilon-delta Nachweis
 http://youtu.be/yWIfPTgbk_s
Zuerst wird der Grenzwert gebildet und Betrag von an-g hingeschrieben. Term auf Hauptnenner bringen, Betragszeichen im Zähler können hier sofort entfallen, alles in höchste Potenz umwandeln. Im Nenner Vorzeichen in den Betragszeichen rumdrehen und Hälfte der führenden Potenz abziehen. Dann Term großzügig noch weiter vergrößern und Vereinfachen, ergibt N von Epsilon. Schlusssatz nicht vergessen - und eine genaue Begründung, warum die Betragszeichen im Nenner entfallen, bitte diese hier noch einmal gut ansehen, ohne diese Begründung sind die Punkte weg in der Klausur.

Mathematik1,Folge,epsilon-n-Nachweis
 http://youtu.be/6sybP4KM1FA
Folge, Grenzwert bestimmen durch weglassen der kleinen Terme, Betrag von an-g bilden, auf Hauptnenner bringen, oben kürzt sich höchste Potenz weg, oben Dreiecksungleichung, dann alles auf höchste Potenz bringen und aufaddieren, unten Teil der höchsten Potenz abziehen, dabei Nebenrechnung und erklären, warum die Betragsstriche weg sind, dann zusammenfassen und nach n auflösen, Schlusssatz hinschreiben.

Mathe1,Aufgabensammlung1,Seite5,Nr3:
 http://youtu.be/26AQVBEqxGs
Nullfolge: sin x wird durch sein Argument vergrößert, gilt für alle positiven x. Danach n³ kürzen, im Nenner Hälfte der höchsten Potenz abziehen, die übliche Nebenrechnung mit Begründung, warum Betrag auch im Nenner entfällt, Auflösen nach n und Schlusssatz.

Mathe1,Aufgabensammlung,Seite6,Nr19
 http://youtu.be/fVKawbISbS4
ln n+1 wird zu n vergrößert, der tanh ist kleiner 1 und kann leicht weggeschätzt werden. Die Abschätzung des ln wird mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung nachgewiesen. Dann wieder im Nenner Hälfte der höchsten Potenz abziehen, übliche Nebenrechnung und Begründung, warum Betragsstriche im Nenner entfallen. Nach n auflösen, Schlusssatz.

Mathe1,Aufgabensammlung1,Seite7,Nr10:
 http://youtu.be/4sPYAQTMCH0
Mit ln Gesetzen einen ln mit einem großen Bruch dahinter erzeugen, konjugiert erweitern, Bruch durch n² kürzen, Ergebnis ln2. Zweiter Teil wird nachgereicht.

Mathe1,Aufgabensammlung,1,Seite7,Nr.10f:
 http://youtu.be/4uQ7DKlm8uk
konjugiert Erweitern, durch n hoch 5/2 kürzen, Wurzel betha² = betha Betrag, Zähler geht gegen - betha², Nenner gegen 2 mal betha betrag+1

Mathe1, Aufgabensammlung, Seite8, Nr.14:
 http://youtu.be/jhvTsYBd2Ls
rekursiv definierte Folge, als Grenzwerte kommen 0, 1 oder 2 in frage, wegen a1=1/2 eigentlich nur 0 und 1, weil a2 kleiner a1, setzen wir auf monoton fallend und untere Schranke Null, zeigen ersteres durch äquivalente Umformung, für 0 kleiner an kleiner 1 wahr, und letzteres zeigen wir mit vollständiger Induktion. Ist eine rekursiv definierte Folge eine Nullfolge, liefert das Quotientenkriterium häufig eine sehr bequeme Alternative, die hier zwar geht, aber kaum Arbeit einspart, da 0 kleiner an kleiner 1 auch dann noch gezeigt werden muss.

Mathe1, Klausur, rekursiv definierte Folge:
 http://youtu.be/yw5z0FtaRfY
Normale rekursiv definierte Folge, Grenzwert ist -5, beweisen, dass an monoton fällt und dass -5 untere Schranke ist, Schlusssatz schreiben, keine Fallen, Haken oder sonst was.

Mathe1, Klausur, Folge mit Betha:
 http://youtu.be/g8I71flOh0c
Die 2 in die erste Wurzel reinmultiplizieren. 4 betha muss dann 1 sein, damit sich die führenden Potenzen wegheben. Also betha = ¼. Konjugiert erweitern ergibt den Grenzwert 8.

Mathe1,Klausur, Folge mit epsilon-N-Nachweis
 http://youtu.be/vPeTimbD3kc
Den Betrag von an-g = an+3 auf Hauptnenner bringen, Im Nenner Hälfte der führenden Potenz abziehen, in Nebenrechnung zeigen, warum n²/2 größer als 10 ist, Begründung, warum Betragszeichen wegfallen, hier unbedingt erforderlich, im Zähler ist dies hier trivial. Dann weiter vergrößern und nach n auflösen, N von Epsilon ist dann das Maximum aus 3 und dem Ergebnis der Rechnung. Beim Schlusssatz, hier nicht gefragt, wichtig, dass es für jedes Epsilon größer 0 gelten muss.


SS16, A2c, Folge mit Fallunterscheidung für k                                                                                   https://youtu.be/xVLPsa7SMMM
Zähler und Nenner durch Wurzel n teilen, im Zähler bleibt Wurzel 2 übrig, für k größer gleich 3 geht der Nenner gegen unendlich, a=0, für n=2 geht der Nenner gegen 2, a = ½ Wurzel2, für k=1 geht der Nenner gegen Null, die Folge divergiert.

 


7) Reihen:

Mathe1, Klausur, Reihe mit Sinus
 http://youtu.be/Kve8qZqw24I
Für Betrag x größer 1 konvergent, Sinus gegen 1 abschätzen, für betrag x kleiner 1 konvergent, Sinus gegen Argument abschätzen, für x=1 konvergent nach Leibniz, Nullfolge, Monotonie zeigen, für x = -1 heben sich Minuszeichen weg, Reihe 1/k mit Minorantenkriterium erzeugen, divergent. Auf viele kleine formale Kleinigkeiten achten, lim beim Wurzelkriterium, die ganzen Betragszeichen usw., hier kann man trotz richtiger Idee schnell alle Punkte einbüßen durch kleine Fehler beim Aufschrieb.

Mathe1, Klausur, Reihe mit x hoch 2k:
 http://youtu.be/6mndzOUVD-I
Quotientenkriterium, x Betrag muss kleiner Wurzel 3 sein, +- Wurzel 3 mit dem notwendigen Kriterium nachweisen, weil dass Quotientenkriterium hier nicht greift.

Mathe1klausur,Reihe,konjugirt erweitern:
 http://youtu.be/hv5sUSRG5_c
konjugiertes Erweitern ergibt die Reihe 1/k hoch 1,5, die entweder aus der Vorlesung als konvergent bekannt oder mit dem Integralkriterium als konvergent nachgewiesen wird. Wie Urde das im Übungsbetrieb gezeigt, da Integrale zum Zeitpunkt der Reihen noch nicht behandelt waren, gibt es einen dritten Weg, die Konvergenz zu zeigen?

 

Reihe mit Partialbruchzerlegung                                                                                                     https://youtu.be/LKX32iSMdDI
Die Hauptschwierigkeit, den Term 4 n² + 8n +3 zu faktorisieren in  2n+1 mal 2n+3 , danach Partialbruchzerlegung, A, B durch Zuhalten ermitteln und Summe ausschreiben, ergibt den Wert  ½, wie in der Musterlösung angegeben.


Geometrische Reihe                                                                                                                    https://youtu.be/xZhj35O2x8Y
2 nach vorne ziehen, 3 hoch 2n ist 9 hoch n, 3 hoch 3n ist 27 hoch n. Weil die Reihe bei 1 losgeht, muss ein x vor die Reihe gezogen werden, danach erhält man 1 durch 1-x. Die Terme nachher wieder zusammenfassen.



8) Stetigkeit mit Epsilon-Delta-Nachweis


Mathematik1, Aufgabe zur Stetigkeit:
 http://youtu.be/twR0KG5eXF8
Mit Grenzwert: Ist der Grenzwert einer Funktion Null, so ist auch der Grenzwert von f Betrag Null, dann kann man ihn vergrößern und zeigen, dass er immer noch Null ist - was ohne die Betragsstriche nicht geht, er könnte negativ sein. Der cos wird dann gegen 1 abgeschätzt, die e-Funktion geht gegen e hoch Null = 1, der erste Term geht gegen Null, damit ist f stetig.
Mit dem Epsilon kann der cos auch gegen 1 abgeschätzt werden, aber die e-Funktion muss in einem beliebig gewählten Intervall um Null, x Betrag kleiner 1 z. B., gegen den ungünstigsten Wert abgeschätzt werden, das wäre e². Der Exponent von x kann kleiner gemacht werden, weil der Term dadurch größer wird, wenn x betraglich kleiner 1.

Stetigkeit der Funktion 1/x³ an beliebiger Stelle Xo:
 http://youtu.be/Q2uA3hKhROw
Hauptnenner, im Zähler X-Xo zum Betrag ausklammern und dann x abschätzen, im Zähler nach oben, im Nenner nach unten, dazu Intervall auswählen, zum Beispiel der Breite Xo Betrag halbe um Xo.

 

 


9) Differentialrechnung:

E-Test Ableitung von tan x:
 https://www.youtube.com/watch?v=osWtdrn2ph8 
tan x = sin x / cos x wird mit der Quotientenregel (z´n-n´z)/n² abgeleitet zu 1/cos²x oder 1+tan²x. Dann wird die Eulersche Identität der komplexen Zahlen erklärt und die Quotientenregel nochmal angewendet, bis wieder 1/cos²x entsteht.

Mathematik1,AufgabezurDiferenzierbarkeit.
 http://youtu.be/TQivQ8vKVXg
Nur der Nullpunkt ist kritisch, linksseitiger limes ist Null wegen Päckchen packen, rechtsseitiger auch Null, eine Runde mit L´Hospital, Form 0 durch 0. f(x) durch f(0)=0 stetig ergänzbar, die neue Funktion ist nicht differenzierbar: Links lim Differenzenquotient ergibt 1 über Päckchen packen, rechts einmal L´Hospital, durch x kürzen, ergibt 1/2, damit in Null nicht differenzierbar, sonst aber im gesamten Definitionsbereich schon als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen.

Mathe1,Aufgabe zur Differenzierbarkeit:
 http://youtu.be/fiYoBVwUvjM 
Funktion durch f(0) =0 stetig ergänzbar, linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten ist 4, für betha = +- Wurzel 8 ist auch links die Steigung 4. Einfaches Übungsbeispiel zum Päckchen packen, der ln von Wurzel e + x geht einfach gegen 1/2.

Mathe1,Klausur,Umkehrfunktion:
 http://youtu.be/CkX93HBOSKg
Zuerst mal Aufgabenstellung verbessern: da ist y = g, also entweder überall g oder überall y. Ich stelle erst mal fest, dass y streng monoton steigt, Injektiv ist und damit die Umkehrfunktion existiert, löse die Gleichung einfach nach x auf, erhalte e hoch Wurzel x und leite dann ganz normal mit Kettenregel ab. Ich zeige aber auch die Alternative: Satz über die Differenzierbarkeit der umkehrfunktion anwenden. Dann y=1 und x=e einsetzen.

 



10) Integralrechnung:

Mathe1 Steffensen, 4.Hausaufgabe, Aufgabe 4.2a:
 https://www.youtube.com/watch?v=XnMQemUPFjc 
Ein Integral aus zwei sich reproduzierenden Funktionen wird zweimal mit der partiellen Integration (=Produktintegration) behandelt, das Ursprungsintegral entsteht dann wieder auf der rechten Seite, und die Gleichung kann nach I aufgelöst werden. Welcher Term integriert wird, ist frei wählbar. Beachte das Video zur partiellen Integration. Es sind insgesamt drei Minuszeichen, eins aus der ersten partiellen Integration, eins aus der zweiten partiellen Integration und eins aus der Ableitung des cos 2x, also steht hinten insgesamt - 1/4 IntegralEs sind insgesamt drei Minuszeichen, eins aus der ersten partiellen Integration, eins aus der zweiten partiellen Integration und eins aus der Ableitung des cos 2x, also steht hinten insgesamt - 1/4 Integral.

Mathe1, Steffensen, 4.Hausübung, Aufgabe 4.2:
 https://www.youtube.com/watch?v=EB1OMHEJ_K4 
Substitution und partielle Integration: Zuerst wird der arsinh wegsubstituiert, dann eine partielle Runde und resubstituieren.

Mathe1, 4.Hausübung, Aufgabe 4.1:
 https://www.youtube.com/watch?v=DTuku7M1LPY 
Partialbruchzerlegung mit Integration: Multiplizieren mit dem Nenner ergibt ein Gleichungssystem, 4 Gleichungen für A,B,C,D, dann Lösen der Grundintegrale.

E-Test Mathe 1 Integration:
 https://www.youtube.com/watch?v=IpWVDx1UMxI 
Hier werden drei Aufgaben gelöst:
1) Integral ln²x dx
2) Integral lnx/x dx
3) Integral 1/Wurzel (-x²-4x-3)dx

Mathe1, Integral x hoch n mal lnx dx:
 http://youtu.be/zxlFKzRt0QM
Einmal partielle Integration und fertig, alternativ mit Substitution, auch danach 1 mal partielle Integration.

Mathe1, Integral mit partieller Integration:
 http://youtu.be/Xv_60QLy2Jw
Die e-Funktionen in 1/2 sinh x umwandeln, zwei partielle Runden in beliebiger, aber gleicher Richtung, es entsteht wieder das Ausgangsintegral, nach dem die Gleichung dann aufgelöst werden kann.

Mathe1,Klausur,Vater-Sohn:
 http://youtu.be/h-fFBoJWJTM
sin³x = sin x (1-cos²x), es entsteht das Integral –cos x hoch -5 + cos x hoch -3 mal – sin x, was durch scharfes hinsehen als Vater Sohn Integral integriert werden kann, Grenzen einsetzen, Plausibilitätskontrolle, Ergebnis muss zwischen 0 und Pi/4 liegen, da 0 kleiner f(x) kleiner 1.

Mathe1, Integral 1 durch 2 sinx cosx:
 https://youtu.be/8S0Kwz_RdR8
Zähler in cos² + sin² umformen, zwei Vater Sohn Integrale erzeugen, LN-Gesetze anwenden, oder die vorgeschlagene Substitution vornehmen, u = tan x, du = dx / cos²x.
Integral cosx dx durch sinx + sin³x https://youtu.be/GeL8cXNOlz4
Substitution sin x = z führt sofort zu einer Partialbruchzerlegung, A durch Zuhalten bestimmen, nach links rüber und auf Hauptnenner bringen, Grundintegrale hinschreiben, Logarithmen Gesetze anwenden und resubstituieren, Integrationskonstante nicht vergessen.

Flächenberechnung,Integration mit Schnittpunkten:
 https://youtu.be/V4bbAEftuX0
Zuerst eine Skizze mit den drei Funktionen machen und die zu berechnende Fläche schraffieren. Dann durch Gleichsetzung der jeweiligen Funktionen die Schnittpunkte x1, x2 ausrechnen. Bei Gleichsetzung der Wurzel mit der Hyperbel ist Quadrieren eine Folgerung, keine äquivalente Umformung, wodurch eine Lösung dazukommt. Diese kann einmal an Hand der Skizze als irreführend erkannt werden, einmal durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung, die dann wegen unterschiedlicher Vorzeichen nicht erfüllt wird. Jetzt die beiden Integrale von 0 bis 1 und von 1 bis 2 aufschreiben, neu zusammenfassen, integrieren und Grenzen einsetzen.

Partialbruch mit irreduziblem Polynom zum Qaudrat                                                           https://youtu.be/2AOXNkvoAnA
Da der Grad im Nenner höher ist als der Grad im Zähler, kann sofort mit der Polynomdivision begonnen werden. A durch Linearfaktor², B durch Linearfakror, Cx+D durch Irreduzibel² + Ex+F durch Irreduzibel, A wird durch Zuhalten bestimmt, ist ½, und links rüber gefahren, Hauptnenner, binomische Formeln, Linearfaktor läßt sich gleich zweimal wegkürzen, heißt B=0. Danach erste binomische Formel anwenden, und man ist sofort mit der Partialbruchzerlegung fertig, alternativ Koeffizientenvergleich, 4 Gleichungen, C01, D=0,  F=1/2 und E=0. Der Term mit dem Irreduziblen zum Quadrat ist ein Vater Sohn Integral wegen x² im Nenner und 2x im Zähler.

Partialbruch mit quadr. Linearfaktor plus irreduziblen Polynom                                              https://youtu.be/ddtdynNrBmk
Grad im Nenner höher als im Zähler, Nenner faktorisieren in x-1 zum Quadrat plus x²+2, A durch Zuhalten bestimmen, links rüberbringen und auf Haupnenner, durch x-1 kürzen, B durch Zuhalten bestimmen und Vorgang wiederholen. Cx+D fällt einem entgegen, dann noch das Integral lösen.


 

 


11) Volumenintegrale:

Halbkugel, Volumen und Schwerpunkt mit Dreifachintegral:
 https://youtu.be/9z4SjW4S4Og
Die Fläche r dr dtheta legt bei Rotation um die Vertikalachse den Weh r sin theta dphi zurück, somit erhält man Dv, Integration ergibt das Volumen, Multiplikation mit y = r cos theta ergibt den Schwerpunkt über Integral y dV / V. Ich kenne das als Kugelkoordinaten, nicht Zylinderkoordinaten.

 

 


12) Stetigkeit zweidimensionaler Funktionen

Mathematik2, Stetigkeit zweidimensionaler Funktion, Beispiel1:
 http://youtu.be/rbyvS8yLoWY
Mit einer Substitution wird das Problem in den Nullpunkt verlegt. Dann wird gezeigt, dass Betrag der Funktion kleiner als Wurzel aus x²+y² ist, danach kann die Stetigkeit einfach durch den lim für x,y gegen 0,0 gezeigt werden oder mit der Epsilon Delta Definition. Mit Polarkoordinaten ist der Nachweis der Stetigkeit dagegen grundsätzlich nicht möglich.

Standardbeispiel einer nicht stetigen Funktion:
 http://youtu.be/J1P9S_UnWp0
Die Funktion ist in jeder Richtung stetig, d.h. man kann alle Geraden in der x,y-Ebene untersuchen, die durch den Nullpunkt gehen, und immer ist der Grenzwert Null. Dies scheint schlüssig die Stetigkeit nachzuweisen. Geht man jedoch auf einer Parabel zum Ursprung, so stellt man fest, dass der Grenzwert 1/2 ist und die Funktion nicht stetig sein kann. Daraus folgt:
1) Mit Polarkoordinaten läßt sich niemals die Stetigkeit beweisen, wohl aber die Unstetigkeit, wenn die Grenzwerte für unterschiedliche Winkel differieren.
2) Das in den Übungen so gerne angewendete Folgenkriterium ist völlig überflüssig, weil der Grenzwert x gegen Null mit y = Funktion von x das selbe Resultat schneller bringt.

Vorrechenübung 8.1, Stetigkeit:
 http://youtu.be/ylc0ivkjaxg
Die Funktion ist stetig außerhalb des Nullpunktes. Es werden dann die Schnitte x=0, y=0 und x=y untersucht, die ersten beiden sind trivial Null, der 45 Grad Schnitt ist schwierig und erfordert eine Abschätzung mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Dann wird mit der gleichen Abschätzung der Stetigkeitsbeweis allgemein geführt, Epsilon - Delta.

Mathe2, Vortragsübung 8.2:
 http://youtu.be/uF4n5DWpcSQ
einfach y=0 setzen, f wird zu 1 durch x², geht bei Null gegen Unendlich, also kann f im Nullpunkt nicht stetig ergänzbar sein.
 
Mathe2, Vorrechenübung 8.3:
 http://youtu.be/w2fp965meag
y=0 setzen, Steigung ist 1, Funktion ist x, dann x = 0 ergibt Null, also partiell difbar, grad f = 1,0 . Dann Definition der Difbarkeit im Nullpunkt, y=x setzen, Grenzwert ist nicht Null, also nicht difbar.

Mathe 2, Differenzierbarkeit:
 http://youtu.be/xN9DrcDQYmQ
Eine Funktion wird auf Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit untersucht. X hoch 10 wird im Nenner weggelassen, y hoch 8 rausgekürzt, im Zähler bleiben x und y hoch 2 übrig, geht gegen Null, stetig, differenzierbar ebenfalls, dabei wird noch die Wurzel aus x hoch 2 + y hoch 2 einmal weggekürzt. grad ist 0,0 .

Garadient einer zweidimensionalen Funktion:
 https://youtu.be/euYAXr1ivTc
Einmal x einmal y als konstant ansehen und nach der anderen Größe ableiten. Ein Problem ist im Video noch verschwiegen - wenn ich so mit der Ableitungsfunktion argumentiere, dann muss ich vorher die Stetigkeit zeigen, weil die Funktion ja im Nullpunkt separat gegeben ist. Dieses Problem entfällt, wenn man statt der Ableitungsfunktion den Grenzwert des Differenzenquotienten bildet.

Differenzierbarkeit:
 https://youtu.be/x94hs3ps63o

 


13) Differentialgleichungen

E-Test zum Bernoulli:
 http://youtu.be/xptRBiaE5yc
Bernoulli: Als Kochrezept ohne Herleitung DGL mit y´, y und y hoch n, Faktor 1-n bilden, y = y hoch 1/ Faktor, rechte Seite mal Faktor, y´ wird zu z´, y zu z, und z hoch n fällt weg. Lineare DGL in z lösen, homogene DGL durch Trennung der Variablen, partikuläre DGL mit Variation der Konstanten. Aufgaben 3+4 sind einfache seperable DGLs.

Mathe2,4.HÜ, A4.1:
 http://youtu.be/77MAR0gO6yU

Mathe2, A4.2:
 http://youtu.be/nKT6yqiKppU
Seperable DGL, Definitionsbereich t€R, y betrag kleiner gleich 5, f stetig, Peano, Existenz, für y0ungleich 5,-5 eindeutig, Picard-Lindelöf, lipschitz-stetig, da partielle Ableitung nach y beschränkt, für y0 = 5 oder - 5 evtl. mehrdeutig. Trennung der Variablen, zwei Integrale lösen, Anfangsbedingungen einsetzen.

Mathe2,BernoulliDGL,n=0,5:
 https://youtu.be/z41NoGM0dXM
Bernoulli DGL, Definitionsbereich für x und y festlegen, Existenz nach Satz von Peano feststellen, mit Satz von Lindelöff-Picard ergibt sich eine eindeutige Lösung bei yo ungleich 0, für Anfangswerte yo=0 dagegen müßte man mit mehr als einer Lösung rechnen, da die partielle Ableitung der Funktion f (y,x) nach y nicht beschränkt ist, also nicht Lipschitzstetig.
Die Bernoulli Substitution ergibt eine lineare DGL in z, homogene Lösung durch Trennung der Variablen, partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten, Aufaddieren, y = x² ergibt y als Funktion von x, Randbedingung einsetzen ergibt die Integrationskonstante.

Lineare DGL mit Trennung der Variablen:
 https://youtu.be/F3L9bya-m0w
Definitionsbereich festlegen, y,t Element R ohne Einschränkung. Typ seperable DGL erkennen, Lösung durch Trennung der Variablen y und t. Integration, bei ln Betragszeichen, Integrationskonstante c Element R. e-Funktion auf beide Seiten loslassen, Vorzeichen der Betragszeichen zu e hoch c schlagen und +- e hoch c als k definieren, k ungleich Null. Dabei wurde Exponentialgesetz e hoch (a+b) = e hoch a mal e hoch b angewendet. Nach y auflösen und Anfangsbedingung einsetzen ergibt die Konstante k=1. Auf Äquivalenzzeichen achten.

Eulerverfahren, explizit, implizit, an wenig geeignetem Trivialbeispiel:
 https://youtu.be/CAFyCCnLz4s
Explizit: Startwert yo,to, Steigung ausrechnen, Gerade bis t1=to+h zeichnen, dort wieder Steigung ausrechnen. Formel also:          y1 = yo + h f (yo,to) usw.
Beim impliziten lautet die Formel:    y1 = yo + h f (y1,t1) ,
 wobei t1 bekannt ist, wieder to+h, aber y1 ist unbekannt und steht jetzt auf beiden Seiten der Gleichung.
Das Beispiel ist schlecht gewählt: y´ = y² sin t , Anfangsbedingungen yo=0, to=-3, Schrittweite h = 3+pi. Wegen yo = 0 ist die Steigung immer Null, so dass alle y-Werte immer wieder Null sind, sowohl beim expliziten als auch beim impliziten Verfahren. Auch die exakte Lösung ist die triviale y=0 Funktion.

Lineare DGL, partikuläre Lösung, zweifache Resonanz:
 https://youtu.be/bh7vDk4tpOw
keinen Cosinus enthält, ist auch hier der Eigenwert Null, somit doppelte Resonant. Ansatz in Form es Störglieds, also ao + a1 t + a2 t², und wegen doppelter Resonanz alles mit t² malnehmen, einsetzen in die DGL und Koeffizientenvergleich.


Mathe2, Aufgabe3, System von DGLs, zu Fuß entkoppelt:
 https://youtu.be/D-uWBS5HWiw
Erste Gleichung nach y2 auflösen, ableiten, beides in Gl. 2 einsetzen ergibt eine Gleichung in y1, alles auf eine Seite bringen, charakteristische Gleichung aufstellen, prüfen mit Invariantentheorie auf Rechenfehler, dann Lösung hinschreiben. Y1 ableiten, und alles in die oberste Gleichung einsetzen, die sofort y2 liefert. Das Lösen der charakteristischen Gleichung erfolgt mit der p-q-Formel.

Mathe2, Aufgabe4, DGL System mit Eigenvektrmethode:
 https://youtu.be/M9djp7fBDbc
Störfunktion weglassen, Ansatz Y = Vektor A mal e hoch Lambda t, ergibt det (A - Lambda E) = 0,wobei E = I = Einheits- oder Identitätsmatrix. Die charakteristaische Gleichung läßt sich verallgemeinern zu lambda² - Spur A * Lambda + det A = 0 und liefert hier die Eigenwerte 0 und 4. Setzt man diese in (A - Lambda E ) y = 0 ein, entstehen zwei linear abhängige Gleichungen, eine wegstreichen, ein y wählen, das andere ausrechnen, und an hat die Eigenvektoren und damit die homogene Lösung. Partikuläre Lösung mit Ansatz in Form des Störglieds und Koeffizientenvergleich, wegen einfacher Resonanz muss hier noch t² mit angesetzt werden. Das Gleichungssystem, 6 Gleichungen für a0,a1,a2,b0.b1,b2 lässt sich in zwei Gleichungen für a1, b1 umformen, a2, b2 bekommt man dann sofort, a0, b0 sind uninteressant, da schon in der homogenen Lösung enthalten.

Invariantentheorie bei System aus 3 DGLs mit reellen Eigenwerten                                                        https://youtu.be/6_lRc8U0B1w

Aus der Matrix A werden die 3 Invarianten bestimmt, I = Spur A, II = Summe der Unterdeterminenten, III = Determinante von A, damit lautet die Eigenwertgleichung:   La³ - I La² + II La – III = 0, faktorisieren mit Hilfe des Horner Schemas und Eigenwerte bestimmen. Die transformierte Matrix mit den 3 Lambdas auf der Hauptdiagonalen hat dieselben Invarianten wie die Matrix A, so können die Lamdas kontrolliert werden. Jetzt werden die 3 Eigenwerte gebildet und die Lösung des Differentialgleichungssystems hingeschrieben, mit Anfangsbedingungen könnten die  Konstanten noch bestimmt werden.

 

 

 


Physik


1) Linsengesetze

Linsengesetze:
 https://www.youtube.com/watch?v=ayl23ICKLJA 
Herleitung der beiden wichtigsten Linsengesetze, Begriffe konvex, konkav, optische Achse, Bildgröße, Gegenstandsweite, Brennweite, chromatische Aberration.

Optik, Linsen, Aufgabe 1:
 https://www.youtube.com/watch?v=CjHpnfvUaY4 
Einfache Anwendung der Linsengesetze bei einem reellen Bild, einfach Zahlenwerte in die beiden Linsengleichungen einsetzen, eine typische * Aufgabe.

Optik, Linsen, Aufgabe 2:
 https://www.youtube.com/watch?v=_GNXW238e54 
Die Linsenmachergleichung wird ohne Herleitung aus der Formelsammlung entnommen (Herleitung wird auf Papier verteilt). Es wird daraus die symmetrische Bikonvexlinse und die Plankonvexlinse abgeleitet. Dann wird erklärt, was n bedeutet, wenn die Linse in Wasser getaucht wird. Ist die Brennweite in Luft gegeben, lässt sich zunächst der Linsenradius r ausrechnen und dann die Brennweite in Wasser. Die Endformel wird angegeben.

Optik, Linsen, Aufgabe 3:
 https://www.youtube.com/watch?v=0Te05Pb6Dvg 
Eine Linse wird als Lupe verwendet. Wir können die beiden Linsengleichungen wie gewohnt verwenden, müssen aber berücksichtigen, dass wir ein virtuelles Bild bekommen und damit die Bildweite und die Bildgröße negativ sind. B=-10 cm ist also der Schlüssel, und g=4,05 cm das Endergebnis. Endformel g = (1+G/B)*f, und mit b=-40,5 cm kann man die Probe in beiden Gleichungen machen.

Optik, Linsen, Aufgabe 5:
 https://www.youtube.com/watch?v=ozBBhW42d2w
Eine * Aufgabe, reelles Bild wegen Projektionsfläche, die gleiche Endformel wie in Aufgabe 4 liefert g=12,81 cm = (1+G/B)*f - bitte daran denken, das Einsternaufgaben genauso viele Punkte bringen wie Dreisternaufgaben, deswegen sollte man genügend zur Übung rechnen und sich auch auf die Herleitung der Endformel und die Fehlervermeidung durch Proben konzentrieren.

Optik, Linsen, Aufgebe 7:
 https://www.youtube.com/watch?v=jlBTr79jCSE
***Aufgabe: Ein Mikroskop: Ein Gegenstand G1 unmittelbar vor dem ersten Brennpunkt ergibt ein vergrößertes Bild B1, dass dann für die zweite Linse der Gegenstand G2 ist. Es muss unmittelbar beim Brennpunkt der zweiten Linse liegen, hier liegt es etwas rechts von diesem, womit ein virtuelles Bild entsteht, B2 und b2 sind negativ, B2 = -20,9 cm ist das Endergebnis, dann ist noch die Endformel herzuleiten. Es werden also die üblichen Linsengesetze aufgestellt, erst b1, dann G1=B2, dann g2=D-b1, dann b2 und zuletzt G2 berechnet.

Optik, Linsen, Aufgabe 8:
 https://www.youtube.com/watch?v=6UwqWfC3r_Q 
Weil g kleiner f und das Wort Lupe dasteht, handelt es sich wieder um ein virtuelles Bild mit b, B negativ. Das erste Linsengesetz ergibt die Bildweite b=-12 cm, das zweite die Bildgröße des Marienkäfers -1,6 cm.



2) Gravitation

Satellit Gravitation:
 https://youtu.be/AUqBD3QCw9k
zuerst wird das Newtons Gravitationsgesetz hingeschrieben. Da die allgemeine Gravitationskonstante und die Erdmasse nicht gegeben sind, können sie durch Betrachtung einer Masse auf der Erdoberfläche durch g und re ersetzt werden, mg = Newtonsche Gravitationskraft - Fliehkraft, Fliehkraft M Omega Erde ² re kann vernachlässigt werden. Gleichsetzen von Fliehkraft und Gravitationskraft beim Satelliten ergibt v, mit dem Kreisumfang 2 pi r ergibt sich die Umlaufzeit in Sekunden, die in Stunden und Minuten umzurechnen ist. Die Potentielle Energie wird durch Integration hergeleitet, kin. Energie und pot Energie weren bestimmt und addiert. Bei E kin ist zu berücksichtigen, dass der Sattelit am Anfang durch die Erddrehung schon eine Anfangsgeschwindigkeit vo hatte, vo = re mal Omega Erde.


3) Gastheorie

Ballonaufgabe Helium:
 https://youtu.be/Mwy95ex7GoE
Prinzip des Archimedes: Auftrieb ist das Gewicht der verdrängten Luftmasse. mg und das Gewicht des Heliums wirken nach unten, die Auftriebskraft nach oben, gleichsetzen, g kürzen und nach dem Volumen auflösen. Mit V = 4/3 pi r³ ergibt sich der Radius und damit der Durchmesser. Volumen in Kubikmeter mal 1000 ist Volumen in Liter, und durch 700 teilen, wenn man flüssiges statt gasförmiges Helium benutzen will. Wasserstoff ist leichter als Helium und würde funktionieren, ist allerdings feuergefährlich und zu Recht verboten. Steigt der Ballon, wird die Dichte von Luft kleiner, unser Ballon könnte also nur direkt über dem Boden schweben.

Geschwindigkeit und kin Energie Helium Normbed.:
 https://youtu.be/oZsy5a_prVg
Gaskonstante R durch molare Masse He = 4,003 ergibt spezifische Gaskonstante von Helium, 2077 J/ Kg K, womit sich aus rho = P / R T die Heliumdichte rho = 0,17859 kg/m³ ergibt, unter Normbedingungen, also 0°C = 273,15 K und einem Druck p=101325 Pa. Ein Liter hat somit die Masse m178,59 / 10^6 kg.
Mit der mittleren Geschwindigkeit V = Wurzel (8000 T RHe/pi) = 1212 m/s ergibt sich die kinetische Energie 1/2 m v² = 129,1 J. Die Formel 1/2 m v² gilt bei Edelgasen, weil sie nur in einzelnen Atomen vorkommen, bei Molekülen geht 40% der Energie in Rotation der Teilchen.


Geschwindigkeit, Ekin, 1Liter Helium:
 https://youtu.be/KGq2bakOM0k  https://youtu.be/QjD-PrsecA8
1 Liter Helium unter Normbedingungen: Druck p=101325 N/m², T = 0°C= 273,15 K. Es wird ein Würfel der Kantenlänge a betrachtet, vereinfachende Annahme: 1/3 der Gasmasse fliegt jeweils in x, y und z Richtung zwischen den Wänden hin und her und überträgt den Impuls 2 m v gegen die Wand, da angehalten und in Gegenrichtung wieder beschleunigt wird. Damit liefert der Impulssatz, allgemein M v = F t (Masse Geschwindigkeit = Kraft Zeit) hier 1/3 m 2v = p a² 2a/v, die Kraft ist also Druck mal Wandfläche a², die Zeit, die die Masse braucht, bis sie wieder gegen die Wand schlägt, ist 2a/v, Weg/Geschwindigkeit.
Also 1/2 m v² = 3/2 P V = Ekin, also ist die gesamte kinetische Energie sofort bekannt, da einfach 1,5 mal Druck mal Volumen. Die atomare Masseneinheit u=1,6605655/10^27 kg entspricht in etwa einer Protonen- oder Neutronenmasse. Ein Heliumatom wiegt 4,003 u, weil es 2 Protonen und 2 Neutronen enthält. Damit hat ein Atom die Masse mm=6,6472/10^27 kg. Damit ergibt sich die Dichte ro= p mm/ k T = 0,178594 kg/m³ und damit ist die Gesamtmasse m=1,78594 /10°4 kg. Mit der Ausgangsgleichung:
1/2 m v² = 3/2 P V ergibt sich v= Wurzel (3 P V/m) = 1304,6 m/s. Wenn man weiß, dass ein mol eines beliebigen Gases unter Normbedingungen 22,4 Liter Volumen einnimmt und Na = 6,022 *10^23 Teilchen hat, kann man m auch als mm NA/22,4 berechnen, Na ist die Zahl des Avogadro: "Gleiche Volumina verschiedener Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl Teilchen"

 

 

 

 

 


Mechanik 1

 


1) Graphische Statik

Mechanik1, Seileck, Resultierende und Abstand:
 https://youtu.be/DN1u5ddN5xM
Resultierende aus Rechteck bilden, Resultierende aus Dreieck bilden, besser systematisch durchnumerieren, F1, F2 (Rechteck), F3 (Dreieck), rechts F4, Kräfte F1 bis F4 im Kräfteplan einzeichnen, so dass sie sich nachlaufen, Resultierende im Kräfteplan einzeichnen. Pol wählen, Seilstrahlen S1-S5 im Kräfteplan einzeichnen, Lageplan, in A anfangen mit Seilstrahl 1, mit Wirkungslinie F1 schneiden, weiter mit Seilstrahl 2... bis zum Seilstrahl 5, der Ort, wo die Resultierende angreift, ist der Schnittpunkt von S1 mit S5.
Rechnerisch prüfen: Fz, Fx berechnen, Resultierende nach Pythagoras, Winkel ga = arctan (Fz/Fx), Saumme Ma bilden, a = Ma/Fz, a = b mal sin ga.

Viergelenkkette mit 2 Kräften:
 https://youtu.be/XuZnG3KYGco
Zuerst grafische Lösung, rechten Knoten freischneiden, mit F2 die Stabkräfte S2 und S3 bestimmen, dann linken Knoten frischneiden, Kraft F1 und S1 bestimmen, im Kräfteplan laufen sich die Pfeile nach, Pfeile in den Lageplan übertragen. Dann rechnerische Lösung wo man sich zunächst Sinus und Cosinus der entsprechenden Winkel besorgt und dann wieder den rechten und dann den linken Knoten freischneidet. Zum Schluss noch ein fortgeschrittenes Lösungsverfahren, das Seileck, dass die Konstruktion in einer Skizze ermöglicht.

Kran, Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten:
 https://youtu.be/RURdO6Df2so
Die Lösung erfolgt grafisch, indem G im Kräfteplan gezeichnet wird, die Wirkungslinien von S2, S3 angetragen und die Kräfte so eingezeichnet werden, dass sie sich nachlaufen. Übertragen der Kräfte in den Lageplan gibt Auskunft, dass unten Druck und oben Zug ist. Rechnerisch: Knoten freischneiden, alle Stäbe als Zug ansetzen, Summe Fx, Fy=0 ergibt zwei Gleichungen für S2, S3.

Brücke mit 6 Vertikalkräften:
 https://youtu.be/PXgqfWzgKFo
Die Brücke ist symmetrisch, die Pylonkräfte sind also gleich, Summe der Vertikalkräfte ergibt jeweils 3F. Jetzt eine Systemhälfte freischneiden, Summe MD ergibt den horizontalen Seilzug H = 2F =400 kN. Summe der Momente für die drei schrägen Seilabschnitte ergeben die Höhen h1=6m, h2=4m, h3=2m und der arctan liefert die zugehörigen Winkel.
Grafisch erfolgt die Lösung mit dem Seileck, wobei die Kraft F sechsmal untereinander gezeichnet wird, 2F rechts davon genau in der Mitte wählt man den Pol, und braucht nur noch die Seilstrahlen im Kräfteplan einzuzeichnen und in den Lageplan zu übertragen. Jedes Dreieck im Kräfteplan entspricht den drei sich nachlaufenden Kräften am jeweiligen Knoten.

Resultierende von 6 Kräften graphisch:
 https://youtu.be/ZLWtzP9FSBg
Die Kräfte werden in den Lageplan so übertragen, dass sie sich nachlaufen. Dann wird die Resultierende R12 im Kräfteplan konstruiert, vom Anfangspunkt F1 bis zum Endpunkt F2, genauso R123, R1-4, R1-5, R1-6=Rges.
Im Lageplan wird R12 im Schnittpunkt der Wirkungslinien F1, F2 angetragen. Schneiden mit der Wirkungslinie von F3, dort R123 antragen usw.
Oder die "Profilösung" mit Seileck: Auch hier im Kräfteplan alle Kräfte nachlaufend einzeichnen, Pol an beliebiger Stelle wählen und mit allen anderen Punkten verbinden, ergibt Seilstrahlen 1 bis 7. Jetzt im Lageplan Seilstrahl 1 irgendwo einzeichnen, mit F1 schneiden, dort Seilstrahl 2 antragen und mit Wirkungslinie F2 schneiden usw. die Resultierende greift im Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahles an.

Schiff mit zwei Schleppern:
 https://youtu.be/-ZZsDj_2qDA
Man kann die Aufgaben graphisch oder rechnerisch lösen. Graphisch ist a) ein Dreieck mit zwei Seiten und einem Winkel, zeichne F2 im Winkel a2 und schlage einen Kreis mit dem Radius F1, der die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet.
Rechnerisch: Summe Fx ergibt F1 Sin al1 = F2 sin al2, nach al1 auflösen, Rechner auf Degree, Summe Fy ergibt Fr = F1 cos al1 + F2 cos al2, nach Fr auflösen.
In b) Fr zeichnen, 30° Winkel, Kreis mit dem Radius F2 schlagen und den Schnittpunkt mit dem kleineren Winkel wählen. Rechnerisch beide Gleichungen quadrieren und aufaddieren, ergibt den Cosinussatz, man erhält eine quadratische Gleichung für F1, die mit der p-q-Formel zu lösen ist. Die kleinere Lösung ist maßgebend.
In c) ergibt die Bedingung F2 soll minimal werden einen rechten Winkel zwischen den Kräften F1, F2, da das Lot die Kürzeste Strecke von einem Punkt zu einer Geraden ist. Winkelsumme im Dreieck ist 180°, also al2=60°, F1 = Fr cos 30°, F2 = Fr sin 30°.


Scheibe mit drei Stäben und zwei Kräften:
 https://youtu.be/Z3wTQpILqLc
Rechnerisch gibt es drei Punkte, wo die Summe der Momente jeweils nur einen unbekannten Stab enthält. Kennt man jedoch den schrägen Stab, kann man auch mit Summe Fx, Fy=0 die restlichen Stabkräfte bestimmen.

System mit vielen schrägen Kräften und 3 Stäben:
 https://youtu.be/KVOeNRRraPw
Einige Kraftgruppen werden vorteilhaft zu Resultierenden zusammengefasst. Dann wird das Gesamtsystem freigeschnitten und die drei Stäbe als Zugkräfte angesetzt. Die Summe der Momente um einen Bezugspunkt wird allgemein erklärt, ebenso verschiedene Winkelbeziehungen. Dann wird die Summe der Momente um A, den Schnittpunkt S1, S2 gebildet und nach S3 aufgelöst. Mit der Summe der Kräfte horizontal und vertikal ergeben sich S2 und S3. Graphisch werden die Kräfte zu einer Resultierenden zusammengefasst, die im Kräfteplan leicht zu konstruieren ist, auf deren Wirkungslinie es aber ankommt, der nur im Lageplan konstruierbar ist. Das Culmann Verfahren wird erläutert, und das Seileck Verfahren als Alternative.

 

 


2) Kraftschraube

Kraftschraube:
 https://youtu.be/wCpOoPcS_A8
An einem Quader greifen 47 Kräfte an. Die resultierende Kraft und das resultierende Moment werden bestimmt, das ist die Dyname. Dann wird eine Gerade bestimmt, indem die Formel
Ortsvektor = Kraftvektor kreuz Momentenvektor durch Betrag der Kraft zum Quadrat angewendet, wozu als Richtungsvektor noch lambda mal der Richtung der Kraft zuaddiert wird. Bei der Herleitung der Formel hab ich leider etwas geschlampt. Die Geradengleichung bezieht sich auf den Punkt A, den ich als Ursprung meines Koordinatensystems verwende. Wäre dieser Koordinatenursprung um alinks vom Punkt A, so müsste ich noch den Vektor zu A, z. B. (1,0,0) a, auf die Gerade aufaddieren.

Resultierendes Moment:
 https://youtu.be/tufGLK1MgY0
Vektoren haben außer den Zahlen auch eine Einheit, Ortsvektoren zum Beispiel m (Meter), Kraftvektoren zum Beispiel N (Newton). Die Resultierende Kraft ist F1 + F2, das resultierende Moment ist r1 x F1 + r2 x F2.
Bezüglich des Punktes P erhält man das resultierende Moment, indem man von sämtlichen Ortsvektoren, also r1 und r2, rp abzieht und wieder die Kreuzprodukte bildet. Weit schneller bekommt man das gleiche Ergebnis, indem man auf M0 das Kreuzprodukt aus r0-rp mit R aufaddiert, r0 ist der Nullvektor.

Würfel mit 3 Kräften, Resultierende und Moment im Raum                                                                  https://youtu.be/aMM0mOYnzTo
Kraft 3 wird in Komponenten aufgeteilt, Resultierende in den drei Richtungen bestimmt, dann soll F3 in e3 Richtung wirken, drei Achsen um D mit rechter Hand ist schneller als drei Kreuzprodukte, um zum resultierenden Moment zu kommen.

 

 

 


3) Statische Bestimmtheit


Statische Bestimmtheit:
 https://youtu.be/xocyh_5aqd8
Es wird das allgemeine Abzählkriterium und ein dem System angemessenes Abzählkriterium vorgeführt, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt. Mit dem Aufbaukriterium kann auch die hinreichende Bedingung nachgewiesen werden, sofern die beiden Lager und das Gelenk nicht auf derselben Wirkungslinie liegen, andernfalls liegt eine Ausnahmelagerung vor, also ein unbrauchbares System, das in einer Richtung verschieblich, in der anderen unbestimmt oder überbestimmt wäre.

Fachwerk, statische Bestimmtheit:
 https://youtu.be/dWZjkAhNG88
Das Abzählkriterium liefert 22 Gleichungen für 22 Kräfte, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt. Das Aufbaukriterium sagt aus, dass im Unterbau ein Stab zu viel ist, während oben einer fehlt, unten also ein innerlich statisch unbestimmtes Viereck mit möglichen Zwängungen aus Temperatur, oben setzt sich die Konstruktion einfach in Bewegung bei der geringsten Horizontalkraft.


4) Gleichgewicht, Lager- und Gelenkkräfte

Mechanik1, Gerberträger, Freikörperbild:
 https://youtu.be/irwsN_1qekg
Abzählen ergibt 6 Gleichungen für 4 Lager- und zwei Gelenkkräfte, Aufbauen: Balken auf zwei Stützen, da drauf wieder Balken auf zwei Stützen, rechten Teil freischneiden, Gelenkkraft und Lagerkraft C ausrechnen, Gelenkkräfte umdrehen, linken Teil ins Gleichgewicht setzen.

Mechanik1, Freikörperbild:
 https://youtu.be/NvwgdRVpeM0
Geometrie: Sin, cos al = 1 durch Wurzel 5 bzw. 2 durch Wurzel 5, Resultierende erzeugt, Stabkraft in Vertikal + Horizontalkraft zerlegt, Summe Kräfte in Verschiebungsrichtung der Einspannung ergibt Stabkraft S, Summe der Kräfte senkrecht dazu die Einspannkraft A, und Summe der Momente um A das Einspannmoment. Die Stabkraft wird dabei in das Festlager geschoben und dort in Komponenten zerteilt.

Mechanik1, Zwei Walzen:
 https://youtu.be/LTXhQSJj-WQ
Zwei Walzen werden freigeschnitten, ein gedrehtes Koordinatensystem eingeführt und mit Summe Fx=0, Summe Fy=0 die beiden Seil- sowie die beiden Normalkräfte bestimmt.

Mechanik1, Dreigelenkbogen, zwei Kräfte, Ah bestimmen:
 https://youtu.be/U6mBKPTTwWU
Rechts nur Stabkraft, F in Mittelpunkt verschieben und aufteilen, Summe Ma ergibt S, Summe H, V die Lagerkräfte in A, Sucht man nur Ah, mit Summe Mp schneller. Freikörperbild zeichnen.
Mechanik1,räumliches Gleichgewicht. https://youtu.be/vniPZYtMSy4
System wird von oben aus betrachtet, Schwerpunkt ausrechnen, Lasten und Stabkräfte einzeichnen, Summe M um die drei Achsen durch das Festlager ergibt die drei Stabkräfte, Summe F ergibt die drei Lagerkräfte.

Mechanik1, Seile am Tetraeder:
 https://youtu.be/kpYrsCmjHKI
Geometrie des Tetraeders klären, zuerst eine Dreiecksfläche mit Pythagoras bearbeiten ergibt Höhe des Dreiecks h1 = Wurzel3/2, dann Schnitt durch den Lotfußpunkt legen, es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, von denen ich eins aussuchen kann, um die Tetraederhöhe h = Wurzel aus 2/3 mal a.
Jetzt einen Schnitt um eine Stange legen, Seilkräfte als Resultierende antragen, Summe M um Tetraederspitze ergibt R, und dann wieder aufteilen ergibt S = 0,2722 F = F mal 1/3 mal Wurzel aus 2/3.

 

Mechanik, schräge Tür mit Seil                                                                                                      https://youtu.be/RyXGslpyn7M

Das Moment als Kreuzprodukt wird allgemein erklärt. F mit einem Einheitsvektor multipliziert gibt den Seilkraftvektor. Den Vaktor r vom Bezugspunkt zum Seilangriffspunkt wähle ich zum Koordinatenursprung, verschiebe also die Kraft vorher auf ihrer Wirkungslinie, wobei sich das Moment nicht ändert. Ausführen des Kreuzproduktes ergibt den Vektor Ma, die x-Komponente ist das Moment Mac, das gleich Türgewicht mal b/2 mal cos al gesetzt wird. Es ergibt sich das Türgewicht. Läßt man nun die Tür weiter ab, so kann man die Formel nach F auflösen und stellt fest, das bei konstantem G die Seilkraft gegen Unendlich geht, also jedes Seil reißt, wenn man den Winkel Alpha langsam bis auf Null verkleinert.

Mechanik1,Lagerreaktionen                                                                                                          https://youtu.be/xvRNP9JE8UA

rechtes Teilsystem, Resultierende bilden, Summe MG ergibt By, Summe Fy ergibt Gy, linkes Teilsystem, Gy umdrehen, Winkel al berechnen über arcsin, Summe Fx, Fy und Ma bilden ergibt die Einspannreaktionen.

Kugel an zwei glatten Wänden                                                                                                       https://youtu.be/GiYdhthc5Uc

Kugel freischneiden, N1 wirkt von der linken Wand nach rechts, N2 von der unteren Wand schräg nach oben links, auf den Kugelmittelpunkt hin gerichtet.
Summe Fy = N2 cos al - G = 0 ergibt N2 = G / cos al = 213 kN.
Summe Fx = N1 - G2 sin al = 0 ergibt N1 = N2 sin al = 51,6 kN.
Lösung auch graphisch möglich, G nach unten zeichnen, Wirkungslinien von N1, N2 ansetzen, drei Pfeile müssen sich nachlaufen.

Lagerkräfte in vierteiligem System                                                                                                    https://youtu.be/R_pWuDlrVD0

Das System wird von rechts her aufgebaut, Balken DC hält rechtes Gelenk G2, damit B-G2 Balken auf zwei Stützen, jetzt B fest und links Dreigelenkbogen. Das System muss in umgekehrter Reihenfolge abgebaut werden. Linkes System, Summe MB ergibt Av, Balken G1-A, Summe um G1 ergibt Ah, jetzt alle Gelenkkräfte in G1 und links von B mit Kräftegleichgewicht. BAlken B-G2, Freikörperbilder zeichnen, Bv bestimmen, und zuletzt den rechten Teil freischneiden, Summe Md ergibt Ch, Kräftegleichgewicht Dv, Dh.

Lagerkräfte,zweiteiliges System mit F und M                                                                                      https://youtu.be/O8kFvyaRk6g

Das linke Teil freischneiden, Summe MB ergibt A, Summe der Horizontal- und Vertikalkräfte ergibt Gelenkkräfte links von B. Das rechte Teil ist dann sehr einfach. Die Schwierigkeit besteht darin, A in zwei Komponenten zu zerlegen, A / Wurzel 2, die dann den Hebel 7m bzw. 3m haben.

Räumlicher Quader mit 6 Stäben und zwei Kräften                                                                             https://youtu.be/0rNZYkcgtw4

Der Schnittpunkt A,B,C entspricht einem Festlager. Summe der Momente um die 1,2 und 3-Achse um dieses Lager ergibt die Kräfte D,E und F. Summe der Kräfte ergibt die Kräfte A, B und C.

Räumlicher Quader,6 Stäbe, 3 Kräfte                                                                                              https://youtu.be/I53PL_KWHFg

Summe der Momente um die drei Achsen ergibt die Kräfte in B und C. Kräftegleichgewicht ergibt die Kräfte in A. Am Ende ein Freikörperbild zeichnen und nochmal auf Gleichgewicht prüften. Summe der Momente um eine Achse: Daumen zeigt in Achsrichtung, Finger geben die Drehrichtung an, Moment ist also Kraft mal Hebel. Das geht schneller als mit M = r x F, womit aber das Momentengleichgewicht um A auch gebildet werden könnte.

Lagerkräfte in dreiteiligem System                                                                                                   https://youtu.be/Gb492xMwoaE

Im linken Teil heben sich die Resultierende der Rechtecklast und A gegenseitig auf, A = R. Im rechten Teil wird die Resultierende der Dreieckslast als 1/2 Grundseite mal Höhe gebildet, die im Drittelspunkt angreift. Summe der Momente und Kräftegleichgewicht ergibt Dv und die Gelenkkraft. Im mittleren Träger: Summe Mc ergibt Bv, Kräftegleichgewicht ergibt Cv. Die Gelenkkraft rechts wirkt auf den Balken ganz rechts nach oben, auf den mittleren Balken also nach unten.

räumlicher abgewinkelter Balken, 3 Stäbe, Kragarm                                                                             https://youtu.be/kgi2DNBC-rA

Wir betrachten den abgewinkelten Balken, das Gelenk ist das "Festlager", Summe der Momente um die drei Achsen liefert die drei Stabkräfte. Aus dem Kräftegleichgewicht folgen die drei Gelenkkräfte. Jetzt haben wir einen Kragarm, der nur durch drei Gelenkkräfte belastet wird, Kräftegleichgewicht und Summe M um die drei Achsen durch A ergibt die Einspannreaktionen.

Sinus und Cosinussatz als Kräftegleichgewicht                                                                                    https://youtu.be/Ipdmoet13vU

Es wird Summe Fx und Summe Fy aufgeschreiben, dazu werden die Kräfte S1, S3 in Vertikal- und Horizontalrichtung aufgeteilt, die Gegenkathete ist jeweils der Sinus, die Ankathete der Cosinus. Die Terme mit S1 werden nun auf der linken Seite der Gleichung stehen gelassen, alle anderen Terme rechts rübergebracht, die Gleichungen quadriert und aufaddiert. Unter Ausnutzun der zweiten binomischen Formel und zweifacher Ausnutzung der Pythagorasbeziehung sin² + cos² = 1 bleibt der Winkel be als einig Unbekannte Größe übrig und kann berechnet werden. Aus der Summe Fy kann dann der Winkel Alpha berechnet werden. Zum Schluss mache man eine Probe, indem die berechneten Winkel in das Kräftegleichgewicht eingesetzt werden.
Die Aufgabe kann auch graphisch gelöst werden, dazu zeichne man die Kraft S2 horizontal in den Kräfteplan und schlage um die beiden Endpunkte Kreise mit den Radien S1 und S3. Im so konstruierten Kräftedreieck mit nachlaufenden Kräften lassen sich die gesuchten Winkel durch nachmessen bestimmen.

Zweiteiliges System, Lager- und Gelenkkräfte                                                                                     https://youtu.be/WF63rDfZnIU

Teile getrennt freischneiden, Resultierende der Dreieckslast im Drittelspunkt einzeichnen, Summe M und Summe V im rechten Teil ergeben die vertikalen Kräfte in B und G. Summe Ma im linken Teil ergibt die Horizontalkraft im Gelenk, Summe H im rechten Teil Bh. Mit Summe V, H im linken Teil ergeben sich die Kräfte Ah, Av. Am Ende alle Ergebnisse in ein Freikörperbild eintragen und für beide Teile nachprüfen, ob sie tatsächlich im Gleichgewicht sind.

Räuml.GG, abgewinkelter Balken mit Dreieckslast                                                               https://youtu.be/cNoNAzaI-Fs

Der abgewinkelte Balken wird betrachtet. Das Gelenk entspricht dem Festlager. Summe M um die drei Achsen durch das Gelenk ergibt die Kräfte A1, B3, A3. Mit dem Kräftegleichgewicht erhält man die drei Gelenkkräfte. Diese dreht man um, betrachtet den Kragarm  und bestimmt die Einspannungsreaktionen.

Dreiteiliges System                                                                                                                       https://youtu.be/EKiHaxHeodQ                                   
Gesamtsystem, Summe H ergibt Ah, Summe Mg für linkes Teil ergibt Av, ist Null, weil sich Ah und die Lasten aufheben. Damit nur vertikale Gelenkkraft in G. Rechtes Teil, Summe V ergibt Cv. Gesamtsystem, Summe V ergibt Bv. Da in G nut Vertikalkraft, werden Mitte und rechtes Teil freigeschnitten und mit Summe Mb das Moment Mb bestimmt.

Dreiteiliges System mit Querkraftmechanismus                                                                                    https://youtu.be/goGVzdanoH4

Nicht im Video: statische Bestimmtheit, 3 Teile, Summe H=0, V=0, M=0 ergibt 9 Gleichungen für 5 Lagerreaktionen, 2 Gelenkkräfte und M, N im Querkraftmechanismus, f = 3*3-5-2-2= 0, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt. Resultierende R1, R2 bilden, Schnitt 1, rechtes Teil mit Dreieckslast, Summe V ergibt Bv, Schnitt 2, nur rechter Stab, Summe Mg ergibt Bh, Summe H, V ergibt Gelenkkräfte. Jetzt Schnitt 3, Gesamtsystem minus rechter Stab, summe F in parallel und senkrechetr Richtung und Summe Ma. Die vertikalkräfte R2 und Gv sind beide 9 kN und heben sich im Kräftegleichgewicht auf. Im Momentengleichgewicht lernen wir das Kräftepaar kennen, zwei parallel entgegengesetzt gleichgroße Kräfte, die sich gleich in ein Moment umformen lassen. Alle anderen Kräfte, also R2, Gh = 5 kN, werden in parallel und senkrechte Komponenten aufgeteilt. Bei Summe MA entfallen die Komponenten, wir rechnen einfach Kraft mal Hebel.

Auflagerreaktionen an drei einfachen Systemen                                                                                  https://youtu.be/wr0VmIZ9GuQ

Die Streckenlasten werden zu Resultierenden zusammengefasst. Bei einer Dreiecklast: R = 1/2 q L im Drittelspunkt, bei einer Rechtecklast q L im Mittelpunkt. Die Lagerkräfte werden in beliebiger Richtung angetragen, zum Beispiel alle Horizontalkräfte nach rechts, alle Vertikalkräfte nach oben und alle Einspannmomente linksrum. Sie können aber auch in beliebiger Richtung angesetzt werden, kommen sie positiv raus, wirken sie wie eingezeichnet, bei negativem Ergebnis wirken sie entgegen der Pfeilrichtung. Es wird jeweils das Gesamtsystem freigeschnitten und mit den Gleichgewichtsbedingungen Summe F horizontal, Summe F vertikal und Summe der Momente um einen anzugebenden Bezugspunkt die Lagerkräfte bzw. Momente bestimmt.

Mechanik1,Schröder,Tut7,Aug7.4d, zwei Viertelkreisbögen                                                                  https://youtu.be/bdgluFCEu3s

Zuerst Nachweis der statischen Bestimmtheit: Das System besteht aus drei Teilen, für jedes Summe H, V und M=0 aufgestellt, sind 9 Gleichungen, 6 Gelenkkräfte und drei Lagerkräfte ergeben f = 3*3-3-6=0, damit ist die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit erfüllt. Da das System aus einem Balken auf zwei Stützen und einem Dreigelenkbogen besteht, ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt. Gesamtsystem, Summe MA, V und H =0 ergeben die Lagerkräfte. Im oberen Gelenk wird nur eine Horizontalkraft übertragen, Summe M G1 für den linken Kreisbogen ergibt H = P/2 = 0,5 kN. Diese kann über Summe H sofort auf alle anderen Teilsysteme übertragen werden. Mit Summe V für den rechten und linken Viertelkreisbogen ergeben sich die vertikalen Gelenkkräfte in G1, G2 als P = 1kN. Es ist aber auch richtig, das Lager nicht an den Horizontalstab, sondern an den Viertelkreisbogen anzuschließen, dann überträgt der Stab nur noch die Horizontalkraft H = P/2 = 0,5 kN (Zug), d.h. wir bekommen dann andere Gelenkkräfte in G1 G2  raus, Vertikalkraft ist dann jeweils Null. Beides ist richtig. Wie sieht man, dass in G3 keine Vertikalkraft wirkt? Entweder, weil symmetrische Systeme mit symmetrischer Belastung auf der Symmetrieachse grundsätzlich keine Lagerkräfte übertragen können. Oder über Summe V für einen Kreisbogen, bei dem sich Lagerkraft und Last genau aufheben und somit in G3 keine Vertikalkraft übertragen werden kann.   

                                           

Kippnachweis 3 reibungsfreie Körper                                                                                               https://youtu.be/l5rhFwRftv8

Masse m2 freischneiden ergibt die Seilkraft, Walze freischneiden, Summe F vertikal ergibt Normalkraft N rechts, Summe F horizontal ergibt N links im Punkt E. Gedrehtes Achsensystem einführen, Trapezscheibe freischneiden, Summe Fx ergibt Masse M, Summe Fy ergibt Normalkraft N, Summe MP ergibt den Abstand vom Eckpunkt P zum Angriffspunkt x. Setzt man x gleich der Breite der Aufstandsfläche, so kann die Gleichung nach r aufgelöst werden.

Gewicht an zwei Stäben                                                                                                               https://youtu.be/yu76vHq2LD4

Mg=9,81 kN ausrechnen, Knoten freischneiden, Summe Fx=0  und Summe Fz=0 aufstellen, sin 30°=1/2. Cos 30° =  Wurzel3 / 2 einsetzen, Gleichungssystem auflösen ergibt S2 = mg und S1 = - Wurzel 3 mg = - 16,99 kN. Da die Kräfte als Zug angesetzt werden, sind alle positiven Kräfte automatisch Zugkräfte. Alternative graphische Lösung, Kräfteplan so zeichnen, dass sich die Kräfte nachlaufen, und in den Lageplan übertragen. Kräfte, die vom Knoten wegzeigen, sind dann Zugkräfte.

Rahmen ohne Anfang                                                                                                                 https://youtu.be/xSWvgDzaAcc
Gesamtsystem freischneiden und Av, Hh und B ausrechnen ist verhältnismäßig einfach, aber dann gibt es keinen einfachen Weg, die nächste Kraft zu bestimmen. Ich schneide den Balken unten links frei und bilde die Summe der Momente um den Schnittpunkt der Stabachsen, oben links den Balken, Summe Mg, und habe zwei Gleichungen für zwei Gelenkkräfte. Die Berechnung der weiteren Kräfte ist dann wieder verhältnismäßig einfach mit Summe H, V an allen Einzelteilen. Am Ende Freikörperbilder zeichnen, von denen aus man dann mit dem Zeichnen von N, Q und M beginnen kann.
Der Aufgabensteller hat die Streckenlast mit w bezeichnet und denkt vermutlich an eine Windlast, Windlasten wirken aber immer senkrecht zur Oberfläche, genau wie hydrostatischer Wasserdruck. Für Wind ist also beim Balkon auf der rechten Seite die Last falsch angesetzt.

IAM Aufgabensammlung, Breite b bestimmen                                                                                    https://youtu.be/MnkyMJaQph0
Horizontalbalken, Summe um Kontaktpunkt mit Rolle ergibt Vertikalkraft, Pendelstab links, Summe M ergibt Horizontalkraft, Horizontalbalken, Summe F horizontal bilden, alles einsetzen und nach b auflösen.


IAM Aufgabensammlung Balken an glatter Wand mit Rolle                                                                  
https://youtu.be/OnpLMI1dJJU
Die drei Kräfte müssen durch einen Punkt gehen, Summe M um diesen Punkt ist dann Null. Die horizontalen Anteile der Strecken werden gleich gesetzt, also x cos al = a / cos al, darauf folgt x.


IAM Aufgabensammlung RD A12 T01 Drei Kugeln im Becher                                               
https://youtu.be/emo6NGv109c
Die Winkel der Normalkräfte können leicht bestimmt werden, wenn man die Horizontalabschnitte L-r1-r2 und L – r2- r3 als Gegenkatheten zweier Dreiecke auffasst und durch die Hypotenusen r1+r2, r2+r3 dividiert, der arcsin liefert dann die Winkel. Wenn man nun die Kräfte einfach hintereinander zeichnet, erhält man A = m3g tan phi2 und C = (m2+m3) g tan phi1, die Vertikalkraft D = (m1+m2+m3) g war von vornherein klar.

IAM Aufgabensammlung M1_SG_A257_T12_V001  Walze auf Balken mit Seilen                                       
https://youtu.be/r-spf_kh9B4
Winkel der Seile bestimmen, bei h zuerst r abziehen, dann erst den arctan bilden, Walze Summe F, Balken Summe M ums Lager gibt zwei Gleichungen für S und Kontaktkraft.

5) Schwerpunkt

Halbkugel, Volumen und Schwerpunkt mit Dreifachintegral                                                                   https://youtu.be/9z4SjW4S4Og
Die Fläche r dr dtheta legt bei Rotation um die Vertikalachse den Weh r sin theta dphi zurück, somit erhält man Dv, Integration ergibt das Volumen, Multiplikation mit y = r cos theta ergibt den Schwerpunkt über Integral y dV / V. Ich kenne das als Kugelkoordinaten, nicht Zylinderkoordinaten.

Mechanik1, Klausur, Markert, A4                                                                                                  http://youtu.be/KTPGqFuZGEg

Die beiden Rechtecke heben sich raus, man braucht nur das Dreieck im 2. Quadranten mit der jeweiligen Fläche im 4.Quadranten zu beachten. Schwerpunkte miteinander verbinden und näher an dem Schwerpunkt der größeren Fläche liegt der Gesamtschwerpunkt dieser beiden Flächen. Q = Quadrant

A = 4Q. B = 4Q, C =  Nullpunkt, D  = 2.Q, E = 2Q, F = 4 Q. Im Fall A wird der Rechenweg gezeigt.

Mechanik1, Klausur, Markert, A7                                                                                                  http://youtu.be/GMqXvnF-FHA

Die Kurve y2 von x ist gegeben, y1 ist die Gerade unten. Die Fläche wird in infinitesimale, also unendlich kleine, Rechtecke der Fläche y2-y1 mal dx aufgeteilt und die Integrale x dA und y dA berechnet, Ergebnisse sind 1/12 a² h für das Integral x dA und 1/10 a h² für das Integral y dA. Bei letzterem ist der Schwerpunkt von dA in y Richtung y1+y2 durch 2.

Schwerpunkt Rechteck minus Virtelkreis und Dreieck                                                                          https://youtu.be/Isl8l9uN9sg

Aufteilen in großes Rechteck und negatives Dreieck sowie negativen Virtelkreis, Einzelflächen und -Schwerpunkte bestimmen, Gesamtfläche und Gesamtschwerpunkt bestimmen über Summe Aixi durch A. Herleitung der Formel 4 r/ 3 pi.

Schwerpunkt Rechteck, Dreieck, zwei Löcher, Halbkreis                                                                      https://youtu.be/WpZHIvrZqr8

Aufteilen in 4 Teilflächen, zwei positive und zwei negative, dann Tabelle machen, A1, A2, A3, A4, x1, x2, x3, x4 zusammenstellen. Dann A = Summe Ai und xs = Summe Ai xi/A, Ergebnis xs = 5,301 a.

Schwerpunkt, Filmrolle                                                                                                                https://youtu.be/UY7XU25R-Rc

Der Schwerpunkt einer Filmrolle soll berechnet werden. Die Filmrolle wird aufgeteilt in großer Kreis minus Innenkreis mit xs=0 und die Fehlfläche, deren Schwerpunkt mit Integration bestimmt wird. Dann wird der Gesamtschwerpunkt ausgerechnet.
Nun soo ein weiteres Loch so angebracht werden, dass der Schwerpunkt wieder bei Null ist, also:
 A1 x1 + A2 x2 + A3 x3  geteilt durch  A1+A2+A3 = 0, mit x1=0 ergibt sich A3 = - A2 x2/x3, x3 ist als -2r gegeben,
 A3 = pi D²/4. A3 und D ausrechnen.

Schwerpunkt von Halbkreis und Halbkreisbogen, mit Integration oder mit Guldin Regeln.                            https://youtu.be/IMiyh5qVbmM

Zuerst wird der Schwerpunkt 4R/3pi des Halbkreises und der Schwerpunkt des Halbkreisbogens mit direkter Integration hergeleitet. Dann werden die beiden Guldinschen Regeln erklärt, und unter Voraussetzung von Kugelvolumen, Halbkreisfläche oder Kugeloberfläche und Halbkreislänge können die oben gezeigten Formeln mit den Guldinschen Regeln bestätigt werden.

LKW Radkräfte                                                                                                                         https://youtu.be/aSd9wN3ac_g

Schwerpunkt von Ladung und Gesamt LKW ausrechnen, durch Summe xi mal mi / Summe mi, y analog. Brücke mit Radkräften und Lagerkräften zeichnen, Summe M um Hinterrad ergibt Kraft im Vorderrad, Summe V Kraft im Hinterrad, Summe Ma ergibt B, Summe V ergibt A, beim Bremsvorhang noch Horizontalkraft F im Schwerpunkt nach rechts mitberücksichtigen.

Mechanik1,Schwerpunkt,Parabel                                                                                                   https://youtu.be/9LOKhznQj0I

Parabel Y = h x²/b², aufteilen in unendlich kleine Rechtecke, Breite dx, Höhe y, Schwerpunkt bei x und y/2, einsetzen in die Schwerpunktsformel ergibt den Schhwerpunkt der Oarabel. Ein alternativer Lösungsweg wird gezeigt, bei dem Streifen der Höhe dy und der Breite x vom Rechtech b h abgezogen werden, der Schwerpunkt bleibt der gleiche.

Schwerpunkt Blech mit 5 Löchern                                                                                                 https://youtu.be/EFoVaOCa_nA

Tabelle anfertigen, das ungelochte Blech und 5 negative Flächen, Einzelschwerpunkte bestimmen, A = Summe Ai, xs = Summe Ai xi geteit durch A,y analog. Jetzt die Flächen durch die Längen austauschen und dieselbe Aufteilung nehmen, wobei alle xi, yi übernommen werden können. Genau die gleiche Rechnung mit Längen, allerdings jetzt alle Längen positiv. Ergebnisse des Aufgabenstellers können bestätigt werden.

Mechanik1 ,Schwerpunkt, Haus mit Fenster                                                                                     https://youtu.be/wD2V1TWnkI0

Das Haus wird in drei Flächen aufgeteilt, Schwerpunkt des Fensters ist h+a, Fläche ist -4 a². Dann ys = Summe Ai yi / Gesamtfläche = 2,5a setzen und Gleichung nach h auflösen, ergibt h=1/8 a.



Halbkreis mit Rechteckloch                                                                                                         
https://youtu.be/845ESg9mbSM

Fläche wird aufgeteilt in Halbkreis und Rechteckloch mit negativer Fläche. Die Schwerpunktsformel ys = Summe aller Ai yi / Ages wird aufgestellt und gleich b gesetzt, es entsteht eine quadratische Gleichung in b, die sich mit der p-q-Formel auflösen läßt. Da die größere Lösung größer als b ist, bleibt nur b = 16 r / 9 pi übrig.



Schwerpunkt aus vier Flächen                                                                                                       
https://youtu.be/VV0VT0Kh3vM

Die Lösung erfolgt tabellarisch, aufteilen in 4 Flächen, yi und zi zusammenstellen und Schwerpunkt als Summe yi Ai  / Gesamtfläche, zs analog.

 

Rechteckblech mit drei Löchern                                                                                     https://youtu.be/gg9mgYU10c4

Eine positive Rechteckfläche, drei negative Lochflächen, Koordinaten aus der Skizze abgreifen und in die Schwerpunktsformel xs = Summe Ai xi / Ages einsetzen, wobei die Gesamtfläche Ages = A1+A2+A2+A4 ist.

Schwerpunkt Halbkreis plus Dreieck minus Viertelkreis                                                         https://youtu.be/tjymBN-nC0A

Zuerst einen Halbkreis mit dem Radius r zeichnen, dann ein Dreieck mit der Kathetenlänge R dazu fügen und einen Viertelkreis mit dem Radius R wieder abziehen, wobei r = R/ Wurzel 2.
Jetzt Tabelle anfertigen, Flächen und y-Koordinaten eintragen, Gesamtfläche und Schwerpunkt ausrechnen. Wegen Symmetrie sind die Beträge von ys, zy gleich, da der Schwerpunkt auf der um 45° geneigten Symmetrieachse liegen muss.

Schwerpunkt mit Parabel und Halbkreis                                                                           https://youtu.be/KXKds82GSs0

Zuerst werden Fläche und Schwerpunkt der quadratischen Parabel hergeleitet. Dann wird die Gesamtfläche in ein Dreieck, ein Rechteck, die Parabel und die Löcher Halbkreis und nochmal Dreieck aufgeteilt und tabellarisch die Lösung ermittelt.

Schwerpunkt einer Parabel                                                                                            https://youtu.be/BWPej4zFxTM

Statt der Form Y(x) = ao + a1x + a2 x" kann man auch die Scheitelpunktform der Parabel verwenden: Y(x) = Yo + k (x-xo)². Da man die Koordinaten des Scheitelpunktes xo, Yo sofort in der Skizze sieht, braucht nur noch der Streckungsfaktor k berechnet werden, wobei ein Punkt ausreicht, der natürlich nicht der Scheitelpunkt sein kann. Eine Gleichung mit einer Unbekannten k statt drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Jetzt wird die Summenformel des Schwerpunktes in die Integralform verändert,  aus dem Summenzeichen wird das Integral, aus Ai wird dA, also xs = Integral x dA durch Integral dA, und dA ist einfach ein unendlich kleines Rechteck der Breite dx. Für y ist zu berücksichtigen, dass vor dA der Schwerpunkt des Rechtecks stehen muss, hier y/2, allgemein (y2+y1)/2, das arithmetische Mittel, hier y1 =0. Die Schwerpunktsberechnung wird an einem Beispiel vorgeführt.

Schwerpunkt aus sieben Viertelreisen                                                                               https://youtu.be/tCJWouOuhxw

Zuerst wird die Formel für den Schwerpunkt eines Viertelkreises 4 r / 3 pi mit Hilfe der Integralrechnung hergeleitet, die Fläche in 7 Teilflächen zerlegt, die alle pi ri²/4 sind und ihren Schwerpunkt bei 4 ri /3 pi haben, wobei die Flächen für alle geraden r negativ, für alle ungeraden positiv sind. Dann wird die übliche Schwerpunktformel angewendet.

Schwerpunkt e-Funktion und 2 Dreiecke                                                                          https://youtu.be/jvudV0q9MNQ

Flächenaufteilung: Eine e-Funktion von x = 0 bis 2, die bis Y=0 runtergeht, ein Dreieck von x = 2 bis 14 und ein negatives Dreieck. Bei der e-Funktion ist Fläche, x1 und y1 mit Hilfe der Integralrechnung zu bestimmen, die Dreiecksflächen 1/2 Grundseite mal Höhe mit Schwerpunkt bei b/3 sind bekannt, Fläche 3 ist negativ, danach Ansatz der bekannten Schwerpunktsformel.

Schwerpunkt von Pizzastücken und Tellern                                                                       https://youtu.be/sH0R8PVuTKk

Zunächst wird nur das Pizzastück betrachtet, und wegen Symmetrie nur die obere Hälfte, mit dA = r dr dphi und x = r cos phi läßt sich der Schwerpunkt mit xs = Integral x dA / Integral dA leicht ausintegrieren. Dann werden Teller und Pizza zusammen betrachtet, der Schwerpunkt liegt bei m1 x1 + m2 x2 geteilt durch m1+m2, wobei x1=0 und x2 = 2/3 R2 cos al, wenn man von der in der Aufgabenstellung angegebenen Näherungsformel ausgeht. Wenn der Schwerpunkt an der Tischkante ist, kippt die Pizza auf den Boden, also wenn dx = R2 – xs ist.

 

 

6) Seilaufgaben

Mechanik1 ,Seil zwischen zwei Masten                                                                             https://youtu.be/CXgLm0Uttcw

Mit Mmax ergibt sich der horizontale Seilszug H = 500N, Summe der Vertikalkräfte für ein infinitesimales Seilstück ergibt eine seperable Differentialgleichung, Trennung der Variablen und Integration ergibt w´ als Funktion von x, nochmalige Integration ergibt w. Randbedingungen ergeben die zwei Integrationskonstanten, x = a/2 in w die Durchfahrtshöhe und x=0 in w´ mit S = H mal Wurzel aus 1 + w´² ergibt die maximalew Seikraft.

IAM Aufgabensammlung SS A10 T02 Seil mit zwei Rechtecklasten                                          https://youtu.be/MVN8YGAtRGc

Die DGL w´´=-q /H wird zweimal integriert. Auf der linken Seite sind die Konstanten einfach: c0 ist Null, c1 ergibt sich aus A/H, und A aus der Summe M um B, c2 = -q1/2H. Am rechten Bereich ist es etwas schwerer, c2 = -q2 / 2H kann sofort notiert werden, mit Summe MA=0 folgt B, mit w´(2a) = - B/H ergibt sich c1, mit w (2a) =  -h ergibt sich c0.

IAM Aufgabensammlung SS A17 T01 Seil mit Eigengewicht                                                   https://youtu.be/WCye9N_1Ghg

Herleitung der Seillinie, Spiegelung der Aufgabe, horizontale Tangente und w=0  bei x=0 liefert die Integrationskonstanten, w´(L) H ergibt dann den Betrag der Vertikalkraft, und Pythagoras liefert die Seilkraft F. Das Lehrstuhlergebnis kann ich nicht bestätigen.

7) Fachwerke

Mechanik Leistungsnachweis Reese                                                                                                  https://youtu.be/jiUzK0t40HY

Fachwerk, Nachweis der Bestimmtheit, Berechn ung aller Lager und Stabkräfte, Länge des Stabes 7 so, dass Stabkraft Null ist.

Mechanik1, Eine Walze                                                                                                                https://youtu.be/h2AGNEccm58

Eine Walze ist auf drei Stäbenaufgestützt. Mit Summe M, Fy und Fx werden die drei Stabkräfte bestimmt. Die Sonderfälle Winkel 0 und 90 Grad werden diskutiert.

Mechanik1, Stabwerk                                                                                                                  https://youtu.be/ECFzJKgAg3E

Zwei Rollen werden weggeschnitten und Kraft in Horizontal- und Vertikalrichtung angesetzt, Lagerkräfte bestimmt, beide Lager freigeschnitten, Summe Fx, Fy ergibt 4 Stabkräfte, jetzt Ritterschnitt, rechtes Dreieck freigeschnitten, Lagerkraft, 3 Stabkräfte und die Kräfte der rechten Rolle angesetzt, zweimal Summe M, einmal Summe Fy ergibt die drei fehlenden Stabkräfte, einmal kann die Summe M durch Summe Fx ersetzt werden.

Mechanik1, Fachwerk mit 20 Stäben                                                                                                              https://youtu.be/ITy2rkwQqno

1) Nullstäbe: Stab5 ist Nullstab, wegen Wirkungslinie B Stab 16, und dann auch 17,18,19 und 20.
2) Lagerkräfte: rechtes Teilsystem, Summe M um G ergibt Bx = By, dann Gesamtsystem, Summe Ma ergibt Bx und By, Summe Fx, Fy ergibt Ax, Ay.
3) Freikörperbilder zeichnen, ggf. nochmal mit Gleichgewicht kontrollieren.
4) Knotenabbauverfahren: An jedem Knoten mit höchstens 2 unbekannten Stäben Summe Fx, Fy aufstellen ergibt alle Stabkräfte.

 

Mechanik1, schweres Fachwerk, 4 Stäbe bestimmen                                                                            https://youtu.be/VvVNJ0DGyL8

Lagerkräfte mit Summe M, Fy und Fx. Dann Summe Fx am Knoten A ergibt S1, Summe Mg fürs rechte Teilsystem ergibt S4,  an Knoten K Summe Fy ergibt S3, Summe Fx ergibt S2.

Fachwerk, nicht abbaubar, Ritterschnitt                                                                                           https://youtu.be/35dMMyOq0V0

Gesamtsystem, Summe Ma ergibt By, Summe Fy ergibt Ay. Ritterschnitt führen, mit Summe Fy folgt S5. Dann Knotenabbauverfahren: Knoten G ergibt S8 und S6, Knoten D ergibt S7 und S4, Knoten B ergibt Bx, Gesamtsystem ergibt Ax, Knoten C ergibt S1 und S3, Knoten E ergibt S2 und eine Probe, Knoten A, Summe Fx, Fy sind zwei weitere Proben. Vorher Winkel klären, Sin al =1/Wurzel5, Sin be = 3/Wurzel 13 usw.

Mechanik1, Fachwerk mit zwei Gleitlagern                                                                                        https://youtu.be/5LklsHUwjCI

Gesamtsystem, Summe Fx ergibt Cx, rechtes Teilsystem, Summe MG ergibt Cy, Kräftegleichgewicht ergibt Gx,Gy. KnotenG freischneiden, Kräftegleichgewicht, ergibt S7 und S6. Linkes Teilsystem freischneiden, Gx, Gy umdrehen, Summe MB ergibt Ay=-4F, Summe Fy ergibt B=8F. Knoten A freischneiden, ergibt S1= 4 Wurzel 2 F, S2=-4F

Fachwerk, Lagerkräfte und 4 Stabkräfte berechnen                                                                             https://youtu.be/VzfljObKOJw

Gesamtsystem, Summe M, Fy ergibt Vertikalkräfte A,B. Oberes Teilsystem, Summe MG ergibt S4, unteres Teilsystem freischneiden, Ritterschnitt, ergibt S1, S2, S3.

Mechanik1, Fachwerk, Bestimmtheit, Lager, zwei Stäbe                                                                       https://youtu.be/oj2KWzkxkbQ

Statische Bestimmtheit: Notwendige Bedingung wird mit zwei verschiedenen Abzählkriterien überprüft, hinreichende mit dem Aufbaukriterium, System ist statisch bestimmt. Resultierende bilden, Summe Ma, Fx und Fy ergibt die Lagerkräfte, Schnitt I und II die Stabkräfte 1 und 2, bei Schnitt zwei muss der obere Dreigelenkbogen aber vorher abgebaut werden.

Mechanik1,statischeBestimmtheit, 4Systeme                                                                                      https://youtu.be/V0y2OsN-tnk

System 1 ist statisch bestimmt und abbaubar, 2 Abzählkriterien werden vorgestellt, und das Aufbaukriterium. System 2 ist einfach unbestimmt, wenn beides Festlager sind. System 3 ist ebenfalls einfach unbestimmt, wenn beides Festlager sind. System 4 ist eine sogenannte Ausnahmelagerung, ein unbrauchbares System, das mit den Methoden der nichtlinearen Festigkeitslehre berechnet werden kann und riesige Stabkräfte bewirkt. Es ist kinematisch verschieblich, und Temperatur oder Lagersenkungen bewirken riesige Kräfte. Das Abzählkriterium gaukelt statische Bestimmtheit vor und erweist sich wieder einmal als nicht ausreichend. Ich gehe von 2 Festlagern aus.

Mechanik1, Fachwerk, alle Stäbe                                                                                                    https://youtu.be/UhWcWh3ETUs                   
Die statische Bestimmtheit kann mit dem Abzählkriterium nicht nachgewiesen werden, mit s + a = 2k kann gezeigt werden, dass die notwendige Bedingung für statische Bestimtheit erfüllt ist, man hat 12 Gleichungen für 12 Unbekannte, das Aufbaukriterium ist dann die hinreichnede Bedingung. Mit Gleichgewicht an den Einzelknoten bekommt ma 4 Stäbe bequem raus, dann Lagerkräfte am Gesamtsystem, die restlichen Stäbe ausrechnen und drei Proben bleiben übrig, die alle erfüllt sind. Sin 45° =1/Wurzel 2 wird erklärt.

K-Fachwerk                                                                                                                              https://youtu.be/0X9q4v6Z0Bs

Schnitte so führen, dass zwei Vertikal- und zwei Horizontalstäbe geschnitten werden, Summe M ergibt dann alle Stabkräfte im Obergurt und im Untergurt. Dann Knoten freischneiden, Summe H, Differenz der Obergurtkräfte + Diagonalkraft mal cos al = 0, mit cos al = 2/Wurzel 5 ergeben sich die Diagonalkräfte, Summe V ergibt dann die Vertikalkräfte.

 

Mechanik1,Fachwerk,3Stäbe                                                                         https://youtu.be/xwbJjMNHt4o

Gesamtsystem, Summe MB, Summe V ergibt die Lagerkräfte, B nach oben, A nach unten. BH = 0 aus Summe H. Knoten A, B freischneiden, sin und cos von Alpha bestimmen, S1,S2 und unten S3 ausrechnen. S1 ist Zug, S2 und S3 ist Druck.

Mechanik1,Fachwerk,5Stäbe,2Kräfte                                                                               https://youtu.be/tCZnu-TNfYs

GEsamtsystem, Summe Ma, H und V ergibt die Lagerkräfte, 5m zu 2,5 m verhalten sich wie 2/1, Dreieck zeichnen, Ankathete 2, Gegenkathete 1, Hypothenuse nach pythagoras ist Wurzel5, sin al = 1/Wurzel5, cos al =2/Wurzel5. Knoten A, Summe H,V ergibt S1, S2,Knoten C; summe H, V ergibt S3, S5, Knoten B, Summe H, ergibt S4.

 

Fachwerk, 4Stäbe, 45 Grad                                                                           https://youtu.be/xZfoFSjc6m0

Gesamtsystem, Summe Ma, Summe Fx, Fy ergibt Lagerkräfte, rechtes Teil oben, Summe MG, ergibt S3 = - 2 S4, gesamter Oberbau, Kräftesumme nach rechts unten ergibt S4 =, S3 = -2F, Kräftegleichgewicht rechts ergibt Gelenkkräfte, linkes Teil, Summe Mp ergibt S1=-F, Summe F ergibt S2 =+F, Freikörperbilder zeichnen.

Fachwerk, Seil, Nullstäbe                                                                              https://youtu.be/zwHpDEmJrfs

Seil wird dreimal geschnitten und als Kraft angetragen, Sesamtsystem, Summe Mc, Fx, Fy ergibt Lagerkräfte, Nullstäbe erkennen, 11  und 5, Knoten freischneiden und gesuchte Stäbe bestimmen, vorher noch sin, cos der Winkel überlegen.

Fachwerk, 8Stäbe                                                                                       https://youtu.be/1keHoGU6zhQ

By = 0, dann Gesamtsystem, Summe Ma ergibt Bx =F, Summe Fy ergibt Ay=F, Summe Fx ergibt Ax = -F.
Jetzt verschiedene Knoten freischneiden, alle Stäbe als Zugstäbe antragen, Summe Fx, Fy ergibt jeweils 2 Stabkräfte. Zum Schluß gibt es drei Proben, also nicht mehr benötigte Gleichungen.

Kraft mit drei räumlichen Stäben  
https://youtu.be/SOgHepRiQBw
Relativ einfach: Rechnerisch, drei Einheitsvektoren aufstellen, Summe der Kräfte ist Null, ergibt drei Gleichungen für die 3 Stabkräfte.
Graphisch: Kennt man einen weiteren Wert, zum Beispiel die Komponente von S1 in e2 Richtung, genannt H2, dann bekommt man eine schöne und einfache graphische Lösung, wo man ein Viereck im Grund- und Aufriss erhält, die Pfeile laufen sich nach, und die Pfeilendpunkte müssen in beiden Skizzen genau übereinander liegen, die e2-Komponenten sind also in beiden Skizzen gleich.
Schwieriger wird es, wenn man die Lösung komplett graphisch durchführen will, hier habe ich einen Lösungsvorschlag, da sollte sich aber noch besseres finden lassen.

Mast mit zwei Stäben
 
https://youtu.be/tSBH-3DnX-8

Lagerkräfte ansetzen, Summe A1 ergibt B, Summe A2 ergibt C Summe F1,F2 und F3 ergibt A1,A2 und A3, Stabkräfte sind - Wurzel 2 mal B bzw. C

 

 

Fachwerk mit 20 Stäben                                                                                                              https://youtu.be/ngs06mdghfk

Abzählkriterium f = 2 k -a -s ergibt Null, notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt, Aufbaukriterium zeigt: System ist statisch bestimmt. Gesamtsystem, Summe V ergibt Av, unteres Teil, Summe MG ergibt AH, Kräftegelchgewicht ergibt die Gelenkkräfte in G, Summe MC für oberes Teil ergibt Bh, Summe H ergibt Ch. Dann Knotenabbauverfahren ergibt alle Stabkräfte.

Hochspannungsträger                                                                                                                  https://youtu.be/thd8XYbYJNg

Die Gelenke fehlen: Es wird erklärt, dass ein Fachwerk auch dann mit Vollgelenken und ausschließlich Normalkräften durchgerechnet werden kann, wenn alle Knoten biegesteif sind und Momente übertragen könnten - solange das Fachwerk ausschließlich in den Knoten belastet wird. Drei rechtwinklige Dreiecke werden heraus gezeichnet und sich der Sinus, Cosinus und Tangens der drei vorkommenden Winkel berechnet. Danach wird die Aufgabe mit dem Knotenabbauverfahren gelöst, die Knoten nacheinander freigeschnitten und mit Summe H,V = 0 die Stabkräfte bestimmt. Zum Schluss wird das Gesamtsystem freigeschnitten, die Lagerreaktionen AH, AV und BH bestimmt und durch Freischnitt der Knoten B und H und Gleichgewicht erhält man drei Proben, die die Richtigkeit der Stabkräfte bestätigen.

Knoten 3 beim Hochspannungsträger                                                                                                              https://youtu.be/nfJDF8wJKpg

Sin und cos al, be werden nochmals mit Pythagoras aufgeschrieben, auch die Stabkräfte links vom Knoten, S1, S7, S4. Für Knoten 3 werden Summe H, V = 0 gebildet, die bekannten Stabkräfte horizontal zu 30kN + 10 kN = 40 kN und vertikal 6kN+6kN = 12 kN zusammengefasst. Bei den unbekannten Stäben wird sin, cos al, be eingesetzt, die Summe V mit -5 malgenommen und die Gleichungen aufaddiert.

Zweiteiliges Fachwerk, Ritter mit 4 Stäben                                                                                        https://youtu.be/5q9LwSeqXi4

Gesamtsystem, Summe H, linkes Teil, Summe MG, Summe H, V rechtes Teil Summe MG und Summe V ergibt alle Lager- und Gelenkkräfte, Freikörperbild der beiden Teilsysteme. Knoten K betrachten, rechte Diagonale ist Nullstab, Summe V ergibt S3 = - Wurzel 2 F. Ritterschnitt führen, Summe MK, V und H ergibt die restlichen Stabkräfte. Freikörperbild vom Ritterschnitt zeichnen und alle drei Gleichgewichtsbedingungen nochmals prüfen, evtl. um anderen Punkt Summe M bilden. Die Stäbe 2, 3 gegen auch dann über die Länge a Wurzel 2 durch, wenn sie durch ein Gelenk in zwei Hälften geteilt sind.

Seilwinde mit zwei Stäben                                                                                                             https://youtu.be/ZE0olOzaYds

Die Seilkraft ist auch im horizontalen Seil G, also G nach links und unten einzeichnen, S1, S2 als Zugstäbe unter den Winkeln Alpha, Betha eintragen, Summe H und Summe V bilden, ergibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, Auflösen nach S1 und S2. Rechner muss auf DEG stehen. Auflösen zweier Gleichungen wird mit Herleitung der Cramerschen Regel erklärt. Außerdem läßt sich die Aufgabe graphisch lösen, indem man die Kraft G nach links und unten abträgt, freie Schenkel mit den Winkeln Alpha, Betha einzeichnet und deren Schnittpunkt bestimmt. Die 4 Pfeile müssen sich nachlaufen. Übertragung in den Lageplan klärt, ob es sich um Zug- oder um Druckstäbe handelt.

Fachwerk mit 4 unbekannten Stäben                                                                                                              https://youtu.be/svp_D49RDM0

Zuerst die Lagerkräfte prüfen, Gesamtsystem, Summe H, V und M um beliebig gewählten Punkt muss Null sein, passt. S1 schneiden, ein Dreieck aus drei Stäben dreht sich um das Gelenk P1, Summe M=0 ergibt S1. Geometrie: sin45° = cos 45° = 1/Wurzel 2.
S2 schneiden, nächstes Dreieck dreht um P2 Summe M um P2 ergibt S2, analog zu eben.
S3 schneiden, wieder dreht ein Dreieck um P3, Stab S3 wird zerlegt in 2/Wurzel5 = cos al, 1/Wurzel 5 = sin al Anteile.
Stab 4 sehe ich nicht direkt, ich berechne erst einen S5 mit einem weiteren Dreieck, dass sich um P5 dreht, schneide dann das Gelenk P4 frei, Summe H=0 ergibt S6, Summe V=0 ergibt S4.

Schweres Fachwerk mit 15 Stäben                                                                                                  https://youtu.be/GVYmRTFmvYE

Gesamtsystem, Summe Ma, Summe V und H=0 ergeben die Auflagerkräfte, die wegen Symmetrie ohnehin klar sind. Summe M am Schrägstab links gibt Stabkraft S4. Statische Bestimmtheit mit Abzähl- und Aufbaukriterium wird nachgewiesen, Geometrie mit cos al = 2/Wurzel5, Sin al = 1/ Wurzel 5 geklärt. Linke Systemhälfte freigeschnitten, S5 aus Summe Md und Gelenkkräfte in D werden bestimmt. Freischnitt Knoten D mit Summe H, V = 0 oder Summe M ergibt wieder zwei Stabkräfte, Summe H, V=0 am Knoten E ergibt die nächsten 2 Stabkräfte. Nochmal den Knoten F freigeschnitten, ergibt S3 und eine Probe.

Zweiteiliges K-Fachwerk mit 26 Stäben                                                                                             https://youtu.be/ZiW17NWtz04

Prüfen auf statische Bestimmtheit: 15 Knoten mal 2 Gleichungen, Summe H, V=0 ergibt 30 Gleichungen für 4 Lager- und 26 Stabkräfte, notwendige Bedingung erfüllt, Stäbe zu zwei statisch bestimmten Scheiben zusammenfassen, ergibt Dreigelenkbogen, hinreichende Bedingung ist erfüllt. Gesamtsystem, Summe MB, linkes Teil, Summe G ergibt die Kräfte Av, Ah. Summe H,V=0 für beide Teilsysteme ergibt die Gelenkkräfte und die Kräfte in B. Ritterschnitt im linken Teil führen, 2xSumme M und Summe V ergibt die Stabkräfte 1,2 und 3, Summe H als Probe. Rechtes Teil, Knoten K, Summe H = 0, S5=-S6. Jetzt Schnitt 2 führen und mit Summe V Stabkräfte 5,6 bestimmen, dann mit Summe M und Summe H die restlichen Kräfte. Graphische Lösung mit Culmann geht links leicht, aber auch rechts ist die graphische Lösunk möglich, wenn man das K geschickt schneidet und mit Culmann S4, S7 bestimmt und die Resultierende der Vertikalstäbe in K. Krafteck für Knoten K ergibt dann S5, S6.

Schnitte, Scheiben und Vorgehen bei Fachwerke                                                                                https://youtu.be/-YrR91TXGDc
Fachwerke lassen sich oft in mehrere starre Scheiben zerlegen, um die herum geschnitten wird. Zeichnet man den Schnitt in die Aufgabenstellung ein, z. B. römisch Eins, kann man beim Herauszeichnen des Schnittes darauf verzichten, die nicht geschnittenen Stäbe im Inneren alle einzuzeichnen. Man zeichnet nur die Kontur des inneren Bereiches und die Kräfte, die wirklich geschnitten sind. Ein Schnitt ist immer eine geschlossene Kurve, und zu jeder Gleichgewichtsaussage (Summe H, V und M) sollte man dazu angeben, um welchen Schnitt es sich handelt. Auch ist es sinnvoll, die Aufgabe mit Freikörperbildern abzuschließen, also die berechneten Gelenk und Lagerkräfte an den Einzelteilen nochmal einzuzeichnen, weil man dann Fehler sofort sieht und zum Berechnen der Stabkräfte im Inneren gleich alle äußeren Kräfte zur Hand hat.

Hamburg,Grätsch,2.16-1                                                                                                             https://youtu.be/TL-MVV5Pq5A

Das Abzählkriterium liefert mit 6 Knoten mal 2 Gleichungen minus 3 Lager- und 9 Stabkräften f=0, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt, Aufbaukriterium liefert eine aus Dreiecken bestehende statisch bestimmte Scheibe, Fest und Gleitlager, statisch bestimmt. 5 ist Nullstab, wegen Summe V am unteren Knoten. Knoten rechts und links oben rauszeichnen, Summe H, V=0 ergibt 4 Stabkräfte, Ritterschnitt einzeichnen, ergibt zwei weitere, alle Stabkräfte einzeichnen und probe am Lager B.

Abbaubares Fachwerk mit 13 Stäben und zwei Kräften                                                                        https://youtu.be/kLbboke9iOo
Gesamtsystem, Summe MA=0 und Summe V=0 ergibt die Lagerkräfte A und B, Ah =0. Nun werden die Knoten nacheinander freigeschnitten, es dürfen jeweils nur zwei unbekannte Stäbe am Knoten angreifen, und man erhält nacheinander alle Stabkräfte. Das Verfahren heißt Knotenabbauverfahren. Der letzte Knoten verbleibt zur Probe, da man dann bereits alle Stabkräfte kennt. Nachteil: Ein Stab falsch berechnet, Probe stimmt nicht, und nach dem Fehler sind dann alle weiteren Stäbe automatisch falsch.
Für die Stäbe in der Mitte ist daher der Ritterschnitt eine gute Alternative, bei der nur die Lagerkräfte und Lasten eingehen und daher keine Folgefehler auftreten können. Man erhält immer eine Gleichung für eine unbekannte Stabkraft, indem man die Summe M=0 um den Punkt bildet, in dem sich die beiden anderen Stabachsen schneiden.

Mechanik 1 HÜ3 WS 16-17                                                                                                         https://youtu.be/pBwdwpC9qQw
Gesamtsystem, Summe MB = 0 und Summe V ergibt die Lagerkräfte A und B, die Horizontalkraft ist Null. Wegen der nach unten gerichteten e3-Koordinate Vorsicht beim Eintragen der Ergebnisse, die nach unten gerichtete Kraft A ist positiv. Schnitt I und Summe MP=0 ergibt eine einfache Gleichung für S6, die Kraft S6 auf ihrer Wirkungslinie auf Höhe des Bezugspunktes schieben, S sin 30° = S/2 hat den Hebel a, die Horizontalkomponente hat keinen Hebel. Weil S1, S3 Nullstäbe sind und S4 = -B, lässt sich der Knoten P freischneiden, Summe V=0 ergibt: S7 sin 60° + B = 0.

 

8) Schnittgrößen

Mechanik1, Reese, Leistungsnachweis, 2014, A2                                                                http://youtu.be/XwMTHe-Hp4A

Zuerst werden die Auflagerkräfte bestimmt. Dann ein Freikörperbild gezeichnet, aus dem die Kräfte in allen Gelenken hervorgehen. Danach ist das Zeichen der N-, Q- und M-Fläche ziemlich einfach.

Mechanik1, Reese, Schnittgrößen am Kreisbogen                                                                http://youtu.be/hdg6pMDaU5A

Geometrie klären, rechts zum Lager B 30°-Winkel, Summe Ma, Fx, Fy geben die 3 Lagerkräfte, einen Schnitt führen auf der linken Seite mit phi zwischen 0° und 90°, bei Phi max = 85,89° wird N und M maximal und Q Null, dann rechts einen Schnitt führen unter Phi zwischen 30° und 90° und wieder N,Q,M aufstellen, Endwerte einsetzen und N,Q,M-Flächen zeichnen.

Mechanik, Klausur, Markert, A6  
 
http://youtu.be/aDI9lniZpqA
Aus der Querkraftfläche wird das Momentendiagramm und aus diesem die Last hergeleitet. Die Querkraft ist die Steigung der M-Fläche, bei Q=0 ist das Maximum, der rechte Teil von M ist gekrümmt, daher Streckenlast, die Knicke der Momentenfläche sind die Auflagerkräfte.

Mechanik1, Klausur, Markert, A10                                                                                 http://youtu.be/B0W4H_6EMME
Stäbe als Zug einführen, Summe der Momente um A und B für die beiden Teilsysteme bilden und die zwei Gleichungen nach den beiden Stabkräften auflösen. Der Aufgabenteil 2 ist inkorrekt, da beim Punkt C die Querkräfte unmittelbar links und rechts von Stab 2 unterschiedlich sind, man hätte also angeben müssen, ob Q links oder rechts vom Stab gesucht ist. Balken links von C betrachten, Schnittmoment ist dann S1 L - q1 L mal L/2, bei der Querkraft führt S1 L - q1 L auf das Ergebnis 11/18 q0l, also ist anscheinend Q links von C gesucht.

Mechanik1, geschlossener Rahmen                                                                                 
http://youtu.be/ZBvRV13rD5s
Wegen der Pendelstütze ist in B nur eine Vertikalkraft, die mit Summe Ma berechnet wird, Summe Fx, Fy für das Gesamtsystem ergibt die Lagerkraft A. Jetzt die Freikörperbilder zeichnen, jedes Teil für sich muss im Gleichgewicht sein, eine gestrichelte Faser einzeichnen und N, Q und M-Fläche zeichnen. Im Bereich der Gleichstreckenlast mit der Integrationsmethode Ort und Betrag von Mmax bestimmen.

Mechanik1,Geschlossener Rahmen 2                                                                               http://youtu.be/RwqvlFzf7uM

Zuerst das Gelenk unten links freischneiden, danach liefert der  vertikalen Gelenkbalken die horizontalen und der horizontale Gellenkbalken die vertikalen Kräfte. Jeweils die Gelenkkräfte umdrehen und auf die anderen Teile einzeichnen. Zum Schluss die Kragarme mit den Einspannreaktionen. N-, Q- und M-Flächen sind dann einfach.

Mechanik1 Schnittgrößen Dreigelenkbogen                                                                       https://youtu.be/Bi_q14xZOYM
Freischneiden, Lagerkräfte ermitteln, Streckenlast aufteilen, N-, Q-, M-Fläche zeichnen, Integrationsmethode für schrägen Balken ergibt Maximalmoment

Gerberträger, Schnittgrößen                                                                                           https://youtu.be/Glt1HM1LlDY

Streckenlast zu Resultierenden zusammenfassen, linken Teil freischneiden, Gelenkkraft und A ausrechnen, rechten Teil freischneiden, By und C ausrechnen, Normalkraftverlauf fehlt, die -30kN von links bis zum Festlager, dann N=0, Bx = -30kN.
Freikörperbilder zeichnen, dann Q und M als Skizze mit Extremwerten und zum Schluss die Funktionsgleichungen mit Probe.

Schnittgrößen, System mit trapezförmiger Last                                                                    https://youtu.be/pfCVkRny4_8
Linker Horizontalstab und Feder Kräftefrei, können weggestrichen werden, linker Stab,Summe Mg, Ax=ay=A, Gesamtsystem, Summe Mb,Fx,Fy ergibt Lagerkräfte, rechtes System freischneiden, Summe M,Fx,Fy ergibt Stabkraft und weitere Gelenkkraft, Freikörperbilder, Flächen N, Q und M zeichnen, M im belasteten Teil nochmal mit Integrationsmethode als Funktionsgleichung.

Schnittgrößen, abgewinkelter Einfeldträger mit Dreiecks- und Rechtecklast sowie Einzelkraft          https://youtu.be/RCtDHazYFf0

Resultierende bilden, Lagerkräfte berechnen, Flächen N, Q und M zeichnen, Wert unter der Einzellast sowie Maximalwert bestimmen, Funktionsgleichungen aufstellen.

Schnittgrößen, abgewinkelter Balken, Dreieck- und Rechtecklast und 3 Kräfte                           https://youtu.be/Inv6JvdP-m4

Resultierende R1,R2 bilden, Gesamtsystem, Summe Mb ergibt Ah, Summe H und V ergibt Bh, Bv. Freikörperbild, Normalkraftfläche durch Hinsehen, Querkraftfläche durch Addition R1+Ah+R2, Momentenfläche, zunächst qualikativ, dann mit Funktionsgleichung den zweiten Bereich genau untersuchen, Probe am Lager B. Verschiedene Methoden, wie man zum Moment in Punkt 3,4,5 kommen kann.

Schnittgrößen, System aus 4 Teilen                                                                                  https://youtu.be/N1L6z4Lg-J8

Bh ist Null, Summe Ma ergibt Bv, Summe H,V ergibt Ah,Av. Freikörperbilder herstellen, wobei jedes Teil für sich im Gleichgewicht sein muss. N, Q und M zeichnen. Probe: Momentengleichgewicht an Rahmenecke. Maximalmoment mit oder ohne Integration.

Schnittgrößen und Bemessung eines Holzfachwerkes in C30                                                  https://youtu.be/qAcac8M-V4M

Streckenlast insgesamt 13 kN/m, Resultierende bilden, Summe Ma ergibt Bv, Summe V,H ergibt Av,Ah. Ah =0, Av=Bv, Symmetrie. Knoten A freischneiden, ergibt zwei Stabkräfte, Knoten C ergibt restliche Normalkräfte. N, Q und M-Diagramme zeichnen.
Balken wählen, z.B. b=120mm, h=240mm, Fläche und Widerstandsmoment ausrechnen, Spannung berechnen und prüfen, ob sie unter 30 N/m² bleibt. Knicknachweis nach Aufgabenstellung nicht gefordert.

Schnittgrößen: exotische Koordinatensysteme                                                                    https://youtu.be/RJdivOSmBRY

Zerst werden wie gewohnt bei normalem Koordinatensystem und Standardnormkästchen die Lager- und Gelenkkräfte bestimmt, Freikörperbilder gezeichnet und die Schnittgrößen N, Q und M gezeichnet. Dann wird für ein speziell vorgegebenes Koordinatensystem mit x-Achse nach oben und y-Achse in die Zeichenebene hinein das Normkästchen hergeleitet und die Schnittgrößen unterhalb des Eckpunktes berechnet: N,M bleiben unverändert, Q ändert das Vorzeichen. Dann wird die Integrationsmethode für dieses Koordinatensystem hergeleitet, das alte Schema ändert sich nicht, und Q, M als Funktionsgleichung von x entwickelt.

Rollen, Gelenkkräfte, Schnittgrößen                                                                                https://youtu.be/cZ6y1AL_xeA

Die Rollen werden weggeschnitten und die Kräfte im Rollenmittelpunkt angesetzt, Schnitte Gesamtsystem, linkes und rechtes Teilsystem, zwei Momentengleichungen ergibt zwei Gleichungen für m Ax, Ay, Auflösung, mit Kräftegleichgewicht erhält man die anderen Kräfte. N-, Q- und M-Fläche zeichnen, im Obergurt noch Funktionsgleichungen für Q und M aufstellen und das Maximale Feldmoment ausrechnen.

Schnittgrößen, Gerberträger mit Rechtecklast                                                                     https://youtu.be/aDgFQa9twYA

Rechtes Teilsystem, Summe der Momente um G ergibt LAgerkraft C, Kräftegleichgewicht ergibt Gelenkkräfte. Linkes Teilsystem, Summe M und Kräftegleichgewicht ergibt die fehlenden Lagerkräfte. Freikörperbilder von beiden Systemteilen. N, Q und M-Flächen zeichnen, M´=Q ausnutzen, Maximalwerte, Schnittgrößenfunktion, Probe.

Mechanik1, Schnittgrößen, Abgewinkelter Balken mit Rechtecklast                                         https://youtu.be/YF7QlbHTtjE

Summe MA ergibt B, Kräftegleichgewicht Ax, Az, dann N,Q und M zeichnen, mit Schnittprinzip am Ende wird noch die Funktionsgleichung aufgestellt.

Schnittgrößen: Einfeldträger mit q und F                                                                          https://youtu.be/qESx1mM08ug

Summe M, Summe F ergibt die Lagerkräfte, Q und M können mit Extremwerten gezeichnet werden, ohne eine Funktionsgleichung aufzustellen. Q und M werden dann für beide Bereiche aufgestellt, dabei wird die Integrationmethode und das Schnittprinzip gezeigt.

Gerberträger, Dreieckslast, M- und Q-Fläche mit Integrationsmethode oder mit Schnittprinzip        https://youtu.be/7gvLITcaZwY
als Funktion von x aufstellen, zweimal Integrieren, A und MA als Integrationskonstanten, Randbedingungen: Im Gelenk und im rechten Lager ist M Null, damit Integrationskonstanten bestimmen, dann Q- und M-Funktionen nochmal sauber hinschreiben, die q, Q und M-Flächen untereinander zeichnen, die Gelenk- und Lagerkräfte sowie das Einspannmoment einzeichnen, also Freikörperbilder, und mit Q8x)=0 noch Ort und Wert vom maximalen Feldmoment bestimmen. Am Ende wird noch gezeigt, wie umständlich die Lösung mit dem Schnittprinzip doch wäre.

Dreigelenkbogen mit Rechtecklast                                                                                   https://youtu.be/qDpReq9rW4A

Streckenlast zur Resultierenden 15kN zusammenfassen, Gesamtsystem, Summe MA und Summe V ergibt Av=Bv=7,5 kN, linkes Teilsystem, Summe MG, ergibt AH = 3,75 kN, Gesamtsystem, Summe H, ergibt BH=3,75 kN, Freikörperbilder zeichnen, dann N-, Q- und M-Fläche, M ist die Parabel q L²/8 wie beim Einfeldträger.

Mechanik1, Integration der Gleichgewichtsdifferentialgleichung                                               https://youtu.be/cbu8JDfVqzU
Zuerst ermittele ich mit Resultierenden und Gleichgewicht die Gelenk- und Lagerkräfte und zeichne das Ferikörperbild und die Flächen N, Q und M. Dann erkläre ich die Gleichgewichtsdifferentialgleichung und berechne zuerst Ort und Betrag des maximalen Feldmoments im linken Träger, womit die Aufgabe eigentlich zu Ende wäre.
Jetzt erläutere ich die DGL für N(x) und integriere alle drei DGLs in allen drei Bereichen. Ich erhalte 9 Integrationskonstanten. Dann stelle ich mit den Rand- und Übergangsbedingungen 9 Gleichungen auf, mit denen sich die 9 Integrationskonstanten berechnen lassen.

 

Schnittgrößen, quadratische Streckenlast integrieren                                                             https://youtu.be/H9ImYmw4eGo

Streckenlast wird mit Randbedingungen links und rechts Null, in der Mitte q/4 aufgestellt, zweimal integriert, links ist Q Null, rechts ist M Null, damit werden die Integrationskonstanten bestimmt. Freikörperbild mit Ma und Bv zeichnen, Q und M Diagramm unter q zeichnen.

Kreisbogen, Lager, Gelenkkräfte                                                                                     https://youtu.be/3nU7TdrPQCA
horizontale und vertikale Abmessungen eintragen, in G aufschneiden, Gelenkkräfte antragen, Summe MA, MB ergibt 2 Gl für Gx, Gy, dann Summe F für beide Teilsysteme ergibt Lagerkräfte, Freikörperbild zeichnen.

Seilreibung, Schnittgrößen, Freikörperbild                                                                         https://youtu.be/-ov90_ypBRI

F ergibt sich nach dem Seilreibungsgesetz zu mg durch e hoch mü mal Umschlingungswinkel, der ist bei zwei Umschlingungen 4 Pi. Balken mit 4 mal F zeichnen, wobei die Kräfte gleich im Rollenmittelpunkt angesetzt werden können. Mit Summe Fx, Fz und Summe MA Einspannreaktionen bestimmen, N,Q und M-Flächen zeichnen, Seilreibungsgesetz herleiten.

Mechanik1,Schnittgrößen,Integrationsmethode, Wurzelfunktion                                             https://youtu.be/sRMdZ3HxVeA

Die Streckenlast wird mit Vorzeichenwechsel zur Querkraft intehriert, Integrationskonstante sei A = Qo, Randbedingung Q am freien Ende ist Null ergibt A. Weitere Integration ergibt den Momentenverlauf, Integrationskonstante Ma wird mit Randbedingung - M am freien Ende Null - bestimmt. Dann wird noch der Schwerpunkt der Wurzelfläche bestimmt, Q und M als Funktion schön aufgeschrieben und die Wechselwirkung des Balkens auf andere Systemteile angedeutet.

.Schnittgrößen,Dreieckslast, fünfteiliges System 
 
https://youtu.be/2Z-mDy0KIzA

q als Funktion von x aufstellen, zweimal integrieren, zu Q mit Vorzeichenwechsel, Randbedingungen M an den Enden Null, ergibt A, Querkraft- und Momentenverlauf.
Dreiecksalst zu vertikaler und horizontaler Kraft zusammenfassen, alle Gelenk und Lagerkräfte ausrechnen, Freikörperbilder zeichnen, N,Q und M skizzieren, positive Werte auf Seite der gestrichelten Faser. Zusammenhang zwischen  q,  Q, M auch in der Skizze beachten.

Mechanik1,Vorzeichen und Normen bei Schnittgrößen                                                                        https://youtu.be/QBhbSEAdHnk

Koordinatensystem x, z, y wird eingeführt, das Normkästchen erklärt, die gestrichelte Faser erklärt. Positive Werte sind nach unten abzutragen, also auf Seiten der gestrichelten Faser, die gleichzeitig die Laufrichtung der lokalen x-Koordinate vorgibt. Es wird weiter erklärt, warum wir nicht das aus der Schule vertraute x,y-Koordinatensystem verwenden. Und ein Beispiel durchgerechnet.

Mechanik1,Schnittgrößen,Dreieckslast, krankes Koordinatensystem                                                        https://youtu.be/GKYzHxT5BDw                   

Koordinatensystem mit y nach unten, q)x) ausdrücken, Integrationsmethode herleiten, q zweimal Integrieren, Integrationskonstanten sind Null. Laufrichtung der Koordinate aber von freiem Ende aus ist sinnvoll.

Schnittgrößen, Dreigelenkbogen, Dreieckslast und EinzelkraftBaustatik                                                     https://youtu.be/RFQDGm5-SSE

Aufteilen in Rechteck und zwei Dreiecke, Schnitte 1+2, Gleichgewicht ergibt alle Lager- und Gelenkkräfte, Freikörperbild, N, Q und M-Fläche. Mmax mit Integrationsmethode. Die Integrationsmethode hätte und die Lagerkraft Av ebenfalls geliefert mit der Randbedingung m bei L ist Null.

Schnittgrößen, 4-teiligesSystem. drei Streckenlasten                                                                              https://youtu.be/3WrHTRGbsow

rechtes Teilsstem, Summe H, GH=0, Obere Pendelstüze,Summe MH, B=0, Gesamtsystem Summe H, AH=0, Sterckenlast in Rechtecke und Dreiecke zerlegen und Resultierende bestimmen, links, Summe MH ergibt AV, Summe V ergibt Hv. Mittleres Teilsystem, Summe Mc ergibt Gv, Summe V ergibt C. Rechtes Teilsystem, Windlast in Horizontal- und Vertikalkraft zerlegen, Summe ME ergibt D, Summe V ergibt E, Freikörperbilder zeichnen.

Mechanik1, Schnittgrößen, Kontaktpunkt, reibungsfrei.                                                                      https://youtu.be/wkAo4P_Xfyc
linkes Teilsystem, im Berührpunkt Normalkraft N ansetzen, Summe M um das Festlager ergibt N, Summe H,V die Lagerkräfte. Rechtes Teilsystem, N ansetzen, Summe MA ergibt Gleitlagerkraft, Summe H,V ergibt Festlagerkraft. Freikörperbilder zeichnen.

 

Mechanik1, Schnittgrößen, N-förmiger Träger                                                                                   https://youtu.be/xd1UYW_TMsE
Resultierende bilden, Schnitte Linkes und rechtes Teilsystem sowie Gesamtsystem, Ges, Summe H ergibt BH, RE: Summe MG ergibt BV, den Rest mit Summe H, Summe V kann man im Kopf lösen. N, Q und M-Flächen zeichnen.






Mechanik1,Schnittgrößen,4-teiliges System,Aufbaukriterium                                                                  https://youtu.be/G7p-VSOrkkU
Aufbaukriterium: Unten Balken auf zwei Stützen, darüber Dreigelenkbogen, links Balken auf zwei Stützen. Die Kräfte werden in umgekehrter Reihenfolge bestimmt, wir haben also nicht nur eine hinreichende Bedingung, sondern auch einen Plan, in welcher Reihenfolge wir die Schnitte legen und die Kräfte bestimmen. Freikörperbilder zeichnen, N, Q und M-Fläche, rechts oben maximales Feldmoment bestimmen. Kontrolle am Festlager: An beiden Seiten Q und N-Kräfte sowie die Lagerkräfte anteragen, Summe H, V muss Null sein. Moment muss natürlich auf beiden Seiten übereinstimmen. Gestrichelte Faser wurde innen gewählt.

Mechanik1,Dreigelenkbogen,Schnittgrößen                                                                                       https://youtu.be/Jf0OybVUQ64

Bv, Bh in beliebiger Richtung antragen, Kräftegleichgewicht, Gelenkkräfte sind gleich Kräfte in Festlager B, Summe Mg für rechtes Teil, Summe Ma für linkes Teil, 2 Gleichungen für Bv, Bh, auflösen. Mit Summe H, V am linken Teil Av, Ah ausrechnen. Freikörperbilder zeichnen, N, Q und M-Fläche zeichnen.

Mechanik1,Schnittgrößen,Dreigelenkbogen,2Kräfte                                                                            https://youtu.be/YC6VbY2ZbmE

Gesamtsystem, Summe Ma ergibt Bv, Summe V ergibt Av, linkes Teilsystem, Summe Mg, ergibt Ah, Gesamtsystem, Summe H, ergibt Bh, Freikörperbilder, N, Q und M-Flächen zeichnen.

Mechanik1,Schnittgrößen, Rechteck, Dreieck ,Integration                                                                    https://youtu.be/U-w0UuHh6CQ

Rechtes Teil freischneiden, Horizontalkräfte aus Summe, MG, Summe Fx, sind q a/2. Streckenlast kann in Rechteck und Dreieck aufgeteilt werden, dann Summe Fz ergibt Lagerktaft, Summe Ma ergibt Einspannmoment, N, Q und M zeichnen. Systematischer ist die Integrationsmethode: Streckenlast als Funktion aufstellen, zweimal integrieren, Randbedingungen: Links Q=0, bei a M=0. Vorteil: Ich bekomme Funktionsgleichungen für Q und M, und ich kann das Verfahren auch bei Parabelförmigen Streckenlasten und Sinuslasten anwenden. Bei Sinuslasten immer mit c1, c2 statt Av, Ma arbeiten weil cos 0 nicht Null ist.

Schnittgrößen, Gerberträger mit Dreiecks- und Rechtecklast                                                                 
https://youtu.be/eyyJamBEdJE

linken Teil freischneiden, Resultierende bilden, Summe Mg ergibt A, Summe Fz ergibt Gelenkkraft G, rechten Teil freischneiden, Resultierende bilden, Summe MC ergibt B, Summe Fz ergibt C. Querkraftfläche wird von links nach rechts gehend gezeichnet, M-Fläche ebenso, Feldmomente mit auswendig gelernten Formeln hingeschrieben, MB noch mit einem Teilschnitt berechnet. Die Formeln kommen aus der Integrationsmethode, den rechten Teil konnte ich erklären, dann wurde die Aufnahme leider gestört.

Mechanik1, Schnittgrößen, Gerber, Dreieck, Rechteck, Integration                                        
https://youtu.be/6WOYizd6dnE

Die Dreieckslast wird als Funktion aufgestellt und zweimal integriert, mit den Randbedingungen M in A und G =0 erhält man die Integrationskonstanten, A, G und M1max. Neue x-Koordinate einführen vom Gelenk aus, q zweimal integrieren, M in C Null ergibt B, Q=0 ergibt Ort und Betrag von M2max, Q an Stelle 5m ergibt Lagerkraft C.

Mechanik1, Schnitttgrößen, Dreigelenkbogen, Kraft, Rechtecklast                                           https://youtu.be/Nlq4SK5wMn4

Schnitte führen: Gesamtsystem, linkes und rechtes Teilsystem. Resultierende bilden, Gesamtsystem, Summe Ma ergibt By, Summe Fy ergibt Ay, linkes Teilsystem, Summe Mg ergibt Ax, Gesamtsystem, Summe Fx ergibt Bx, Freikörperbilder zeichnen, N, Q und M-Flächen zeichnen.

Mechanik1,Schnittgrößen,Trägerauf zwei Stützen,M,Rechtecklast                                            https://youtu.be/WWAl6ss66p0

Schnitt Gesamtsystem einzeichnen, Summe Ma ergibt Bv=0, Summe F ergibt Av, Freikörperbild, Q- und M-Fläche zeichnen, Probe kann mit Integrationsmethode im linken Bereich erfolgen.

Mechanik1,Schnittgrößen,Kragarm,Dreieckslast.                                                                  https://youtu.be/Wi4w_VA8H68

Einspannreaktionen mit Gleichgewicht (Summe H, V und Ma) bestimmbar, N0-f ist einfach. Dann q(x) aufstellen, zweimal integrieren und Randbedingungen einsetzen. Viel einfacher geht die Sache mit x Schlange = L-x, dann sind die Integrationskonstanten beide Null, und bei jedem Integrationsprozeß entsteht ein weiteres Minuszeichen, innere Ableitung.

 

Mechanik1,Schnittgrößen.Einfeldträger,2F,2q                                                                    https://youtu.be/YHykMTn1J8Q

Resultierende bilden, Fi in x- und z-Richtung aufteilen. Summe MA, ergibt B.  Summe Fz ergibt A. Q- und M- Fläche zeichnen, Mi ausrechnen, Mmax mit Integrationsmethode, Q0, M0 aus gezeichneten Q, M-Flächen. N Fläche zeichnen.

Mechanik1,Schnittgrößen,Einfeldträger,Dreieck,Rechteck                                                      https://youtu.be/e_5CkVfeNBo

Resultierende R1,R2 bilden, Summe Ma ergibt B, Summe Fz ergibt A, Q und M-Fläche zeichnen, dann q als Funktion von x aufstellen, zweimal integrieren und Konstanten aus Q, M-Fläche ablesen. Im zweiten Bereich Q=0 ergibt x, Einsetzen in M ergibt Mmax.

Einfeldträger, Schnittgrößen, zwei Rechtecklasten 
 
https://youtu.be/18pf4r7uDqo
Zuerst Resultierende bilden, Schnitt Gesamtsystem, Summe MA ergibt B, Summe Fz ergibt A. Dann Querkraft - und Momentenfläche qualitativ zeichnen, Werte am Rand und in der Mitte eintragen, sowie Wert und Ort von Mmax bestimmen.
Alternativ alles mit Integrationsmethode, zwei Bereiche, zwei Integrationsvorgänge, ergibt 4 Integrationskonstanten, die mit den Randbedingungen M links und rechts Null, Q und M in der Mitte gleich berechnet werden können, oder einfacher mit dem vorher gebildeten Gleichgewicht aus der Q und M-Fläche sofort abgelesen werden können.

Schnittgrößen Kranbahnträger, Dreigelenkbogen                                                                 https://youtu.be/pH_Ur7XEiWQ

Lagerkräfte sind nur Vertikal, 16 F nach oben, Normalkräfte nur in Stützen, von -16F auf -12F, Querkräfte nur im Horizontalträger, von 12 F auf 10F linear fallend, dann Sprung auf 2F und in der Mitte Null. Momentenfläche: 0 mit 11FL, 11FL und Null verbinden und Streckenlasten als quadratische PArabel mit geringem Stich abhängen, beim Angriffspunkt der Einzellast Knick. In der Mitte Mmax = 12 FL. Gleichungen werden mit Integrationsmethode und Schnittprinzip gezeigt.

Schnittgrößen, Dreigelenkbogen mit Windlast                                                                     https://youtu.be/zp_-It258g4

Geometrie klären, L mit Pythagoras, sin al, cos al ausrechnen. Resultierende bilden, Schnitte rechtes und linkes Teilsystem sowie Gesamtsystem. re, Summe Mg ergibt BH = 0, rechts Pendelstütze, Gesamtsystem, Summe Ma, Summe V, Summe H ergibt die restlichen Lagerkräfte. N-, Q- und M-Flächen zeichnen, bei M den Wert Mmax mit Integrationsmethode ausrechnen, Integrationskonstanten aus der Q- und M-Fläche.

Q,M am Einfeldträger,3Kräfte                                                                                        https://youtu.be/rGLNBLZhjtc

Summe MA ergibt B, Summe Vertikalkräfte ergibt A, dann Q und M Fläche zeichnen, Q-Fläche durch hinsehen, M durch addieren von Rechteckflächen, Probe MB = 0.

Geschlossener, dreiteiliger Rahmen, Schnittgrößen                                                               https://youtu.be/qLmz4ViuMqw

Gesamtsystem freischneiden, Summe Ma ergibt Bv, Summe Fx, Fy=0 ergibt Av und Ah=0. Rechtes Teilsyste freischneiden ergibt kraft im Pendelstab unten rechts, dann Freikörperbild mit allen Gelenkräften zeichnen, fehlende Kräfte aus Kräftegleichgewicht für die Einzelteile.
Unterschied zwischen Schnee, Wind und Eigengewicht, hier handelt es sich um Eigengewicht. Zeichnen der N, Q und M- Flächen.

Zweiteiliger Kreisbogen                                                                                                 https://youtu.be/SZk5tsfBRRg

Gesamtsystem, Summe MA, rechtes Teilsystem, Summe Mg ergibt zwei Gleichungen für Bv, Bh, die Gelenkkräfte und Lagerkräfte in A ergeben sich dann aus dem Kräftegleichgewicht. Die Schnittreaktionen werden nur für den linken Teil hergeleitet.

Schnittgrößen, Einfeldträger mit Dreieckslast                                                                      https://youtu.be/Ym6DOdRXqvY

Die Dreieckslast wird zu einer Resultierenden zusammengefasst und mit Summe MA, MB die Lagerkräfte bestimmt. Die Normalkraft ist Null, die Querkraft ist links gleich A bis zum Anfang der Streckenlast und geht dann zuerst mit großer Steigung, dann immer flacher zum Wert -B am rechten Lager, quadratische Parabel. Die Momentenfläche ist erst linear von A mit M=0 bis zum Anfang der Streckenlast M = A a. Danach ist eine kubische Parabel, die zunächst noch etwas ansteigt und dann zum Lager B auf Null fällt. Die Funktionsgleichung wird hergeleitet, indem die Streckenlast als Funktion von x aufgestellt und zweimal Integriert wird, von q nach Q mit Vorzeichenwechsel, Randbedingungen sind Q0 = A und M0 = A a.

Schnittgrößen, Balken auf zwei Stützen    
 
https://youtu.be/En6d-U-T5DY

Die Lagerkräfte werden bestimmt, die Normalkraftfläche ist minus F, die Querkraft fängt bei A an, fällt um q a, steigt dann um B und endet schließlich bei Null. Die Momentenfläche ist eine quadratische Parabel, der rechte Teil ist q b²/2, Lager A,B durch eine gerade Linie verbinden und die Parabel q a²/8 abhängen, Funktionsgleichung: Q = A - q x, M = A x -q x²/2, Q zu Null setzen ergibt x = A/q, dass einsetzen in M ergibt Mmax = A²/2q

Schnittgrößen, Kragarm mit zwei Kräften                                                                          https://youtu.be/yOhhWTNFE_Q

Die Flächen N, Q und L lassen sich sofort hinzeichnen, ohne Rechnung und Lagerreaktionen, bei N ist der Betrag F, und Zug ist positiv, Druck negativ, bei Q vergleicht man mit dem Normkästchen, beide Seiten positiv. Bei M rechne man das Moment in der Ecke und in der Einspannung über Kraft mal Hebel aus und verbinde alles durch eine Linie. Wenn das Moment fällt, ist die Querkraft positiv.

Hamburg, Grätsch, 2.16,A2                                                                                          https://youtu.be/Os7veFwOIIU
Die Steckenlasst wird zu einer Resultierenden zusammengefasst. Summe MA ergibt Bv, Summe H, V ergibt die Kräfte in A. Freikörperbild zeichnen und nochmal auf Gleichgewicht prüfen. Normalkraftfläche kann sofort hingezeichnet werden, Zug positiv, Druck negativ, einfachfreikörperbild ansehen und die Kräfte in Balkenlängsrichtung aufzeichnen. Q: Zunächst klären, was positiv ist: Normkästchen mit wirklichen Kräften vergleichen. Dann kann die Q-Fläche auch sofort gezeichnet werden. M-Fläche geht durch Betrachtung der Q-Fläche, Rechteckfläche bei Q ergibt linearen Anstieg bei M, Q=0 bewirkt keine Änderung bei M, und dann kleines Dreieck addieren und großes Dreieck abziehen, am Lager B muss wieder Null rauskommen. Alternativ Funktionsgleichung mit Integrationsmethode aufstellen, Integrationskonstanten Qo, Mo  aus der Q und M-Fläche unmittelbar rechts von der Ecke ablesen.

Abgewinkelter Balken mit zwei Kräftepaaren                                                                      https://youtu.be/T7EbhBrAQ4s

Balken freischneiden, Summe MG ergibt C, Summe H, V ergibt A, B, Freikörperbild, N, Q und M-Fläche zeichnen. A,B ergeben zusammen Horizontalkraft 1kN.

Geschlossener Rahmen mit Windlast und Einzelkraft                                                            https://youtu.be/0hZKySZBRcw

Streckenlast zu Resultierender zusammenfassen, Gleichgewicht am Gesamtsystem ergibt die drei Lagerkräfte, Freikörperbild zeichnen, dann N, Q und M-Fläche zeichnen. Momentenverlauf im schrägen Träger mit Integration, Q ist minus Integral q(x) dx, M = + Integral Q(x) dx, Integrationskonstanten QL, Ml können direkt aus der Q- bzw. M-Fläche abgelesen werden. Wo Q(x)=0, ist der Ort von Mmax, Einsetzen ergibt Mmax. Die Parabel kann auch durch Einhängen der Parabel q L^/8 gezeichnet werden, in den Viertelspunkten beträgt der Wert ¾ von q L^/8

Dreigelenkbogen mit Einzelkraft und Rechtecklast                                                               https://youtu.be/kH6OOEFE-ow

In G werden zwei Gelenkkräfte angesetzt, die Streckenlast zu einer Resultierenden zusammengefasst. Zu jeder Gleichgewichtsbeziehung gehört der betrachtete Schnitt: Für das linke Teil Summe um A, für das rechte Teil Summe um B ergibt zwei Gleichungen zur Bestimmung der Gelenkkräfte. Nachdem man diese eingezeichnet hat, ergeben sich alle Lagerkräfte aus Kräftegleichgewicht, das kann man dann schon im Kopf machen. Freikörperbild zeichnen, N, Q und M-Flächen zeichnen und im rechten Horizontalbalken Q und M als Funktion von x aufstellen.

Sparrendach                                                                                                                              https://youtu.be/Bv4ptanw9S8
Hier bin ich weder mit der Aufgabenstellung noch mit den Ergebnissen der sogenannten Musterlösung einverstanden  - Sinn der Übung ist es, ein Dach berechnen zu können, und wer das so macht, wie hier vom Professor vorgesehen, der bekommt seine Statik nicht vom Prüfstatiker abgenommen, weil sie nicht den Regeln der Bautechnik entspricht, und riskiert, aus seinem Ingenieurbüro rauszufliegen. Wir müssen also erst einmal grundsätzlich klären, was wir unter Schneelast, Windlast und Eigengewicht verstehen wollen, wie wir dies zeichnen und wie wir das ausrechnen.
Dann wird die Aufgabenstellung aufgeteilt in zwei Lastfälle, Eigengewicht und Wind, und Eigengewicht rechne ich gleich durch, Wind im nächsten Video. Die Resultierende bei Eigengewicht  ist also q mal L, L ergibt sich aus Pythagoras, wegen Symmetrie sind die vertikalen Lagerkräfte genauso groß, die Horizontalkraft ergibt sich aus der Summe MG für ein Teilsystem.

Windlast am Sparrendach                                                                                              https://youtu.be/AbvRjlPLMQA

Es wird erklärt, wo die Windlast herkommt, rho Luft ist in etwa 1,2 kg/m§, und Bernoulli oder der Energieerhaltungssatz lassen uns die kinetische Energie ½ rho v² in einen statischen Druck p umrechnen. Die Luft wird also jetzt als ruhend angenommen, aber der Luftdruck auf der Anströmseite um diesen Wert erhöht. Dieser Druck wirkt immer senkrecht auf der zu betrachtenden Fläche, er kann niemals Scherkräfte übertragen, die parallel zur Oberfläche angreifen. Auf der windabgewandten Seite ist noch ein Unterdruck zu berücksichtigen, den wir hier weglassen, der aber nicht vernachlässigbar ist.
Wir klären die Geometrie, fassen den Wind (Überdruck mal mittragender Breite des Daches ergibt kN/m) zu einer schrägen oder auch vertikalen und horizontalen Resultierenden zusammen, berechnen alle Lager und Gelenkkräfte und zeichnen N, Q und M. Bei M wird wieder die Parabel q L“/8 abgehängt und mit Hilfe der Integrationsmethode das Maximalmoment bestimmt.

Einfeldträger, 2/3 mit Streckenlast q, Mmax                                                                      https://youtu.be/XapTZhaAroI
Resultierende bilden, Summe MB und Summe V für Gesamtsystem ergibt die Lagerkräfte, Q und M –Flächen können gezeichnet werden. Mp an der Übergangsstelle im Drittelspunkt ausrechnen, eine x Koordinate einführen, Streckenlast zweimal integrieren, Integrationskonstanten aus Q und M-Fläche, Q zu Null setzen ergibt x, einsetzen in M ergibt Mmax. Oder hier auch mit der Formel, B²/2q.


Kragarm, Q gegeben, Last und Momentenverlauf ist gesucht   
https://youtu.be/mf-9rngERM0

Aus Q zeichnen wir zunächst eine Last F ans freie Ende, die dann bei ¾ L wieder aufgehoben wird, bei L/2 greift noch eine Kraft nach oben an, die durch eine Rechtecklast zwischen 0 und L/2 wieder aufgehoben wird. Momentenverlauf durch M´=Q, quadratische Parabel, dann konstant, dann wieder linear fallend. Q  positiv bedeutet „Abfahrt“ auf der M-Fläche.

Abgewinkelter Einfeldträger mit Trapezlast                                                                                                        https://youtu.be/MKGm450z9hM
Die Streckenlast wird zu zwei Resultierenden zusammengefasst, Summe MA = 0 ergibt B = 7/9 ql, Summe V =0 ergibt A = 11/9 ql. Integrationsmethode ergibt Q und M als Funktion von x, wobei Qo die Kraft A ist, Mo ist Null. Q = 0 setzen ergibt den Ort des Maximalmomentes, x=L ergibt den Wert in der Ecke, der B mal L/2 sein muss, Probe. Zeichnen der N, Q und M-Flächen.

Dreigelenkbogen mit 2 Streckenlasten Kraft und Moment                                                                                     https://youtu.be/LS3mFxJrhGA
Lagerkräfte mit Gleichgewicht ausrechnen und mit gegebenen Werten vergleichen, N, Q und M-Fläche zeichnen, im schrägen Bereich werden 3 Kräfte jeweils in die N und Q Richtung zerlegt. Beim Moment links q L²/8. Dann Integrationsmethode mit Maximalmoment beim  Nulldurchgang der Querkraft. Am T-Knoten Summe  der Momente als Probe.

Wandkran mit zwei Seilen und Umlenkrollen                                                                                                   
https://youtu.be/WraljSufeeM
Zuerst wird der Umgang mit Umlenkrollen erklärt: Auch bei grossen Rollen können die Seilkräfte direkt im Gelenk angetragen werden, wenn man die Rolle wegschneidet. Rechtes Teil mit Kräften einzeichnen, Summe M,H,V ergibt Seilkraft und Gelenkkräfte in D, linkes Teil freischneiden ergibt Einspannungsreaktionen. N-,Q- und M-Fläche zeichnen.

Vierteiliges System mit Dreieck- und Rechtecklasten                                                                                            https://youtu.be/XmtMEu7HTSs

Statische Bestimmtheit: Abzählen ergibt mit 4 Teilen mal 3 Freiheitsgraden 12 Gleichungen für 4 Lager- und 8 Zwischenkräfte, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist somit erfüllt, Aufbaukriterium liefert einen Dreigelenkbogen, hinreichende Bedingung erfüllt. Gesamtsystem: Summe MA, V und H ergibt die Lagerkräfte, dann Freikörperbild in der Dimension q a/36. Dabei können viele Kräfte direkt im Kopf berechnet und mehrmals im System eingezeichnet werden. N,Q und M-Fläche zeichnen, im Bereich der Dreieckslast Funktionen aufstellen mit Integrationsmethofe.

Einfeldträger mit Recteck- und Sinuslast                                                                                                           https://youtu.be/5CPOLC7ytTg
Die Integrationsmethode wird hergeleitet, q wird zweimal integriert, die beiden Integrationskonstanten mit den Randbedingungen, Moment ist links und rechte Null, bestimmt. Dann wird der Querkraft- und Momentenverlauf gezeichnet, die Lagerkräfte sowie das Maximalmoment bestimmt.

Dreiteiliges System mit Einzelkräften, Dreiecks- und Rechtecklast                                                                            https://youtu.be/fiFrpLk_6tw
Statische Bestimmtheit mit Abzähl- und Aufbaukriterium, Freikörperbilder mit allen Gelenk und Lagerkräften, N, Q und M-Fläche, Maximalmoment der Dreieckslast mit Integration.

Reese, WS 15/16, A3                                                                                                                                 https://youtu.be/bAo6aWE-JJI
Resultierende einzeichnen, in B aufschneiden, C antragen, Summe Mc, H und V ergibt die Gelenkkräfte Gz, Gx und die Lagerkraft C. Jetzt N, Q und M-Flächen zeichnen. Mit der Integrationsmethode kann Q, M auch als Funktion von x aufgestellt werden.

Reese WS 13/14 A2                                                                                                                                   https://youtu.be/IhVIhIS-faA

Gesamtsystem Summe MA=0, H=0 und V =0 ergibt die Lagerkräfte, Horizontalstab q a/2 auf beiden Seiten nach oben antragen, diese Kräfte umdrehen ergibt alle Vertikalkräfte, und mit Summe M für den Schrägstab ergibt sich eine und damit alle Horizontalkräfte. N, Q und M-Flächen sind dann verhältnismäßig einfach.

IAM Aufgabensammlung M1_SG_A047_T08_V001 Schnittgrößen mit Dreieckslast                                                      
https://youtu.be/CbvedQF_Gm0
A3 wird nachgerechnet und stimmt, Streckenlast als Funktion aufstellen, unter Vorzeichenwechsel zur Querkraft integrieren, ohne Vzw weiter zum Moment integrieren, Integrationskonstanten Q0 = -A3 und M0 = - A3 L einsetzen, alle Angaben des Institutes sind korrekt.

IAM Aufgabensammlung M1_SG_A015_T08_V011 Rechtecklast, Moment
 https://youtu.be/91Bao_n1tDc
Fehler in Aufgabenstellung berichtigen, q in Dimension n durch m, nicht mm. Dann Lagerkräfte nachrechnen, Integrationsmethode, Q0 und M0 bestimmen und gleich im Rechner eingeben, außerdem –q/2 beim x². Sonst keine Fehler in dieser Aufgabe.



9) Schnittgrößen mit Föpplintegration

Schnittgrößen, Föpplintegration, 4mg                                                                                             https://youtu.be/r34iM-xOg4c

 Streckenlast aufstellen, am Anfang 6mg/6, dann Steigung 8mg/l²x abziehen, dann mit Föpplklammer x-l/2 wieder zuaddieren. An Stellen x=0, L/2 und L Streckenlast überprüfen, muss 6, 2, 2 rauskommen. Dann zweimal integrieren, Vorzeichenwechsel von q auf Q, Randbedingungen Q = mg und M = 0 am freien Ende ergibt die Integrationskonstanten, Q- und M-Fläche zeichnen und alles mit normalem Gleichgewicht prüfen.

Mechanik1, Schnittgrößen, Föppl Integration                                                                                    https://youtu.be/CB6ym9vfRcw

Streckenlast wird durch Föpplklammern ausgedrückt, großes minus kleines Dreieck, dann Integration zu Q und M, wobei die Lagerkräfte A, B in Q und das Lastmoment in M zugeführt werden müssen, natürlich mit Föpplklammer. Randbedingungen M im Gelenk und Q am rechten Ende ist Null ergeben die Lagerkräfte, Freikörperbild dient nur der Illustration und evtl. der Probe. Q, M werden an den Stellen 4a, 6a ausgerechnet, die Verläufe gezeichnet.

Mechanik1,Streckenlasten mit Föpplklammern  ausdrücken                                                                  https://youtu.be/yHczlLnAEho

Jeder Sprung bewirkt eine Föpplklammer hoch Null, Einheit q, jeder Knick eine Föpplklammer hoch Eins, Einheit q/a. Eine Änderung der Krümmumg bewirkt dann eine Föpplklammer hoch 2, Einheit q/a². Bei Integration zu Q, M gehen Kräfte nach oben und Momente im Uhrzeigersinn positiv ein, negatives Schnittufer.

Mechanik1,Föpplintegration,Rechtecköast,Einzelkraft                                                                         https://youtu.be/pvk9JdG2VwY
Streckenlast mit Föpplklammern ausdrücken, zweimal integrieren, 2 Integrationskonstanten, von q auf Q Vorzeichenwechsel. Randbedingungen: Links und rechts ist das Moment Null, da Gelenke, ergibt zwei Gleichungen für c1, c2. Querkraft- und Momentenverlauf zeichnen, Av, Bv aus Q ablesen. Bei M Stellen L, 2L einsetzen und Werte bestimmen. Kontrolle am Ende mit Gleichgewicht ist möglich und sinnvoll - aber c1 mit Gleichgewicht bestimmen wäre richtig, würde aber Punktverlust bewirken, da Föpplintegration gefordert.


Schnittgrößen, Föpplintegration, 4mg                                                                                             https://youtu.be/r34iM-xOg4c

Streckenlast aufstellen, am Anfang 6mg/6, dann Steigung 8mg/l²x abziehen, dann mit Föpplklammer x-l/2 wieder zuaddieren. An Stellen x=0, L/2 und L Streckenlast überprüfen, muss 6, 2, 2 rauskommen. Dann zweimal integrieren, Vorzeichenwechsel von q auf Q, Randbedingungen Q = mg und M = 0 am freien Ende ergibt die Integrationskonstanten, Q- und M-Fläche zeichnen und alles mit normalem Gleichgewicht prüfen.

 


 

10) Reibung

Mechanik1, Reese, Aufgabe 103, Reibung                                                                        http://youtu.be/dtIlrtA6Gw4

Über eine lose Rolle wird eine Walze mit zweimal F/2 gezogen, dahinter ist eine Kiste. Mit Summe der Vertikalkräfte sind die Normalkräfte sofort bekammt, die Reibungskraft der Walze ergibt sich aus Summe M um den Mittelpunkt zu F/2, MüH =R/N ergibt F=5 kN, nicht maßgebend. Die Kiste wird mit 3/2 F gezogen aus Summe Fx für Walze, MüH =R/N für Kiste ergibt F = 4,167 kN als maßgebendes Ergebnis. Die Kiste rutscht also. Ersetzt man den Haftreibungskoeffizient 1/4 durch den Gleitreibungskoeffizient 1/5, erhält man F=3,333 kN zum Aufrechterhalten der Bewegung. Kippnachweis war nicht verlangt, wird aber trotzdem erklärt.

Mechanik1, Reese, Aufgabe  104. Reibung     
 http://youtu.be/Os2rcf-jtAo
Eine quadratische Kiste wird durch ein schräges Seil gehalten, darunter wird eine Kiste mit einer Kraft F weggezogen. DAs System ist einfach statisch unbestimmt: An beiden Kontaktstellen R = Mü N entgegen der möglichen Bewegungsrichtung ansetzen, dann Klotz oben freischneiden, Summe Fx, Fy sind zwei Gleichungen für N1, S, Kippnachweis ist erfüllt, unten Summe Fy ergibt N2, Summe Fx ergibt F = R1+R2=31,93 kN. Wann wird der Kippnachweis oben maßgebend? Dazu oben außer Summe Fx, Fy noch Summe M um Eckpunkt links unten bilden, ergibt S wegen h=b, mit Summe Fy folgt N1, und aus Summe Fx dann Mü1=0,7029

Mechanik1, Klausur, Markert, A1                                                                                  http://youtu.be/BmM5YQepF6k
Verständnisfragen zur Reibung:
a) f Reibungskraft entgegen Bewegungsrichtung
b) w Reibungskraft tangential zur Reibungsfläche
c) f richtigwäre: Betrag R/N = tan rho ist kleiner gleich mü
d) w  R= mü N ist eine eingeprägte Kraft, N ist Zwangskraft
e) f Der max. Böschungswinkel hängt ab von Rauheit der Körner, Körnung, d.h. verschiedene Korngrößen, Verdichtung und Feuchte, Kohäsionskräfte. Darüber hinaus kann ich in einer Zentrifuge jeden Böschungswinkel erzeugen, ohne innere Reibung.

Mechanik1, Klausur, Markert, A8    
http://youtu.be/0G34O-VSLHE
Zuerst Kräftegleichgewicht am Klotz: Die Normalkraft ist m g cos al und verursacht die mük-fache Reibungskraft, der Gewichtsanteil m g sin al kommt dazu, das ist dann die Seilkraft S1 direkt am Klotz, die Seilkraft oben entsteht durch Multiplikation mit e hoch müs mal al. Wegen der Drehrichtung wird die Seilkraft nach rechts hin größer, also steht die e-Funktion im Zähler, also hoch + müs al.

Mechanik1, Klausur, Markert, A9                                                                                  http://youtu.be/zWFM8LTIVt8
Die Masse mit dem kleineren mü rutscht zuerst. Dann die Normalkräfte = Gewichtskräfte mal cos al mit dem jeweiligen mü malnehmen, aufaddieren und gleich der Hangabtriebskraft 3 m g sin al setzen, durch cos al ergibt tan al = 17/60.

Kolben mit Druck, Reibung und Seilreibung                                                                      https://youtu.be/b4dmItmtTX8

Zuerst alle äußeren Kräfte antragen, Druck mal pi r², Sigma M mal 2 Pi r b, das je nach Druckgröße die Richtung ändert. Die Seilkraft kann nicht bestimmt werden, solange der Kolben ruht, es kann nur bestimmt werden, innerhalb welcher Grenzen die Seilkraft möglich ist. Und die Druckdifferenz darf nicht so groß werden, dass der Kolben auch ohne Seil nach rechts rutschen würde, S größer gleich 0 ist die Bedingung. Um F auszurechnen, nimmt man die Gleitreibungskoeffizienten, rechnet über Summe Fx die Seilkraft aus und nimmt mit der e-Funktion mal. Die Schaubilder: F(r) ist die Addition von einer Parabel und einer Geraden, F(b) ist eine Gerade mit Anfangswert, F(R) ist konstant, weil R nicht eingeht.

Reibung, Klotz mit Kippen und Rutschen                                                                         https://youtu.be/l3DbJNUxSsM
Der Klotz kippt gerade noch nicht, wenn der Schwerpunkt genau über dem Auflagepunkt links sit, das heißt al + be kleiner gleich 90°, wovei be = arctan von b/a = 67,38°, also Al max = 22,62°. Tangential und Normalkraft ergeben sich als G mal sin bzw. cos von diesem Winkel. Ist der Haftreibungskoeffizient mü kleiner  5/12, so tritt Rutschen vor Kippen ein, bei mü = 5/12 könnte beides zuerst eintreten. Bei mü = 0,35 tritt Rutschen vor Kippen ein, bei 19,29°, wieder Ft, Fn ausrechnen.

Reibungsaufgabe mit zwei Stäben und einem Klotz                                                              https://youtu.be/QtVfkzBs5Z8

Gleichgewicht in B ergibt beide Stabkräfte, danach sind drei Fälle zu untersuchen: Rutschen an Oberkante Klotz, Rutschen an Unterkante Klotz und Kippen des Klotzes nach links, alle drei Bedingungen sind einzuhalten.

Reibung, zwei Klötze mit Querstange                                                                               https://youtu.be/JgDtyTT22pY

Freikörperbilder zeichnen, linker Klotz, Summe H, Summe V und Reibungsgesetrz ergibt S=N1=375n und R1 = 150N, rechnet Masse freischneiden, gedrehtes x-y-Koordinatensystem einfügen, Summe Fx ergibt R2, Summe Fy ergibt N2, Reibungsgesetz, einsetzen und nach G2min auflösen.
Aufgabenteil b ist nicht lösbar, da nur auf einer Seite R gleich mü mal N gilt, auf der anderen Seite ist R kleiner als mü N. Man kann nun beide Fälle durchspielen und feststellen, dass die Wirklichkeit zwischen diesen Ergebnissen liegen muss.

Walze, Winkel und Gewicht bestimmen                                                                            https://youtu.be/Slb1LchBgW0
Graphische Statik, Dreikräftesatz: Die Resultierende von N und R geht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien G1 und Seilkraft, Mittelpunktswinkel ist zweimal so groß wie der Umfangswinkel, Grenzfall mü = tan al/2  ergibt al=22,62°. Mit Summe der Momente um Abrollpunkt G1 ausrechnen, alternativ mit Culman: R,N und G2 können auch graphisch bestimmt werden. Und mit Gleichgewicht kann auch eine "transzendente" Gleichung für al erstellt und diese numerisch gelöst werden.

Seilreibung, Schnittgrößen, Freikörperbild 
https://youtu.be/-ov90_ypBRI
F ergibt sich nach dem Seilreibungsgesetz zu mg durch e hoch mü mal Umschlingungswinkel, der ist bei zwei Umschlingungen 4 Pi. Balken mit 4 mal F zeichnen, wobei die Kräfte gleich im Rollenmittelpunkt angesetzt werden können. Mit Summe Fx, Fz und Summe MA Einspannreaktionen bestimmen, N,Q und M-Flächen zeichnen, Seilreibungsgesetz herleiten.

Mechanik1, Reibung, Hufeisen, Seilzug, Schwerpunkt   
 https://youtu.be/2Z-mDy0KIzA
Schwerpunkt Halbkreis 4 r /3 pi herleiten, in drei Teile aufteilen, großen minus kleinen Halbkreis, Flächen und Einzelschwerpunkte bestimmen, Gesamtschwerpunkt ausrechnen, Fläche, Masse und Gewicht ausrechnen.
Fmax ist unendlich, weil Rutschen ausgeschlossen werden kann bei mü=1,2. Der Wert mü min läst sich jedoch ausrechnen, bei dem Rutschen eintreten würde. Und mit der Summe der Momente um den linken Auflagepunkt lässt sich die Mindestkraft F berechnen, so dass sich der Körper nicht dreht, nennt man Kippnachweis.

 

Reibung, 3Massen, Seilreibung, Temperaturspannung                                                           https://youtu.be/AOVlc5iumAQ
S1=G1 wirkt über die Umlenkrolle bis G2. S3=G3 wird durch die Seilreibung mit Umschlingungswinkel pi/2 und e-Funktion zu S2 abgemindert. G2 Freischneiden, N2=G2, R2=S3-S2 aus Kräftegleichgewicht, wenn Betrag von R2 kleiner Mü N2 wäre, bliebe das System im Gleichgewicht, so rutscht es nach rechts. In b verursacht die Temperatur eine Normalkraft Spannung mal Fläche = 250 kN auf beiden Seiten, mal mü ergibt zwei abwärts gerichtete Reibungskräfte R3. Kräftegleichgewicht ergibt S3, mal e-Funktion ergibt S2, plus R2 = mu N2 ergibt S1 = G1.

Mechanik1, Reibung, Walze mit Kiste                                                                              https://youtu.be/NYldsT85XhQ

Normal- und Reibungskräfte einzeichnen, R1 = mü N1 entgegen der Rutschrichtung, Summe Mg für linkes Teilsystem ergibt Normalkraft N1 und damit R1, Summe der Kräfte in Richtung der Ebene ergibt Mü erforderlich in Teil a), und nach Änderung der Richtung von R1 ergibt die gleiche Rechnung F. Der Kippnachweis ist zu führen, hab hier aber nur die Ideen angedeutet und den Nachweis nicht zum Ende geführt.

Kegelkupplung                                                                                                           https://youtu.be/ORBN1Adietg

Summe der Kräfte horizontal mit einer umlaufenden Normalkraft ergibt N = F/ sin al, F = Anpresskraft horizontal. Reibungsgesetz R = mü N ergibt die tangential umlaufende Reibungskraft mit dem Hebel d/2, also M = R d/2. Auflösen nach F ergibt den notwendigen Anpressdruck. Die Fläche ist b mal Kreisumfang 2 pi r = pi d, und N / Fläche ergibt die Normalspannung zwischen den Kupplungsflächen.

Hamburg, Grätsch, 2.16, A4, Seilreibung, Fmin                                                                 https://youtu.be/6YnbEtDO6JY

Zunächst wird die Kiste freigeschnitten, Gewichtskraft, Normalkraft, Seilkraft und Reibungskraft angetragen, schiefes Koordinatensystem x-y: Summe Fy =0ergibt N, R = mü mal N ergibt die Reibungskraft, und Summe Fx=0 ergibt die Seilkraft. Jetzt wird die schlecht gezeichnete Walze freigeschnitten, sie ist starr mit dem Untergrund verbunden und kann sich nicht um den Rollenmittelpunkt drehen, ist also das genaue Gegenteil von dem, was man als Umlenkrolle normalerweise bezeichnet. Der Umschlingungswinkel ergibt sich aus der Stellung der Seile zu 45°  und kann nicht durch die inkorrekte Aufgabenstellung in 90° geändert werden. Es ist aber wieder möglich, dass zum Umschlingungswinkel Vielfache von n360° hinzuaddiert werden, wenn das Seil um den Poller gewickelt wird. Mit S1 = F = S2 / e ^ müs pi/4 ergibt sich die kleinstmögliche Kraft Fmin, um die Kiste im Gleichgewicht zu halten.

Kranbremse                                                                                                               https://youtu.be/Kuf4x4FUJoU

Drei Gleichungen aufstellen: Summe MA=0, Summe MB = 0 und Seilreibungsgesetz ergibt drei Gleichungen für die Unbekannten S1, S2 und F min. Ist F kleiner als Fmin, dann rutscht die Welle unter dem Seil durch, die Last bekommt eine Beschleunigung x°°, und die Kraft im Seil ist dann m (g – x°°). Mit den drei Gleichungen erhält man bei bekanntem F die Beschleunigung x°° sowie neue Seilkräfte S1, S2. S1 ist die größere Kraft, weil sie S2 und der Last das Gleichgewicht halten muss, daher s1 = S2 mal e hoch mü alpha. Der Umschlingungswinkel ist in rad einzugeben.

Mechanik 1, HÜ3 WS 16/17 Reibung, zwei Klötze mit Horizontalkraft                                   https://youtu.be/nvQH5xU5yzg

Rutschnachweis oben, im Grenzfall gilt R1/N1 = mü1, mit R1 = F aus Summe H=0 und N1 = ma g aus Summe V= 0 lässt sich dies nach ma auflösen. Fuge unten genauso, im Grenzfall R2/N2 = mü2, R2 = F-P. N2 = ma g + mb g, einsetzen und nach ma auflösen. Mit den Strecken a, b kann noch der Kippnachweis geführt werden, die obere Kiste darf sich nicht nach links drehen, ist erfüllt.



Reibung A007 Aufgabensammlung IAM mit Ton                                                                https://youtu.be/wuT5ovZrqiU
a) S2 = m2 g und    S1 = mü1 m1 g ins Seilreibungsgesetz einsetzen: S2 = S1 e ^ (mü2 phi), weil die linke Rolle mü=0 hat, also glatt ist, ist der Umschlingungswinkel pi/4+pi/4+pi/4+pi/2 = 5 pi/4. Auflösen nach mü2 ergibt 4 /  5 / pi * ln  10/3.
b)  Im zweiten Aufgabenteil sind alle Walzen glatt, m2g ist die Seilkraft, diese wird gleich der Reibungskraft m1 g mü1 gesetzt und nach mü1 aufgelöst.

Reibung A 031 Aufgabensammlung IAM mit Ton                                                               https://youtu.be/RK4TkdcKn3o
müs sind gleich, Seilreibungsgesetz S2 = s1 e ^ mü pi mit S1, S2 aus Summe M, dazu Abstände x-a  zwischen Seil 1 und m und  b-x-a zwischen S2 und m . Zwischen den Seilen  b – 2a. Einsetzen der Seilkräfte ins Seilreibungsgesetz und Auflösen nach x. Das Ausrechnen der Seilkräfte S1, S2 ist nicht mehr nötig, kann aber als Probe gemacht werden.

A002 der IAM –Sammlung oder V001                                                                             https://youtu.be/72WMjHLxg_0
Der Umschlingungswinkel ist 30° + 90° = 2/3 pi, Seilreibungsgesetz: S2 = S1 mal e hoch mü phi, S2 = Hangabtriebskraft m1 g sin 30° = 30N, S1 = m2 g = 15 N, Einsetzen ergibt mü2 = 3 ln2 *2*pi = 0,3310.
 Zweite Teilaufgabe, Normalkraft = 60 N cos 30° = 30 N mal Wurzel3, Reibungskraft = m1 g sin 30° - m2 g = 60 N / ½ - 15N = 15N, Einsetzen in R = mü N ergibt mü1 = ½/ Wurzel 3 = 0,2887




Aufgabensammlung IAM_ M1_RE_A63_T001_V001 Selbsthemmung                                       https://youtu.be/TiPKfJzFEes
Klotz und Balken freischneiden, Summe F für Klotz, Summe MA für Balken, Mü = R/N und einsetzen. Zähler und Nenner durch mg teilen und Grenzwert für mg gegen unendlich bilden ergibt die Selbsthemmung.


Reibung mit Schwerpunktsberechnung                                                                             https://youtu.be/7b9b5FDIYUg
Aufteilen in A1, A2 und A3, Koordinaten aufstellen, Xs= Summe A1 xi durch A, Summe Mb ergibt N, Summe F ergibt R = mg sin al, mÜ = R/N, dasselbe für die zwei anderen Systeme.

 

 

 

 

 

 

 

 


 

11) Seilstatik

IAM Aufgabensammlung SS A10 T02 Seil mit zwei Rechtecklasten                                          https://youtu.be/MVN8YGAtRGc

Die DGL w´´=-q /H wird zweimal integriert. Auf der linken Seite sind die Konstanten einfach: c0 ist Null, c1 ergibt sich aus A/H, und A aus der Summe M um B, c2 = -q1/2H. Am rechten Bereich ist es etwas schwerer, c2 = -q2 / 2H kann sofort notiert werden, mit Summe MA=0 folgt B, mit w´(2a) = - B/H ergibt sich c1, mit w (2a) =  -h ergibt sich c0.

IAM Aufgabensammlung SS A17 T01 Seil mit Eigengewicht                                                   https://youtu.be/WCye9N_1Ghg

Herleitung der Seillinie, Spiegelung der Aufgabe, horizontale Tangente und w=0  bei x=0 liefert die Integrationskonstanten, w´(L) H ergibt dann den Betrag der Vertikalkraft, und Pythagoras liefert die Seilkraft F. Das Lehrstuhlergebnis kann ich nicht bestätigen.

 

 

11) Virtuelle Arbeit

Vorrechenübung 13, A1, Markert, RWTH-Aachen                                                             https://www.youtube.com/watch?v=_Ldda8C9wZ4

Ein Gerberträger, die Auflager werden nacheinander gelöst, die Balken drehen sich um ihren jeweiligen Pol. Die virtuelle Arbeit ist die Summe der Momente um diesen Pol, multipliziert mit dem zugehörigen Winkel. Mit der Kinematik werden die beiden Winkel ins Verhältnis gesetzt, so dass sich die infinitesimalen Winkel wegkürzen. Die Gleichung wird dann nach der gesuchten Lagerkraft aufgelöst.

Vorrechenübung13, A3, Markert, Mechanik1, RWTH-Aachen, IAM                                      https://www.youtube.com/watch?v=ed0h5c061K4

Wieder das Schema des Variationsprinzips
1) Arbeitsgleichung
2) Geometrie aufstellen
3) Geometrie ableiten
4) Einsetzen
Auf die Vorzeichen ist zu achten, und weil zwei kinematisch abhängige Winkel vorkommen, muss wieder eine Zusammenhangsbedingung xc=konstant aufgestellt und abgeleitet werden, damit sich am Ende alle infinitesimalen Winkel rauskürzen lassen.

Selbstrechenübung13, A1, Mechanik 1,Markert                                                                 https://www.youtube.com/watch?v=WJktVHmxy1M
virtuelle Arbeit, Variationsprizip: Die 4 Schritte rollen schematisch ab:
1) Arbeitsgleichung aufstellen
2) Geometrie aufstellen
3) Geometrie ableiten
4) Einsetzen in die Arbeitsgleichung
Auf welche Feinheiten man hier achten und wie die Vorzeichen Zustandekommen, wird hier erklärt.

Selbstrechenübung 13, A2, Markert, RWTH-Aachen                                                           https://www.youtube.com/watch?v=aLZMQ1bbbMI
Variationsprinzip nach Schema:
1) Arbeitsgleichung
2) Geometrie aufstellen
3) Geometrie ableiten
4) Einsetzen
Wieder muss man auf einige Vorzeichen achten. Wichtiger ist jedoch, dass 2 Freiheitsgrade, phi und xsi, kinematisch gekoppelt sind. Deswegen muss eine Zusammenhangsbedingung hergestellt und abgeleitet werden, damit sich der Winkel Delta xsi herauskürzt.

Mechanik 1, virtuelle Arbeit und Schnittgrößen                                                                  http://youtu.be/OfJ8vh5xQWU

Ein geschlossener Rahmen mit einer Streckenlast und einer Einzelkraft. Zuerst bekommt man keine einzige Kraft raus, weder eine Gelenkkraft noch eine Lagerkraft. Man schneidet das System an einer Stelle auf und macht es beweglich, Arbeitsgleichung ist die Summe der Momente um die Eckpunkte mal den zugehörenden Winkel. Mit der Kinematik kann man die Winkel ins Verhältnis zueinander setzen und alle Delta phi rauskürzen. Man erhält eine Gelenkkraft. Durch Summe der Momente um die Eckpunkte erhält man nun alle Gelenkquerkräfte, mit Kräftegleichgewicht die Lagerkräfte und die Normalkräfte in den Gelenken. N,Q,M zeichnen ist dann zunächst einfach, jedoch erfordert das Maximalmoment unter der Streckenlast noch die Integrationsmethode, wobei die Integrationskonstanten von Anfang an bekannt sind.

Mechanik1, Reese, virtuelle Arbeit                                                                                  http://youtu.be/vPYrgJ3DATM

Ein  System besteht aus zwei abgewinkelten Balken und zwei Stäben, wird durch zwei Festlager gehalten und durch eine Kraft und ein Moment belastet. Zur Ermittlung der horizontalen Lagerkraft Ah wird ein Gleitlager eingeführt, das System besteht aus zwei Teilen, die sich um ihren Pol drehen, das rechte Teil dreht sich doppelt so stark wie der obere Balken. Ah=f ist das Ergebnis. Dann Stab S schneiden, das System besteht jetzt aus drei Teilen, Drehungen um A und B sowie eine Translation.

Mechanik1, Klausur, Markert, A13                                                                                 http://youtu.be/FDG9W0vNaWo

Aufgebe zur virtuellen Arbeit: Statt des Variationsprinzips, dass am Ende auch durchgeführt wird, ist es wesentlich schneller, den Pol des rechten Teiles einzuzeichnen, alle Strecken zu vermaßen, Delta phi = 3 Delta Xsi als Kinematik zu notieren, die Summe der Momente um den Pol zu bilden und nach C aufzulösen. Die Verschiebungen von Gelenk und Gleitlager erhält man so ebenfalls sofort.

Mechanik1, Stab 2 mit virtueller Arbeit                                                                            https://youtu.be/J_H13ifzb68

Stab 2 wird geschnitten, die Teile oben zu starren Scheiben zusammengefasst. Stab 2 wird geschnitten, die Winkel berechnet, wobei ein Winkel frei gewählt wird. Dann die virtuelle Arbeit aufstellen und nach S2 auflösen.

Mechanik1 virtuelleVerrückung Dreigelenkbogenk                                                               https://youtu.be/JpzYWdUXDps

Gleitlager B einführen, Pole einzeichnen, Kinematik aufstellen, virtuelle Arbeit aufstellen, nach Bx auflösen. -f ist das Ergebnis, Verschiebungsfigur einzeichnen, dann noch Freikörperbilder gezeichnet und Schnittgrößen N,Q und M gezeichnet, nicht verlangt, aber gute Übung.

Mechanik1, virtuelle Arbeit, Stromabnehmer                                                                     https://youtu.be/_o0q7_YGGcA

Die Geometrie muss zunächst geklärt werden, Breite oben ist B=L sin al, damit Restbreite unten C=b-a, damit Länge unterer Dreharm = c/sin be und h1 = c/tan be, h2 = L cos al.
Jetzt Kinematik aufstellen, h1 Delta be = h2 Delta al, und virtuelle Arbeit P Delta z + 2 F s Delta al = 0, Höhe s der Feder ist h1-l cos be = s = 34,1 cm. Dann einsetzen, Delta be kürzen und F=788 N ausrechnen.

virtuelleArbeit,Dreigelenkbogen                                                                                      https://youtu.be/RK79YwUHElA

Zunächst B in horizontal verschiebliches Gleitlager mit Bh verwandeln, linkes Teil dreht um A, rechtes Teil horizontale Translation, Delta x = 6m Delta phi, Arbeit aufstellen, Kinematik einsetzen, Bh = -2,5 kN.
Jetzt vertikal verschiebliches Gleitlager mit Bv, linler Teil dreht wieder um A, rechter Pol ergibt sich durch senkrechte auf den Bewegungsrichtungen in G und B, der Pol liegt 2m über A. Kinematik, Verschiebung des Gelenkes ist 4m Delta phi2 = 6m Delta phi1, Arbeitsgleichung aufstellen, Bv =5kN ausrechnen. Probe durch Summe MA, wobei BH, BV aus der virtuellen Arbeit. ton

Virtuelle Arbeit, Träger mit vier Lagern                                                                                             https://youtu.be/zr3m23l17Dc

Jeweils ein Lager wird gelöst, die Kinematik aufgestellt, die virtuelle Arbeit aufgestellt und nach der Lagerkraft aufgelöst. Am Ende zeichne ich noch die Freikörperbilder und kontrolliere alles durch normales Gleichgewicht auf Rechenfehler.

Mechanik1, virtuelleArbeit, Lagerkräfte und Biegemoment                                                                    https://youtu.be/vungpLIyyxc
Lager in Gleitlager verwandeln, System auslenken, Arbeit und Kinematik aufstellen und nach Ah, Av auflösen, Gelenk bei B mit Momentenpaar einführen, rechte Seite auslenken, Kinematik, nach Mb auflösen.

Virtuelle Arbeit, Klausur Reese                                                                                                       https://youtu.be/AnFfhEApj4g

Lager B in Gleitlager verwandeln, Pole einzeichnen, Kinematik: Beziehung zwischen den Winkeln aufstellen, virtuelle Arbeit aufstellen, Kinematik einsetzen, Ergebnis ausrechnen.

Virtuelle Arbeit, Ah, Av am Dreigelenkbogen                                                                                     https://youtu.be/LuuIy0cszBU

Lager A in horizontal verschiebliches Gleitlager mit Kraft AH verwandeln, Senkrechten zu den Bewegungsrichtungen in A und Gelenk ergibt den pol des linken Balkens, Summe M um diesen Pol und jeden Term mit Delta phi malnehmen ist die virtuelle Arbeit, Winkel rauskürzen, nach Ah auflösen, Verschiebungsfigur zeichnen und dann das gleiche für Av.

Hamburg; 2.16, A4, Lager und Querkraft bestimmen mit vA                                                                https://youtu.be/og6pJgmMHC4
Lager entfernen und durch Kraft ersetzen, Streckenlasten zu Resultierenden zusammenfassen, System um Winkel delta phi 1,2 auslenken, Kinematik aufstellen, delta phi1 = 2 delta phi 2, virtuelle Arbeit aufstellen, zum Beispiel das Moment um die Pole bilden mal delta phi, gleich Null setzen, Kinematik einsetzen und auflösen. Bei der Querkraft am Q-Mechanismus eine Querkraft so ansetzen, dass sie auf der linken Seite nach unten, auf der rechten nach oben wirkt, Winkel müssen auf beiden Seiten des Mechanismus gleich groß sein, wir haben jetzt drei Teile, die sich um ihre Pole drehen, das rechte Teil um das rechte Auflager. Am Ende kann zu zu Kontrollzwecken noch ein Freikörperbild von allen Teilen gezeichnet und mit Gleichgewicht geprüft werden.

Aufgabe 4, Ah mit virtueller Arbeit                                                                                                 https://youtu.be/7Wj1ai9Ix70

Lager A in Gleitlager mit Ah verwandeln, Resultierende bilden, Kinematik aufstellen, virtuelle Arbeit aufstellen, zweimal Summe M mal Delta phi, zweimal Summe Fx mal Delta x, Kinematik einsetzen und auflösen.

Einspannmoment mit virtueller Arbeit                                                                                              https://youtu.be/O_9dtGWRH8g

Einspannung durch Festlager mit MB ersetzen, Pole finden, Kinematik aufstellen, Arbeitsgleichung aufstellen, Kinematik einsetzen, Auflösen nach MB. Zur Probe noch Freikörperbild mit bormalen Gleichgewicht aufstellen und schauen, ob das Ergebnis stimmt.

VA A64 Markert                                                                                                                        https://youtu.be/w_ISY93xjD8
Das Potential wird aufgestellt als F 2L sin phi und abgeleitet zu delta PI = F 2L cos phi delta phi = - delta A, der Zahlenwert ist -987,3 Nm. Das Vorzeichen bei der Arbeit ist negativ, da der Winkel um elta phi größer wird als 30°, womit die Kraft F nach oben verschoben wird und somit negative Arbeit leistet. Dagegen nimmt das Potential PI oder Epot zu, da die Höhe über dem Lager größer wird. Weil es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, beträgt der Winkel zwischen Seil und Horizontalen al = 15°, die Seilkraft wird am Balken angetragen, in Horizontal- und Vertikalanteil zerlegt und einfach die Summe der Momente um das Lager gebildet, S= 1272 N ist das korrekte Ergebnis.

IAM Aufgabensammlung M1_VA_A001_T02_V001 Winkel stabiles Gleichgewicht                                       https://youtu.be/MK8PLQWrygQ
Potential mgh aufstellen, einmal ableiten, zu Null setzen und nach phi auflösen, auf Ergebnis 180° aufaddieren und in rad umrechnen, also mal pi durch 180°. Stabiles Gleichgewicht ist dann, wenn der Schwerpunkt unterhalb des Lagers, Ergebnis auf Plausibilität überprüfen.

 

M1_VA_A011_T11_V001 Arbeit, starrer Winkel mit Feder                                                                   https://youtu.be/t-4rRBXIzDc
Potential  pi = Epot = mgh + ½ c delta L² aufstellen, ableiten, Vorzeichen umdrehen und fertig. Oder Summe der Momente um das Festlager bilden, alles, was in phi Richtung dreht, ist dann immer positiv. Bei Drehfedern ½ D phi² abgeleitet ergibt D phi, phi in rad angeben. Weil pi = -A, sind die Federn bei delta A immer negativ.

 

13) Stabilität

Mechanik1, Potential, Feder, Masse, Kraft                                                                                        https://youtu.be/cPA-yrT2BFE

Potential aufstellen, Pi = mgh cos phi + F a cos phi + 1/2 c Delta L² mit Delta L nach Pythagoras, Wurzel aus 2 a (1-cos phi), Potential zweimal ableiten, erste Ableitung Null setzen ergibt GG für Winkel Null und Pi, zweite Ableitung muss größer Null sein, ergibt c größer als (m g h + F a) / 2a.

Mechanik1,Stabilität,ZweiBalken,Feder                                                                                            https://youtu.be/P3E5ezNoM3o

Potential U = m g h + 1/2 c Delta L² bilden, einmal ableiten, gleich Null setzen, ist Bedingung für Gleichgewicht, einmal wenn cos phi = 0, weiter, wenn phi = arcsin ... ist. Untersuchung auf Stabilität mit der zweiten Ableitung. Bedingung: sin phi kann höchstens 1 werden, bei zu weicher Feder ist eine GG-Lage ungleich +- pi/2 nicht möglich.


Mechanik 2 Festigkeitslehre

1) Mohrscher Spannungskreis, Hooksches Gesetz, Dehnung, Vergleichsspannung

Mechanik 2, Hohlrohr, Mohrkreis, Vergleichsspannung                                                                       https://youtu.be/IFKVdjrALHs

Schnittgrößen N, Qy, Qz, Mt, My, Mz bestimmen. Si = N/A+ My z/Iy-Mz y/Iz, Schubspannung aus Querkraft und Torsion aufaddieren, Mohrkreis zeichnen, Hauptspannungen und Richtungen ablesen, Treska Vergleichsspannung ausrechnen, Spannungstensor herstellen.

Verschiebungsfeld, Volumendehnung, bilinearer Ansatz                                                                        https://youtu.be/pl1Tm4mw6VI
Mit den Verschiebungen der 4 Eckpunkte lassen sich die 8 Koeffizienten des bilinearen Ansatzes bestimmen, also:            
u = a0 + a1x +a2y +a3 xy, v analog.
Jetzt den Verzerrungstensor Epsilon aufstellen,
 Epsilon xx ist die partielle Ableitung u nach x,
Epsilon yy ist die partielle Ableitung v nach y,
Epsilon xy ist die partielle Ableitung (u nach y + v nach x)/2
Dann die Volumendehnung epsilon xx+ epsilon yy + epsilon zz,
das ganze durch 3 geteilt ergibt den hydrostatischen Anteil, und damit lässt sich der Verzerrungstensor in einen Kompressor für die Volumenänderung und einen Deviator für die Gestaltsänderung zerlegen.

A3,28.9.2012,Mohrscher Spannungskreis                                                                                         https://youtu.be/zZ5rs2rbLGo

Mit den gegebenen Werten den Mohrschen Apannungskreis zeichnen, um den doppelten Winkel, also 2 mal 29°, im Mohrkreis drehen und dort Sigma und Tau ablesen, dieses in der Fuge einzeichnen. Die Konstruktion mit Zirkel und Winkelmesser reicht aus, es braucht nicht gerechnet zu werden. Ist Tau im Mohrkreis oben, so dreht der Pfeil im Uhrzeigersinn.

Hooksches Gesetz in drei Richtungen                                                                                                              https://youtu.be/v6xBzlsFxdA

Aus der Aufgabenstellung folgt: Epsilon 1 ist Null, Epsilon 2 = -dL/L, Sigma3 =0, Temperatur ist Null. Da wir drei Angaben in jeder Richtung haben, liefert das Hooksche Gesetz die fehlenden Angaben, es wird in den Richtungen 1, 2 und 3 angesetzt, die 1-Richtung liefert Sigma 1 = - nü q, die 2 Richtung liefert q und damit Sigma 1, die 3-Richtung liefert die Dehnung in dieser Richtung.

Lampe mit Nylonseil                                                                                                                   https://youtu.be/OCgm_ChlffE

Die Seilkraft wird mit Summe MA berechnet, die Seillänge setzt sich aus dem schrägen Stück und dem Vertikalstück zusammen, die Längenänderung bekommt man über Umrechnung von 1° in Bogenmaß, mal L, mal Sin 30°, Hooke ergibt dann die Seilfläche, die man in den Durchmesser umrechnen kann.
Ohne Kleinwinkelnäherung rechnet man die Diagonale neu über Pythagoras aus, die Längenänderung ist dann neue minus alter Länge, aber weil sich der Winkel auf 30,75° vergrößert hat, sist die Seilkraft nur noch 48,9N. So kann ebenfalls der Durchmesser bestimmt werden, er ist dann etwas kleiner als bei der Näherung. Weil das System statisch bestimmt ist, gibt es keine Vorspannungen, S kann immer nur über Gleichgewicht berechnet werden.

Mohrscher Spannungskreis                                                                                                            https://youtu.be/LmlUOJp6h34

Zunächst Korrektur der falschen Zeichnung in der Aufgabenstellung, Sigma xx zeigt nach links, Sigma yy nach unten. Mit Sigma xx, Txy wird ein Punkt des Mohrkreises eingezeichnet, mit Siga xsixsi, Tau ethaetha der andere Punkt, der zufällig eine Hauptspannung ist, da die Schubspannung Null ist. Punkte verbinden und Mittelsenkrechet ergibt den Mittelpunkt des Mohrschen Spannungskreises.

Bonuspunktaufgabe                                                                                                                    https://youtu.be/96DBB4uKNBM

Es ist nur der linke Zapfen relevant, die Spannung oben ist Kraft pro Fläche, wird gleich Sigma zul gesetzt und nach L aufgelöst, die Kraft ist P + rho g L A. Dann die Spannung an der Stelle x ausrechnen. P/A + rho L g, durch E geteilt ergibt die Dehnung und dann von 0 bis L integrieren ergibt die Längenänderung.
Die letzte Aufgabe: Summe MA = 0 ergibt eine Gleichung für S1, S2, und weil die Längenänderung rechts dreimal so groß ist wie links, kann man für delta L noch S L / EA  + al delta Teta L einsetzen, und man erhält die zweite Gleichung

2) Fachwerke

Mechanik2 ,Selbstrechenübung 4, Aufgabe 2                                                                                    http://youtu.be/NVV3mpaSjM8

Es werden drei Verfahren gezeigt, ein grafisches, der Williot Verschiebungsplan, bei dem zuerst mit Gleichgewicht die Stabkräfte berechnet werden, dann mit dem Hookschen Gesetz die Längenänderungen der Stäbe, und dann werden im Prinzip Kreise mit den neuen Stablängen geschlagen, die aber wegen delta L viel kleiner als L durch Tangenten ersetzt werden müssen, arbeiten mit zwei verschiedenen Maßstäben. Dann ein Verfahren mit Steifigkeitsmatrix und Last + Verformungsvektor, und dann noch der Arbeitssatz mit virtuellen Kräften. Ich kann diese Lösungsmöglichkeiten für Stabwerke gerne nochmal allgemein erklären, zu 2 habe ich ein Skript in Dischinger Repetitorien hochgeladen. Auch den Lösungsweg 2 gibt es als pdf Datei in der Aufgabensammlung als Aufgabe 3 in Tusche, also besserer Qualität zum Ausdrucken.

Mechanik2,Stabwerk,virt.Kräfte                                                                                                     https://youtu.be/aSdPcmHFpSU

Ersatzsystem: Lager C wegnehmen, So und S1 Kräfte ausrechnen, Überlagern in Tabelle, delta10,delta11 und x1=c=-delta10/delta11 ausrechnen. Alle weiteren Kräfte durch Addition, So + x1 S1 Werte aufaddieren, geht auch für Lagerkräfte, und auch für S3.

Mechanik2, Stabwerk, virtuelleKräfte                                                                                              https://youtu.be/swuwQMyjwUc

Ersatzsystem: S6 schneiden, für Lasten S0 Kräfte berechnen, für X1=1 S1 Kräfte, für gesuchte Verschiebung S2 Kräfte, Tabelle mit Stabnummer, Länge, S0,S1 S2 anfertigen, X1 = - Delta 10 / Delta 11, Knotenverschiebung = Delta 20, Delta 10 bedeutet: jeweils Stablänge mit Stabkraft aus Null und Stabkraft aus Ein"fläche" malnehmen und aufaddieren.

Mechanik2, Fachwerk, Seilzug, Einzelkraft                                                                                       https://youtu.be/-bumREv1hSY

Aufbaukriterium zeigt die statische Bestimmtheit hinreichend und schnell, und gibt gleichzeitig die Reihenfolge des Kontenabbaus zur Bestimmung der Stabkräfte vor. Den Abzählvers 12=12 führe ich auch vor und bestimme alle Stabkräfte mit 6 Knotenschnitten und die Lagerkräfte. Stabkräfte in Tabelle eintragen. Einskraft am Lager c ansetzen und Delta 10 bilden ergibt uc. Hätte man hier mit Hooke (Längenänderungen 4+5 aufaddieren) einfacher haben können, aber Verschiebungen von F kann man so dann nicht bekommen. Dann noch gezeigt, wie man die Lagerkräfte direkt bekommt, virtuelle Arbeit der Statik.

Starrer Balken mit drei Federn                                                                                                       https://youtu.be/dXEUgDf2Fpo

Rechts Serienschaltung, Feder mit c/2. Resultierende qL bilden, Balken um Winkel phi drehen, Federkräfte c1 L/2 phi, c2 L phi, c3 3L/2 phi antragenn mit c1 = EA/L. c2 = 2 EA/L und c3 = c/2. Dann Summe MA = 0, Nach Winkel auflösen, ergibt alle Stab- und Federkräfte, Summe der Vertikalkräfte ergibt Festlagerkraft, Verschiebung des Endpunktes ist 3L/2 phi.

Starrer Balken mit zwei Stäben und zwei Federn                                                                                 https://youtu.be/uJvaG2tseJU

System um Winkel phi auslenken, alle Stabkräfte antragen mit EA/L Stab mal dL, Federkräfte antragen, Summe Ma ergibt phi. Gleichsetzen von Stab- und Federkraft ergibt dann c.

Mechanik 2 Hausübung Markert, Aufgabe 1/3                                                                                 https://youtu.be/fdR0IsNUwMk                                                                                  
Die Angabe der Fläche ist grober Unfug, bei einem Kreisquerschnitt des Stabes würde sich ein Durchmesser von 178 mm ergeben, man versuche mal, sich einen solchen Stab mit 200 mm Länge vorzustellen.
Ansonsten Schema Verschiebungsmethode.
1) Verschiebung u ansetzen
2) Geometrie: Längenänderung dL = u sin al
3) Hooke: Stabkräfte Si = EA/L dLi
4) Gleichgewicht: Summe Fx1 aufstellen und Stabkräfte einsetzen
5) Gleichung: (EA/L sin²al) *2*u =-F
ergibt u = -9,187 * 10 (5) mm, das Ergebnis ist natürlich irrsinnig klein bei den unsinnigen Vorgaben. Probe durch Einsetzen in Hooke, liefert Stabkräfte, und dann ins Gleichgewicht, prüfen, ob Summe F noch Null ist.

 

Mechanil 2, MArkert, Hausübung, Aufgabe 3.3                                                                         https://youtu.be/L3nKlqf9g-0

Die Angaben machen wieder keinen Sinn. Gegeben ist ein Balken mit EA = Unendlich, gemeint ist aber EI = unendlich, und diese Angabe ist bei einer Balkenlänge von 4*8 m nicht gerade sinnvill, auch die Stäbe aus Aluminium hätten einen Durchmesser von 11,3 cm, wenn sie einen Vollkreisquerschnitt hätten, und G ist ein Blumentopf.

Wenn man mit den voööig unsinnigen Angaben weiterrechnet, ergibt sich eine Stabkraft S1 von 8 399 910 N und S2 = -25 200 030 N, man vergleiche mit der Kraft G. Aufgabenstellung und Ergebnisse sind fern jeglicher Realität.
1) Balken als starr annehmen, um Winkel phi drehen
2) Geometrie: Längenänderungen dL1 = 3 a phi, dL2 = a phi,
3) Hooke: Si = EA/L dL - E A al dT
4) Gleichgewicht, Summe Ma = 0 und Hooke einsetzen ergibt
Winkel phi = 0,00700 und oben erwähnte Stabkräfte.

Zwei starre Platten, zwei Zylinder,zwei Federn                                                                                   https://youtu.be/21D3Pn9cIxo

Zuerst Lösung mit Verschiebungsmethode:
1) Teile durchnummerieren, Verschiebungen u1, u2 ansetzen
2) Geometrie: Längenänderungen durch u1,u2 ausdrücken
3) Hooke: F1 = E A1/L1 u1 - E A1al dT1, F2 = E A2/L2 (u2-u1) - E A al dT2F3 = c u2 - l al dT3
4) Gleichgewicht: F2-F1 =0,    -F2-2 F3 =0
5) Einsetzen, Gleichungssystem nach u1, u2 auflösen
6) ui in Hokke einsetzen ergibt alle Kräfte, F3 = 34,52 kN
Lösung mit Verträglichkeitsbedingung:
dL1+dL2 = dL3
Kraft in Feder sei F, dann in beiden Zylindern - 2 F, Hooke in Verträglichkeit einsetzen und nach F auflösen. Problem: Anzahl der Federn ist unklar, ich habe 2 Federn angesetzt.

Querbalken,Abkühlung, Verschiebungsmethode und Verträglichkeitsbedingung                          https://youtu.be/TKgruCHqW-Y

In diesem Video wird die Aufgabe nochmal mit beiden Methoden gelöst, Verschiebungsmethode und Verträglichkeitsbedingung, die Ergebnisse stimmen miteinander überein, wie nicht anders zu erwarten.

Längenänderung eines Schwarz weißen Stahlhohlträgers mit Feder                                           https://youtu.be/nlDyIo2XNWk
Lösung mit Verträglichkeitsbedingung:
In der Symmetrieachse ist die Verschiebung Null
Teile durchnumerieren
Verträglichkeitsbedingung: dL1+dL2+dL3+dL4 =0
Statisch unbestimmte Kraft F ansetzen (Richtung beliebig)
Gleichgewicht: N1=N2=N3 = Federkraft = -F
Hooke: Längenänderungen formulieren und aufaddieren
Auflösen nach F ergibt Federkraft
-F/c = Längenänderung der Federn
dL Stahlblock = 2F/c
Probe: Alle dLi ausrechnen mit der bekannten Kraft F und sehen, ob die Summe noch Null ist, erspart dumme Rechenfehler.

Hü4,A1,dreiteiliges System mit Längenänderung                                                                  https://youtu.be/uXCNzFoo5Tk

Normalkraft F einführen, die drei Teile werden um dL = Summe F Li/Ei Ai länger, Gleichung nach F auflösen. Dann Spannungen F/Ai ausrechnen, die Verschiebung von P ist die Längenänderung von Teil 3 + die Hälfte der Längenänderung von Teil 2

HÜ4,A3,zweiteiliges System mit Temperatur, Verschiebungsverlauf                                          https://youtu.be/SQixCGR6S6s

Kraft F einführen, Gesamtlängenänderung ist Null, Hooke, dL1, dL2 ausrechnen, addieren und zu Null setzen ergibt F.
Jetzt u1´ = Dehnung Teil 1 = al Delta Teta - F/EA einmal integrieren, dasselbe für u2, drei Randbedingungen aufstellen: Verschiebung oben und unten ist Null, in der Mitte gleich, ergibt drei Gleichungen für die Kraft und die beiden Integrationskonstanten, da die Kraft schon anderweitig berechnet wurde, braucht man nur noch 2 dieser Gleichungen auszuwerten, die dritte ist Probe.

HÜ4,A2,zweiteilige Säule mit schwerem Deckel                                                                  https://youtu.be/tB4BUsp2j1Q

Hooksches Gesetz auflösen nach F, ergibt F = EA/L dL - E A al Delta Teta, Temperatur hier Null. Gleichgewicht G = F1+F2,
Hooke einsetze, nach Delta h auflösen, dieses wieder in Hooke einsetzen ergibt F1, F2. Spannungen = Fi/Ai.

 

Stabwerk mit drei Stäben, einer sei starr                                                                                                           https://youtu.be/L5N6HndrxRg

Zwei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen für die 3 unbekannten Stabkräfte. Verschiebung u senkrecht des Stabes mit EA = Unendlich aufstellen, u zerlegen ergibt Delta L2 = U sin al, Delta L1 = u sin 2 al, u aus den Gleichungen rauswerfen ergibt die Verträglichkeitsbedingung, in die das Hooksche Gesetz einzusetzen ist.

3) Differentialgleichung der Biegelinie

Mechanik2, Klausur Reese, Datum 9.8.2014,Aufgabe1,DGL der Biegelinie                                               http://youtu.be/HNjdWMSx_lQ

Ein abgewinkelter Balken, Festlager, Gleitlager, Einzelkraft und Feder: An jedem Endpunkt zwei, an jedem Übergangspunkt 4 Bedingungen aufstellen, geometrische Bedingungen, also w und w´,  ohne EI, statische Bedingungen, also w´´ und w´´´, mit EI. Bei Schnitten Q in -EIw´´´ und M in -EI w´´ umwandeln, also Pfeilrichtungen wegen des Minuszeichen gegenüber dem Normkästchen umdrehen.

Mechanik2, Klausur Reese, A1, DGL                                                                                                              http://youtu.be/EecjAgtaZs8

M wird mit Integration von q und Q aufgestellt, in w´´ eingesetzt, nochmals zweimal integriert, c1,c2 sind Null wegen w´(0)=0 und w(0)=0, Av ist Null wegen Summe Vertikalkräfte, dann Moment an Stelle L ausrechnen und auf w´(L)= M/cm schließen.

Mechanik2, Träger mit Dreieckslast                                                                                                 https://youtu.be/70JUgsXbphU

Ein Balken auf zwei Stützen wird durch eine Dreieckslast belastet. Die DGL w""=q/EI wird 4 mal integriert und die Integrationskonstanten bestimmt. Die Verformung in Feldmitte wird ausgerechnet,. Der Träger wird durch einen identischen Träger in der Mitte verstärkt. Die Kontaktkraft wird ausgerechnet, 5/32 ql. Durch diesen Träger wird die Verformung halbiert.
Dann war noch gefragt, an welcher Stelle beim unverstärkten Träger das Maximalmoment auftritt: Dort, wo M´=Q=0 wird, es ergibt sich x = L durch Wurzel 3, das Moment Mmax ist dann q L²/9 Wurzel3.

Mechanik2, Träger mit Dreieckslast                                                                                                 https://youtu.be/70JUgsXbphU

Ein Balken auf zwei Stützen wird durch eine Dreieckslast belastet. Die DGL w""=q/EI wird 4 mal integriert und die Integrationskonstanten bestimmt. Die Verformung in Feldmitte wird ausgerechnet,. Der Träger wird durch einen identischen Träger in der Mitte verstärkt. Die Kontaktkraft wird ausgerechnet, 5/32 ql. Durch diesen Träger wird die Verformung halbiert.
Dann war noch gefragt, an welcher Stelle beim unverstärkten Träger das Maximalmoment auftritt: Dort, wo M´=Q=0 wird, es ergibt sich x = L durch Wurzel 3, das Moment Mmax ist dann q L²/9 Wurzel3.

 

Mechanik2,DGLderBiegelinie,KatzeamTrägerende                                                                               https://youtu.be/3q_Mf2fih2k

Die DGL w´´´´=q/EI, q=0, wird viermal integriert, ergibt 4 Integrationskonstanten, die mit den Randbedingungen:
1) links Verschiebung Null
2) links Verdrehwinkel Null
3) rechts Verdrehwinkel Null
4) rechts Verschiebung h
bestimmt werden können. Aus Q = - EI w´´´ und M = - EI w´´ am rechten Ende werden M und Q bestimmt und umgekehrt auf die Katze losgelassen.
Jetzt Katze freischneiden, C=0, Summe MD ergibt F, Summe V ergibt D.

DGL,Biegelinie,Dreieckslast,Einfeldträger mit Kragarm                                                           https://youtu.be/djptaAtCwO8

EI ausrechnen, auf Dimensionen achten, Gleichgewicht am Gesamtsystem ergibt Lagerkräfte, Schnitt an Stelle x zwischen 0 und L führen, M bestimmen, DGL zweimal integrieren und RAndbedingungen W bei A und B ist Null einsetzen ergibt c1 und c2. Weiterhin ergibt w´(0) den Verdrehwinkel am linken Ende, aus w´=0 ergibt sich der Ort von w min als L/ Wurzel 3, der in w eingesetzt den Betrag von w min ergibt.

Jetzt den rechten Bereich integrieren, das Moment aufstellen, zweimal integrieren, Integrationskonstanten c3, c4 bestimmen, da w an Stelle B Null und w´ an Stelle B aus dem ersten Bereich berechenbar ist. Dann Durchbiegung und Verdrehwinkel am freien Ende ausrechnen.

DGL Biegelinie,abgewinkelter Träger mit zwei Kräften                                                           https://youtu.be/Zj6Xfaz9Sqo

Gesamtsystem, Vertikalkraft in A ist Null, AH, B bestimmen, M1=0, M2 = F- F (x-L) , zweimal integrieren, vier Rand- und Übergangsbedingungen, W´ an beiden Enden und w min ausrechnen, dann Kragarm rechts ansehen, wieder M aufstellen und zweimal integrieren, zwei weitere Randbedingungen angeben.

A2 vom 28.9.2012,DLD,Symmetrieausnutzung                                                                  https://youtu.be/igV9lFd8Jok

System in Mitte aufschneiden, verschiebliche Einspannung einführen, Gleichgewicht ergibt Lagerkrafr qL/2 und Moment - Q L²/6 = konst im mittleren Bereich. Das Moment im Bereich der Dreieckslast bestimmen, die DGL in zwei Bereichen zweimal integrieren, 4 Rand- und Übergangsbedingungen angeben und ggf. die 4 Integrationskonstanten bestimmen.
In Symmetrieachse ist w´=0, am Lager w=0 auf beiden Seiten, und w´ ist am Lager gleich groß.

Aufgabe2,DGL Biegelinie                                                                                              https://youtu.be/l-EcSCCj9qs

System ist statisch bestimmt, Lagerkräfte mit Gleichgewicht ausrechnen. Jetzt eine Koordinate x vom Lager A aus einführen, wird vorgeführt, oder zwei Koordinaten x1, x2 von A und F aus, wäre eine Alternative.

Kragarm mit Gleichstreckenlast und Stab am Ende                                                               https://youtu.be/L_5_-bvjtBo

Die Stabkraft wird als statisch unbestimmte eingeführt, das System an der Stelle x geschnitten, das Schnittmoment in die DGL der Biegelinie eingesetzt und zweimal integriert. Die Formänderungsbedingung sagt aus, dass sich Balken- und Stabendpunkt um den gleichen Betrag verschieben müssen, dies ergibt die Stabkraft. Die Klammer (L-x)2  kann auf zwei verschiedene Weise integriert werden, einmal als – (L-x)³/3 usw., dann werden aber die Integrationskonstanten nicht Null, oder ausmultipliziert mit der binomischen Formel, dann sind beide Integrationskonstanten Null.

 

Kragarm mit Einzellast und unterschiedlichen Steifigkeiten                                                     https://youtu.be/9mpZ4rOToKk

1) Arbeitssatz: M0 und M1 Fläche aufstellen und abschnittweise überlagern, also Dreieck rechts und Trapez links.
2) Superposition: w und w´ in der Mitte ausrechnen, der linke Kragarm wird mit F und M = Fa belastet, dann den rechten Kragarm:
w= Fa³/3EI + wm + wm´ a
3) DGL Biegelinie: Moment ist Kraft mal Hebel, also f mal 2a-x und negativ, zweimal integrieren ergibt 4 Integrationskonstanten, x einmal von 0 bis a, einmal von a bis  2a. Randbedingungen w, w´ links sind Null, c1, c2 fallen weg, Übergangsbedingungen: w und w´ in der Mitte sind gleich, ergibt wc3 und c4, und jetzt x=2a ergibt Verschiebung rechts.

 

4) Mohrsche Analogie

Federkonstanten an statisch bestimmten Systemen mit Überlagerung                                                       https://youtu.be/D6kmJRIM8Q8

Die Überlagerungstafel wird erklärt. Anwendung auf einen Kragarm mit Streckenlast. Ein Kragarm mit Einzelkraft wird in eine Feder verwandelt. An dem Beispiel wird die Formel zur Berechnung der Federkonstanten für statisch bestimmte Systeme hergeleitet, 1-Kraft ansetzen, M1 Fläche zeichnen, c = 1/delta11 = Ei / Tafelwert / Maximalmoment²/Länge.
Die Formel wird auf verschiedene Träger angewendet, auch die Umwandlung in Drehfedern wird gezeigt.

 

5) Superposition

Kragarm mit Feder und Streckenlast                                                                                 https://youtu.be/x7N8u0lxPHc

Es handelt sich um eine Parallelschaltung, weil die Verformungen von Kragarm und Stab gleich sind und sich die Kräfte addieren. Die Verformung des Kragarmendes beträgt q L^4/ 8EI - S L³/ 3EI = S/c
Auflösen nach der Stabkraft ergibt S, w ist einfach S/c.
I = Flächenträgheitsmoment des Kreisquerschnittes = pi r^4/4
Querkraft und Momentenfläche zeichnen, Qo, Mo umd Mmax ausrechnen.
Herleiten der Formeln q L^4/8 EI, S L³/3EI
a) mit dem Arbeitssatz, Überlagerungstafel
b) mit der Differentialgleichung der Biegelinie
Herleitung des Flächenträgheitsmomentes über Integration.

Mechanik2, Feder und Drehfeder                                                                                   https://youtu.be/oLLg3WME-Rw

Lagerkräfte A,B ansetzen, Gesamtsystem, Summe Ma ergibt B = 7/8 P, idt Druckkraft in Feder, Summe Fy ergibt A = P/8, linkes Teilsystem, Summe MG, ergibt Drehfedermoment p a/8.
Winkel phi1, phi 2 einführen, a phi1 + a Phi 2 = Längenänderung der Feder, also 7/8 P/c.
Winkeldifferenz phi1-phi2 = M/Cm ergibt zweite Gleichung, Auflösen, Phi1=P / 2ac, Phi 2 = 3P / 8ac

Mechanik2, Temperatur, Cu, Al.                                                                                    https://youtu.be/b28iym6HCIE

rechte Wand entfernen, Verschiebung um 1/2 al Dt L1, erzeugt statisch unbestimmte Kraft, die um F L1/E1/A1+F L2/E2/A2 zurückdrückt, Gesamtlängenänderung bleibt Null, nach F auflösen, Spannungen sind Kraft durch Fläche, Verschiebung ist F2 L2/E2/A2

Mechanik2,Superposition, Streckenlast,Einzellast,zwei Kragarme, Stab                                      https://youtu.be/tofpFkNNVo0

Stab in B aufschneiden, w oben und unten berechnen und gleichsetzen ergibt S. Dazu unten mit Kraft F "Verlängern eines Kragarms", also Winkel mal Restlänge für F dazuaddieren. Dann Wa ausrechnen, dann WB zu Null setzen, gibt zwei bereits bekannte Gleichungen, die erste ergibt S in Abhängigkeit von q, die zweite dann F in Abhängigkeit von q.

Superposition,Balken,Stab,Knicke                                                                                   https://youtu.be/9JRmehjRbF0

Der Kragarm von A bis zur biegesteifen Ecke wird freigeschnitten, Belastung: F, FL, BL, und nun w´ und w ausgerechnet. Dann der Horizontal Balken: w´L - BL³/3EI ist die Verformung w im Gelenk, diese ist aber auch BL/EA, Gleichsetzen. Dann B noch mit Euler Knickkraft ausrechnen, Lo =2L. Am Ende Horizontalverschiebung des Kraftangriffspunktes durch "Verlängern" des Kragarms von der biegesteifen Ecke nach oben.

Superposition,Balken,4L,Gleichstreckenlast                                                                       https://youtu.be/eqZiff9QH0Y

Balkon absägen, Kraft qL, Moment qL²/2 ansetzen, von unten Kraft B. Streckenlast auf voller Länge 3L ansetzen und im linken Bereich wieder abziehen. Vormänderungsaussage: Vertikalverschiebung oberhalb und unterhalb des Gelenkpunktes in C ist gleich. Damit B ausrechnen, und dann Verformung in D bestimmen. Die Angabe, der Vertikalbalken besitzt das gleiche EI wie oben und außerdem noch EA, ist fragwürdig, ÈA ist in diesem Fall in guter Näherung unendlich groß, oder die Stütze hat einen wesentlich kleineren Querschnitt als der Horizontalbalken.

Abgewinkelter Balken mit Einzelkraft, Deieckslast und elastischem Stab                                    https://youtu.be/5EAeYWMCAm0

Lösung mit Superposition: Man lerne ein paar einfache Lastfälle auswendig, die man mit der DLG leicht herleite kann. Dann stelle man eine Formänderungsaussage w1 = w2 aus, Säge den Kragarm oberhalb des Stabangriffspunktes ab und trage die Schnittgrößen an. Dann berechnet man die Horizontalverschiebung dieses Punktes und setzt sie gleich dL des Stabes, womit man S hat. Dann kann man mit dem gleichen verfahren oben die Horizontalverschiebung berechnen. Ich lade auch das Superpositionsskript hoch, und rate, zuerst die Grundtechniken Verlängern und Absägen eines Kragarms zu verstehen und dann erst diese Aufgabe zu lösen.

 


 

6) Schiefe Biegung, Flächenträgheitsmomente

Trägheitsmoment Rohr                                                                                                 http://youtu.be/DDZRe4fZtTQ

Ein Rohr wird dünn- und dickwandig durchgerechnet. Weil die Rohrhälften durch einen Spalt getrennt sind, muss der Doppelsteiner angewendet werden.

Flächenträgheitsmomente des Viertelkreises und der Viertelellipse                                             http://youtu.be/P4wsRETI8Y4

Zuerst wird ein Viertelkreis genommen, r, dr, phi und dphi eingezeichnet, der Umgang mit Doppelintegralen erklärt, Fläche und Schwerpunkt zur Übung herheleitet, sind bekannt. Dann das Flächenträgheitsmoment in y und y Richtung sowie das Deviationsmoment Integral y z dA berechnet, zuerst bezüglich des Kreismittelpunktes P, dann mit Hilfe des Steinerschen Satzes bezogen auf den Schwerpunkt. Zum Schluß wird erklärt, wie aus dem Viertelkreis durch eine einfache Verzerrung mit den Faktoren a/R und b/R auf die Ellipse geschlossen werden kann.

Mechanik2, Klausur Reese, A2: Schiefe Biegung                                                                 http://youtu.be/KC-aemkY23g

Berechnung von Iy, Iz, Iyz, Hauptachsentransformation, dann neutrale Faser und Spannungsverteilung mit und ohne Hauptachsentransformation.

Mechanik2, Schweißnaht                                                                                              https://youtu.be/cFz2cpEBsYk

Eine Schweißnaht, aufzuteilen in drei Flächen, Schwerpunkt und I bestimmen, Moment und Spannung bestimmen, Schubspannung nach Q S / (I B) berechnen, zulässiger Wert bei weitem überschritten.

Zweiachsige Biegung, Rechteckträger mit Loch                                                                   https://youtu.be/AK_HAKtoA6E

Flächenträgheitsmomente ausrechnen, Lagerkräfte bestimmen, Freikörperbild, Q- und M-Fläche, in der anderen Richtung nur zweimal q L Quadrat/8 einzeichnen. Größte Zugspannung oben links, Spannungsverteilung einzeichnen.

Deviationsmoment eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes von Steiner                         https://youtu.be/i-rlS5JTx8Q

Koordinatensystem im Eckpunkt, infinitesimale Fläche dA einzeichnen, dA, y und z zu dessen Schwerpunkt berechnen, b²h²/8 für das Deviaionsmoment bzgl. Ecke rausbekommen. Mit Satz von Steiner in S dann b²h²/72. Auf Definition achten, hier Iyz=+ Integral y z dA.

Schiefe Biegung, Berechnung der Flächenmomente, Nulllinie und Spannungsverteilung                 https://youtu.be/cFwiQUFEjPA

Querschnitt aus drei Rechtecken, Schwerpunkt, Iy, Iz und Iyz werden berechnet, die Nulllinie eingezeichnet und die maximale und minimale Spannung berechnet. Dann wird die Spannungsverteilung so eingezeichnet, dass man die Spannung jedes Punktes sofort graphisch abgreifen kann.

schiefe Biegung, z-Profil, Kragarm, nur My                                                                        https://youtu.be/2Nd_cQOnrq0

Berechnung der Querschnittswerte Iy, Iz, Iyz, Schnittgröße nur My = -FL, Spannungsformel, Koordinaten von A, B einsetzen ergibt die Spannungen, Nulllinie durch z = iyz/Iz y, ist um 54° gegen die Horizontale geneigt, jetzt Spannungsverteilung einzeichnen. Horizontale und vertikale Verschiebung mit F L³/3EI, I widr für vertikal und horizontal ausgerechnet mit Iy Iz-iyz² geteilt durch Iz bzw. Iyz.

Mechanik2, zweiU-Profile, Dreieck, Lochhalbkreis                                                              https://youtu.be/D-pWxI2GoGI

Profilwerte aus Tabelle nachschlagen, Tabelle mit 4 Flächen und 4 Einzelschwerpunkten machen, vom Mittelpunkt des Halbkreises aus gerechnet. A, ys und zs ausrechnen. Dann Iy, Iz und Iyz für das Gesamtteil ausrechnen, Mohrschen Trägheitskreis schlagen und Hautträgheitswerte ablesen oder besser ausrechnen.

Mechanik2 schiefe Biegung 2U-Profile, ein L-Profil, ein Blech                                                               https://youtu.be/isfGTZroeFs

Querschnittswerte aus Tabellenwerken raussuchen. Tabelle zur Schwerpunktsberechnung mit Ai, yi und zi von einem frei wählbaren Bezugspunkt anfertigen, ys, zs ausrechnen, Iy, Iz, Iyz ausrechnen, bei Iyz einige Gedanken machen zu den Vorzeichen: Ich benutze die Definition Iyz =+ Integral y  z dA, je nach Lage des L-Profils kann Iyz positiv oder negativ sein. Mohrscher Trägheitskreis, Hauptträgheitsmomente, Hauptträgheitsachsen einzeichnen, Spannungsverteilung für N=0, Mz=0, My = 100 kNm zeichnen, dazu neutrale Achse. Spannungsumrechnung:
Umrechnung: 1kN/cm² = 10 N/mm²

Mechanik2, Flächenträgheitsmomente, Halbkreis, 3Rechtecke                                                                https://youtu.be/5jb8BfS6GQ4

Schwerpunkt vom Halbkreismittelpunkt berechnen, dazu Tabelle mit Ai, yi, zi anfertigen. Dann Iy, Iz und iyz = + Integral y z dA ausrechnen, zuerst auf Punkt P bezogen, dann den Steineranteil abziehen.

Mechanik2, Rechteckkasten mit schrägem Blech                                                                https://youtu.be/82nizLMi4IU

Schwerpunkt bestimmen, wahlweise mit 5 oder mit zwei Flächen, Formeln für Flächenträgheitsmomente, Iy, Iz und Iyz ausrechnen, einmal schnell über Punkt P, einmal umständlich mit 5 Steineranteilen, Hauptachsentransformation, Mohrscher Trägheitskreis odr Transformationsformeln

A1, 28.9.2012,Schiefe Biegung,Punktsymmetrie,Quadrat mit Löchern                                     https://youtu.be/lvYmW3cynzA

Wegen Punktsymmetrie liegt der Schwerpunkt in der Mitte, Fläche, Iy, Iz und Iyz ausrechnen, Schnittgrößen My, Mz und N, Mz ist hier Null, Spannung zu Null setzen, zwei Punkte y, z bestimmen, indem man einmal y, einmal z zu Null setzt, und Nulllinie einzeichnen. Punkte mit Sigma max, min bestimmen und Spannungen ausrechnen. Spannungsverteilung einzeichnen. Dies ist die Lösung ohne Hauptachsentransformation, die wesentlich schneller geht als die mit Transformation.

 

 

Flächenmomente zu y = Wurzel x                                                                                                 https://youtu.be/0l2xMnoXFwY

Da y und x ausdrücklich die Einheit Meter haben, ist die Gleichung y gleich Wurzel x dimensionsmäßiger Unsinn, und damit wäre eine Klausuraufgabe bereits beendet.
Ich ergänze in der Wurzel hinter dem x noch m, also ein Meter, teile die Gesamtfläche in unendlich viele unendlich kleine Rechtecke der Breite dx und der Höhe Wurzel x auf und integriere die drei Flächenträgheitsmomente. Beim "Deviationsmoment" Ixy ist noch die Definition zu beachten, bei mit + Integral x y dA.

Wurzelfunktion, Flächenmomente mit Doppelintegral                                                                          https://youtu.be/U_NHXqnpvSI

Die Fläche sei dx dy. zuerst wird über y integriert, von 0 bis Wurzel x. Dann wird über x integriert, von 0 bis L, L =4m. Das die Aufgabe dimensionsmäßig falsch gestellt wurde, hat sich nicht geändert.

Flächenträgheitsmoment aus Dreiecken und Rechtecken                                                                       https://youtu.be/7xBTcJPuQP4

Aufteilen der Fläche, Schwerpunkt ausrechnen, Iy bzgl. P ausrechnen und Steineranteil abziehen oder direkt Iy ausrechnen, Iz ist unproblematisch. Die wichtigsten Formeln für Rechteck und Dreieck.
7) Torsion

Räumliches System                                                                                                       https://youtu.be/4hNgnxdDyxg

Statische Bestimmtheit mit Abzählkriterium, alle Lagerkräfte mit Gleichgewicht, Schnittgrößenflächen, Formel für Innenradius aufstellen, Mt zu hoch, Außenradius muss größer gewählt werden, dann r1 und r2-r1 ausrechnen.

Mechanik2, Torsion und Normalspannung am Kranbahnträger                                               https://youtu.be/Ai505TYTfs8

Mit der ersten Bredtschen Formel wird die Schubspannung aus Torsion bestimmt, mit der zweiten Bredtformel der Torsionswinkel am freien Ende. Die Normalspannung ist Kraft durch Fläche, und mit der Mieses Gestaltsänderungshypothese wird dann eine Vergleichsspannung berechnet.

 

8) Spannungsnachweis

Mechanik2, Spannungsnachweis, zwei Balken und Stab                                                        https://youtu.be/Rmbgrxd7-MA    

Gesamtsystem, Summe MA,Fx,Fy ergibt Lagerkräfte, Unterer Balken, Summe Mg, ergibt Stabkraft, Freikörperbilder zeichnen, Gelenkkräfte mit Kräftegleichgewicht, überprüfen, ob alle Teile im Gleichgewicht sind.
N,Q und M-Flächen zeichnen, Spannung ausrechnen und nach Radius r auflösen, dazu Normalkraftanteil einfach weglassen und Ergebnis etwas aufrunden.

Mechanik2, Biegung, Torsion, Querkraftschub, Mieses                                                         https://youtu.be/G4g4GpvdWwc

Flächenträgheitsmoment und My ausrechnen ergibt Zugspannung oben, Bredtsche Formel und Querkraftschubspannung ergibt Tau, Mohrscher Spannungskreis, al, Hauptspannungen ausrechnen, Spannungen skizzieren, Vergleichsspannung nach Mises.

 

9) Schubspannungen

 

Mechanik 2, Hohlrohr, Mohrkreis, Vergleichsspannung                                                        https://youtu.be/IFKVdjrALHs

Schnittgrößen N, Qy, Qz, Mt, My, Mz bestimmen. Si = N/A+ My z/Iy-Mz y/Iz, Schubspannung aus Querkraft und Torsion aufaddieren, Mohrkreis zeichnen, Hauptspannungen und Richtungen ablesen, Treska Vergleichsspannung ausrechnen, Spannungstensor herstellen.

Mechanik2, Schweißnaht                                                                                              https://youtu.be/cFz2cpEBsYk

Eine Schweißnaht, aufzuteilen in drei Flächen, Schwerpunkt und I bestimmen, Moment und Spannung bestimmen, Schubspannung nach Q S / (I B) berechnen, zulässiger Wert bei weitem überschritten.

Schubmittelpunkt, Tau aus Q und Mt                                                                              https://youtu.be/g2WlV9aa4rA

Der Schwerpunkt wird berechnet und stimmt nicht mit der in der Aufgabenstellung gegebenen überein, Dicke mal z Fläche, aufintegriert zur S Fläche, aufintegriert zu virtuellen Kräften, I aus Summe der Vertikalkräfte mit normal berechnetem I vergleichen, über Summe MP den Schubmittelpunkt ausrechnen, It ist Summe Länge mal Blechdicke³/3, Mt ist Q mal (Ys + ySMP) und Tau = Mt t/It. Dann Schubspannung aus Querkraft ausrechnen, beide Werte sind aufzuaddieren.

10) Satz von Castigliano

Castigliano, Balken mit Feder und schräger Einzelkraft                                                         https://youtu.be/4iVUiUnTIeQ

Zuerst wird das dyadische Produkt der zwei gegebenen Vektoren gebildet. Es entsteht eine 3x3 Matrix, korrekt ein Tensor 2.Stufe. Durch das Bilden der Divergenz wird die Stufe wieder um 1 zurückgesetzt, es entsteht ein Vektor. Nach der Definition:
div Tensor a = ain,n ei in der Einsteinschen Summenvereinbarung, wobei das Komma wieder ableiten nach bedeutet,  dies schreibe man aus, dann erhält man die zweite Komponente des gesuchten Vektors a2 durch a21,1 e2 +a22,2 e2 + a23,3 e2 oder in Worten: Die zweite Zeile wird abgeleitet, der erste Term nach x1, der zweite nach x2, der dritte nach x3, und die Ergebnisse aufaddiert.

 

11) Arbeitssatz, Überlagerungstafel, virtuelle Kräfte

 

Mechanik2, Reese, Klausur, 9.8.2014, Arbeitssatz                                                                              http://youtu.be/yukyvgzKhng

Das System ist einfach unbestimmt, Schneiden der Feder ergibt das Ersatzsystem, M0 Fläche mit Kraft 2F, M1 Fläche mit Federkraft 1, Überlagerung: delta10, und delta11 bilden und X1=Federkraft=- delta10/delta11 ausrechnen. B ist doppelt so groß wie die Federkraft X1, Momentenfläche aus Addition M0 + X1  mal M1.

Federkonstanten an statisch bestimmten Systemen mit Überlagerung                                                        https://youtu.be/D6kmJRIM8Q8

Die Überlagerungstafel wird erklärt. Anwendung auf einen Kragarm mit Streckenlast. Ein Kragarm mit Einzelkraft wird in eine Feder verwandelt. An dem Beispiel wird die Formel zur Berechnung der Federkonstanten für statisch bestimmte Systeme hergeleitet, 1-Kraft ansetzen, M1 Fläche zeichnen, c = 1/delta11 = Ei / Tafelwert / Maximalmoment²/Länge.
Die Formel wird auf verschiedene Träger angewendet, auch die Umwandlung in Drehfedern wird gezeigt.

Mechanik2,Balken,Stabwerk,Überlagerung,GAQ                                                                                https://youtu.be/79z71kAWGIM

Stabkräfte und Lagerkräfte mit Gleichgewicht ausrechnen, Freikörperbild, N0, Q0, M0-Flächen zeichnen, Einskraft ansetzen, wieder Stab- und Lagerkräfte bestimmen, N1,Q1,M1 Fläche zeichnen. GAQ ist grober Dimensionsfehler, Faktor 100 oder 1000, Kreisprofil so angenommen, dass EI stimmt, GAQ ausgerechnet, Fehler 300 rausbekommen. Überlagerung w = Delta 10 gezeigt. Lagersenkung bewirkt vertikale Translation.

Mechanik2,Stabwerk,virt.Kräfte                                                                                                     https://youtu.be/aSdPcmHFpSU

Ersatzsystem: Lager C wegnehmen, So und S1 Kräfte ausrechnen, Überlagern in Tabelle, delta10,delta11 und x1=c=-delta10/delta11 ausrechnen. Alle weiteren Kräfte durch Addition, So + x1 S1 Werte aufaddieren, geht auch für Lagerkräfte, und auch für S3.

Mechanik2, Stabwerk, virtuelleKräfte                                                                                              https://youtu.be/swuwQMyjwUc

Ersatzsystem: S6 schneiden, für Lasten S0 Kräfte berechnen, für X1=1 S1 Kräfte, für gesuchte Verschiebung S2 Kräfte, Tabelle mit Stabnummer, Länge, S0,S1 S2 anfertigen, X1 = - Delta 10 / Delta 11, Knotenverschiebung = Delta 20, Delta 10 bedeutet: jeweils Stablänge mit Stabkraft aus Null und Stabkraft aus Ein"fläche" malnehmen und aufaddieren.

starrer,abgewinkelter Balken, Stabwerk, Dreieckslast, virtuelle Kräfte                                                         https://youtu.be/b2Oiif5hIhI

System einfach unbestimmt, S5 wird geschnitten, S0-Fläche für Last qa, S1 Fläche für statisch Unbestimmte S5=1, S2-Fläche für gesuchte Verformung. X1 = - Delta 10 / Delta 11, Nullfläche  plus X1-Facher Einsfläche ergibt alle Stab- und Lagerkräfte. Verformung durch Delta 20 + X1 Delta 21.

Fortsetzung 3.13                                                                                                                       https://youtu.be/j7qxdJC_Yj8

Die Geometrie wird rechnerisch mit Pythagoras, Cosinus- und Sinussatz aufgestellt, die Winkel ph12, phi3 bestimmt und b1,b2,b3,h1,h2,h3 angegeben. Dann wird die Kistenregel eingeführt, in x- und y- Richtung eine Geschwindigkeitsgleichung aufgestellt und die Winkelgeschwindigkeiten bestimmt. Jetzt das gleiche für die Beschleunigungen, und zum Abschluss Berechnung des Beschleunigungspols der mittleren Stange.

Abgewinkelter räumlicher Kragarm mit Rechtecklast                                                                            https://youtu.be/ximsyvR9DvQ

Die M0 und M1 Flächen werden für die Last und die virtuelle Einskraft am Ende gezeichnet und überlagert. Optional können noch die Querkräfte überlagert werden, man sieht dann, warum es der Praktiker nicht macht, kommt fast nichts bei raus. Vergleichsspannung nach Mieses in der Einspannung aus Biegung und Torsion wird berechnet.

Gerberträger mit Rechteck- und Einzellast                                                                                         https://youtu.be/mMIj0ytYm_c

Mo-Fläche für Last zeichnen, Parabel q L²/8, Gelenkkraft F + qL/2 mal 2 m, dann M1-Fläche für gesuchte Verformung am Kragarmende, und die Flächen überlagern.

 

12) Tensorrechnung

MechanikII,HÜ1,Aufgabe 2/4                                                                                                      https://youUkuJtu.be/s1z03dE

Das Skalarprodukt zweier Tensoren ist ein Skalar, in Einsteinscher Summenvereinbarung aik bik, 9 Produkte aufaddieren, Ergebnis -11 ankreuzen.
Wegen dem Punkt ist C ein Skalar, ohne den Punkt dazwischen wäre C = A B ein Tensorprodukt und damit wieder ein Tensor, vereinfacht gesagt die Multiplikation zweier matritzen, die wir aus Mathematik kennen, gibt dann wieder eine Matrix.

MechanikII,HÜ1,Aufgabe1/4                                                                                                       https://youtu.be/UFgRT6RXEa8

Die Ableitung eines Vektors ergibt einen Tensor, also grad V ist eine "Matrix" (korrekt halt Tensor), wobei oben die erste Komponente V1 nach x1, x2 und x3 abgeleitet wird. Dadrunter die zweite Komponente, v2, wieder nach x1,x2 und x3 abgeleitet.
Das Ergebnis wird wieder mit der Einsteinschen Summenvereinbarung und dem dyadischen Produkt abgekürzt.

MechaniII, HÜ1, Aufgabe3,4                                                                                                       https://youtu.be/3br3bD6WArs

Zuerst wird das dyadische Produkt der zwei gegebenen Vektoren gebildet. Es entsteht eine 3x3 Matrix, korrekt ein Tensor 2.Stufe. Durch das bilden der Divergenz wird die Stufe wieder um 1 zurückgesetzt, es entsteht ein Vektor. Nach der Definition:
div Tensor a = ain,n ei in der Einsteinschen Summenvereinbarung, dies schreibe man aus, dann erhält man die zweite Komponente des gesuchten Vektors a2 durch a21,1+a22,2+a23,3 oder in Worten: Die zweite Zeile wird abgeleitet, der erste Term nach x1, der zweite nach x2, der dritte nach x3, und die Ergebnisse aufaddiert.

Aufgabe1,divergenz eines dyadischen Produkte                                                                                  https://youtu.be/rJxsycAMLCI

Zwei Vektoren sind gegeben, wir bilden das dyadische Produkt, Ergebnis ist eine 3x3-Matrix, von der nur die zweite Zeile berechnet werden soll. Jetzt die Definition der Divergenz einer Matrix nachschlagen, Uni Stuttgart, Prof. Sändig:
http://agsaendig.ians.uni-stuttgart.de/lehre/archiv/ws0506/pdgl-ue/archive/blatt2.pdf,
erster Term nach x1, zweiter nach x2, dritter Term nach x3 ableiten, Ergebnis mit Lösungsvorschlägen vergleichen.

 

 

Aufgabe3, gradv mit Einsteinscher Summationsvereinbarung                                                                  https://youtu.be/bFXTOQbt64Y

Vektor als v1,v2,v3 ausschreiben, grad v als Matrix aufschreiben, dann als Summe von 9 Termen mit den dyadischen Produkten, und diese Summe mit der Einsteinschen Summationsvereinbarung abkürzen.

13) Knicken

Dokumentahalle                                                                                                                         https://youtu.be/1tEzdAfC9oA

Bei der Halle können die Querschnittswerte I, A der Stütze und des Horizontalträgers berechnet werden, ebenso die vertikale Auflagerkraft. Ansonsten versagt die Halle durch Knicken der Stützen, das heißt beim Aufbringen der Belastung bricht die Konstruktion schlagartig in sich zusammen, es kommt zu einer Katastrophe mit hohem Sach- wenn nicht Personenschaden, für den der Ingenieur die volle Verantwortung trägt.
Unsinn wäre es, bei einer zusammenbrechenden Konstruktion Q, N, M und Verformungen ausrechnen zu wollen.

 

Parabolspiegel                                                                                                                            https://youtu.be/h84PDhzAPDI     

Zuerst mit Pythagoras die Stablängen bestimmen, dann Sinus und Cosinus der beteiligten Winkel. Den Knoten freischneiden, beide Stäbe als Zug antragen, Summe Fx, Fy = 0 ergibt 2 Gleichungen für die Stabkräfte S1, S2. Mit Sigma zul kann man die Flächen der Stäbe ausrechnen, mit Hooke die Längenänderungen, wobei beide Stäbe die Spannung Sigma zulässig haben, oben als Zug, unten als Druck. Dann kann auch die Längenänderung aus Temperatur aufaddiert werden.
Knicken ist Eulerfall 2, Knicklast E I pi² / L² kann nach I auggelöst werden, mit A = 2 pi s r und I = pi s r³ entstehen zwei Gleichungen für den Radius r und die Wandstärke s. Gleichungen durcheinander dividieren ergint r = Wurzel aus 2 I / A1 = 17,4 mm, die Wandstärke ist dann 1,008 mm, gewählt 1mm.

Mechanik 3 Dynamik

1) Kinematik

Mechanik3, Klausur, Stuttgart, A8                                                                                                 http://youtu.be/Nv35n8KPZTY

v(x) ist gegeben, wird als dx/dt geschrieben, Variablen x, t trennen, Integration, Integrationskonstante ist Null wegen der Anfangsbedingung, Auflösen nach x(t), ableiten ergibt dann v(t) und a(t)

Dynamik,Kurbeltrieb,Kinematik                                                                                                     https://youtu.be/yX-ajmuBGpw

Geometrie in x- und y-Richtung aufstellen, ergibt zwei Gleichungen für r und al, Ableiten ergibt zwei Gleichungen für r° und al°, weiteres Ableiten zwei Gleichungen für r°° und al °°. Das Auflösen der Gleichungen ist möglich, aber umständlich, daher Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten ausdrücken, erst von B zu P, ergibt Geschwindigkeit und Beschleunigung des Verbindungspunktes, und dann diese in er, ephi zerlegen, ergibt zuerst r°, al°, und dann, weil diese schon bekannt, r°° und al°°.

 

Kinematik, Kistenregel, Geschwindigkeit, Beschleunigung.                                                                    https://youtu.be/aaPDAWvvxSs      

Geschwindigkeit und Beschleunigung werden allgemein erklärt und die "Kistenregel" eingeführt, Mit dieser Regel die Geschwindigkeit in C ausrechnen, Bindungsgleichung aufstellen und nach Omega 2 auflösen. Dann das gleiche für die Beschleunigungen, Winkel- und Zentripetalbeschleunigungen nach Kistenregel aufstellen und aufaddieren, Bindungsgleichung, ergibt Winkelbeschleunigung links.

Maltesergetriebe                                                                                                                         https://youtu.be/MCednY-Z4FU

Der Bolzen wird auf der linken Scheibe allgemein mit r und phi angesetzt, Geometrie in horizontal- und Vertikalrichtung aufgestellt ergibt zwei Gleichungen für r und phi.
Nun wird die Geschwindigkeit des Bolzens für die linke Scheibe aufgestellt mit r° und phi°, und in er und ephi Richtung mit der tatsächlichen Geschwindigkeit R Omega verglichen, ergibt R° und phi°. Dann dasselbe für die Beschleunigung:
In er-Richtung r°°-r p°² und in ephi Richtung 2 r° phi° + r phi°° gleichsetzen mit der bekannten Zentripetalbeschleunigung der rechten Scheibe.

Aufgabe 3.14, kinematik, 3 Stangen                                                                                               https://youtu.be/u9SKEnBkRD0

Graphische Konstruktion: Strecke a und L1 unter 45° antragen, Kreise mit L2 und L3 zeichnen ergeben rechtes Gelenk. Jetzt entweder M2 einzeichnen und a, b messen, L1 omega1 = a omega2, b Omega 2 = l3 Omega 3 ergeben die Winkelgeschwindigkeiten. Besser: Geschwindigkeitsplan zeichnen, L1 Om1 einzeichnen, 2 Wirkungslinien einzeichnen, ergibt Om2 und Om3, jetzt das gleiche für die Beschleunigung, ergibt O1° und O2°. Dann die Geometrie rechnerisch herstellen und rechnerisch alle Winkelgeschwindigkeiten und Beschleunigungen aufstellen. Leider ist die Technik abgestürzt.

Stange mit Masse, Geschwindigkeit und Beschleunigung                                                                       https://youtu.be/lqTOFUyi5xU

Wir drehen den Einheitsvektor er um einen kleinen Winkel dphi und erhalten die Ableitungsregeln: er abgeleitet ergibt Phi° Ephi, analog ephi° = - phi° er. Der ° steht für die Zeitableitung d/dt. Jetzt leiten wir den Ortsvektor r er mit Hilfe obiger Regel und der Produktregel zweimal ab und bekommen zwei Pfeile für die Geschwindigkeit und vier Pfeile für die Beschleunigung, die man auch einfach ohne Verständnis auswendig lernen kann. Jetzt nur noch Zahlen einsetzen und Rechner bedienen, die radiale Beschleunigung ar = R°°-r p°² ausrechnen, die senkrecht zur Stange stehende Beschleunigung aphi = 2 r° phi° + r phi°° , Pythagoras gibt den Betrag der Gesamtbeschleunigung.

kinematischer Zusammenhang zwischen Rollen, Seilen und Geschwindigkeiten            https://youtu.be/xgB7Pcatdsc                        https://youtu.be/AixyuKm-uqM

Das linke Seil geht mit v nach unten, wegen der Rolle links an der Decke geht das Seil in der Mitte mit v nach oben. Der Rollenmittelpunkt der mittleren Rolle geht mit v nach unten. Linker und mittlerer Punkt verbinden, rechter Rollenpunkt geht mit 3 v nach unten, also 3 v = Omega mal r.
Allgemein: Alle Seile wegschneiden, läßt man die mittlere Rolle mit der Kiste zusammen, dann hat man 4 Freiheitsgrade Omega 1,2,3 und v. Jetzt die Geschwindigkeiten des oberen und des unteren Punktes jeden Seiles aufstellen und gleichsetzen ergibt drei Gleichungen, so dass insgesamt ein kinematischer Freiheitsgrad übrigbleibt. Gibt man also eine Bewegung vor, kann man mit diesen Gleichungen die anderen drei Geschwindigkeiten bestimmen.

Zwei Stäbe mit 45°Gleitlager am Ende                                                                                              https://youtu.be/ZFpyIc3wFwI

Die Kistenregel wird für Geschwindgigkeit und Beschleunigung gezeigt und auf die Aufgae angewendet: Alle Pfeile in x- und y-Richtung aufaddieren, X°+Y°=0 ergibt Winkelgeschwindigkeit im rechten Teil, das gleiche für Beschleunigung ergibt Winkelbeschleunigung im rechten Teil und damit die Beschleunigung von E in x- und y-Richtung.

Kurbelschwinge                                                                                                                          https://youtu.be/gjb07sQMQgo

Am einfachsten ermittelt man die Winkelgeschwindigkeiten mit der Kistenregel, indem man von A nach B, C und D geht und dort die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung zu Null setzt, die zwei Gleichungen ergeben Omega 2 und Omega 1 - dies lässt sich in ähnlicher Form auch auf die Beschleunigungen anwenden. Der Momentanpol der mittleren Stange findet sich im Schnittpunkt der Stangen 1 und 3. Auch damit lassen sich Omega 2,1 ermitteln.

Zwei rotierende Scheiben                                                                                                              https://youtu.be/epf-ZbOsvKc

Die Strecke a bewirkt die Geschwindigkeit omega a nach oben, die Strecke r die Geschwindigkeit r (omega + Omega) nach links, omega ist Führung, Omega ist relativ. Die Strecke a bewirkt die Zentripetalbeschleunigung a omega² nach links, die Strecke r die Beschleunigung r (omega + Omega)² nach unten, die nach der ersten binomischen Formel ausmultipliziert wird. Dann kann sie in Führungs- Relativ- und Coriolisterme aufgespalten werden.
Man kann auch die Ableitung rotierender Koordinaten erklären, ein x,y System mit omega und ein er, ephi System mit omega + Omega rotieren lassen, dann bekommt man mit Winkelbeschleunigungen die allgemeine Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes P in beliebiger Lage. Auch die lässt sich leicht in x- und y-Richtung aufteilen, oder in Führungs-, Relativ- und Coriolisanteile zerlegen.

Zwei rotierende Scheiben, P bei 60°                                                                                                https://youtu.be/HSZiedPnONU

Die Strecke a bewirkt die Geschwindigkeit omega a nach oben, die Strecke r die Geschwindigkeit r (omega + Omega) nach links oben, omega ist Führung, Omega ist relativ. Die Strecke a bewirkt die Zentripetalbeschleunigung a omega² nach links, die Strecke r die Beschleunigung r (omega + Omega)² nach links unten, die nach der ersten binomischen Formel ausmultipliziert wird. Dann kann sie in Führungs- Relativ- und Coriolisterme aufgespalten werden. Der sinus von 30° ist ½, der cos 30° ist Wurzel3/2, die schrägen Pfeile werden in Horizontal- und Vertikalrichtung aufgeteilt.

Mit Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung abrollende Kreisscheibe                                           https://youtu.be/nAaij120TtE

Der Momentanpol ist im Abrollpunkt, der Schwerpunkt hat die Geschwindigkeit r om in e1-Richtung. Von diesem Punkt addiert man nun die Relativgeschwindigkeit r om für die Punkte B, C, D und E hinzu und erhält die Absolutgeschwindigkeiten dieser Punkte.
Bei den Beschleunigungen trägt man auch zunächst im Schwerpunkt S die Beschleunigung r om° in 1-Richtung an, in 2-Richtung ist die Beschleunigung Null, da der Punkt seine e2-Koordinate immer beibehält. Von S aus werden wieder die Relativbeschleunigungen r om°, die Winkelbeschleunigung, und r om² , die Zentripetalbeschleunigung, dazu addiert, und man erhält die Absolutbeschleunigungen der Punkte A, B, C, D, E. Zum Beschleunigungspol braucht man eine Formel für den Winkel und eine Formel für den Abstand, dann kann er von S ausgehend eingezeichnet werden. Beide Formeln werden hier hergeleitet.


2) Schiefer Wurf

Energieerhaltung, teilplastischer Stoß und schiefer Wurf                                                                        https://youtu.be/AYNKmz1lm8A

Energieerhaltungssatz liefert die Auftreffgeschwindigkeit der Masse 2m vor dem Stoß. Impulserhaltung und Stoßzahl liefern die Geschwindigkeiten der Massen nach dem Teilplastischen Stoß. Integration der Beschleunigung liefert die Geschwindigkeit und den Ort zu jedem Zeitpunkt t, Auftreffbedingung y=0 liefert die Zeit des schiefen Wurfes, einsetzen in x die Wurfweite.

3) Dynamik, gedämpfte Bewegung

Dynamik, gedämpfte Bewegung im Wasser                                                                                        https://youtu.be/PORUrRNcvJY

Masse zu beliebigen Zeitpunkt betrachten, F = ma, Kräfte sind mg, die Auftriebskraft, also das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit und der geschwindigkeitsproportionale Wasserwiderstand kv. Dies kann man nun entweder mit dem Ansatz A mal e hoch Lambda t in der homogenen DGL lösen, oder durch Integration. Der Aufgabensteller favorisiert anscheinend die Integration, ich die Lösung von Leonard Euler, weil ich dann auch DGLs lösen kann, die höherer Ordnung sind. Vorgeführt wird beides.

4)Stoß

Speeraufgabe                                                                                                                             https://youtu.be/CPIgkzNOsvA

Herleitung des Winkels be i al zwischen v und Speer. Drallerhaltung um Auftreffpunkt ergibt om nach dem Stoß, ist dieses Null, ergibt sich om vor dem Stoß, und die Komponente von   m v  in Stabrichtung wird durch das Stoßkraftintegral aufgehoben, ist also die Impulsänderung. Mal cos be ergibt x-, mal sin be ergibt y-Komponente.

D3: Stoß Punktmasse gegen V-Balken mit Drehfeder                                                                           https://youtu.be/0EFcInRja8A

Bild vor und nach dem Stoß zeichnen, Drallerhaltungssatz und Stoßzahl aufstellen und nach V und Omega nach dem Stoß auflösen. Federn gehen beim Stoß grundsätzlich nicht ein, das Massenträgheitsmoment ist J = 2/3 m1 L², L=4m. Nach dem Stoß schiefen Wurd durchrechnen, nach t = Wurzel L durch g = 0,6386 s landet die Masse, mal v ergibt die Wurfweite 1,262 m. Die Frage, ob der Balken sich um 90° dreht und A gegen die Wand stößt, ist zu bejahen. Mit dem Energieerhaltungssatz kann man feststellen, dass die Winkelgeschwindigkeit trotz der Feder noch zunimmt, und man kann auch für Pi/2 die Winkelgeschwindigkeit ausrechnen. Für den Mathematiker wäre das aber kein Beweis, dass er nicht schon vorher stehenbleibt und wieder zurückschwingt. Numerisch ist die Aufgabe einfach, wenn man viele Zwischenwerte einsetzt, eine mathematisch saubere Begründung ist weit schwerer.


5) D´Alembert 

Dynamik, D´Alembert, zwei Kreisscheiben mit Einzelmasse                                                                    https://youtu.be/TG2CteKDrDs

Das Massenträgheitsmoment einer Kreisscheibe wird in der Aufgabenstellung berichtigt und beträgt m r²/2, Herleitung ist dabei. Jetzt alle Teile Freischneiden, Gewichtskräfte, Lagerkräfte, Seilkräfte, bei m2 und m3 Trägheitskräfte, bei m1 und m2 Trägheitsmomente und das Antriebsmoment eintragen.
Kinematik klären, alle Winkelbeschleunigungen sind gleich, alle Beschleunigungen sind gleich und Winkelbeschleunigung mal r.
Jetzt das Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden, oben Summe M mal delte phi, bei m2 Summe F mal delta x + Summe M mal delta phi, unten Summe F mal delta x, dabei Führungskräfte, also Seile, weglassen. Nach Beschleunigung auflösen. Jetzt unten Summe der Kräfte ergibt S3, Summe der Momente um den Pol rechts ergibt S1, Summe der Kräfte ergibt S2, oben Summe M zur Probe und Summe H, Summe V für die Lagerkräfte.
Beschleunigung zu Null setzen ergibt das Antriebsmoment für konstante Geschwindigkeit, der Weg von M3 ist a t²/2.

Dynamik, D´Alembert, Zwei Kreisscheiben mit Einzelmasse                                                                    https://youtu.be/pS5wQRn2vfo

Koordinatenrichtungen festlegen, Systemteile freischneiden, D´Alembertsche Trägheitskräfte gegen die Koordinatenrichtung, Kinematik aufstellen, virtuelle Arbeit aufstellen und zu Null setzen, Kinematik einsetzen ergibt eine Gleichung für die Beschleunigung. Gleichgewicht ergibt die Seilkraft und die Zahnradkraft, Kinematik die Winkelbeschleunigungen der Scheiben. Das letzte Teil ist die Probe, man kann also seine Rechnung auch ohne Lehrstuhlergebnisse überprüfen. Beschleunigung Null setzen ergibt das Moment für konstante Geschwindigkeit, Zweimalige Integration der Beschleunigung ergibt Zeit und Geschwindigkeit, wo die Masse wieder am selben Ort ist, t=1,590 s, v wieder 3m/s, diesmal nach oben.

Dynamik, D´Alembert, Rollen, Masse, Seilkräfte                                                                                 https://youtu.be/pzwnHErqT8o

Eintragen der D´Alembertschen Trägheitskräfte, Ma und mg, virtuelle Arbeit, eine Gleichung für die Winkelbeschleunigung, Führungs- und Seilkräfte treten nicht auf. Drei Schnitte führen, untere Rolle, Summe M, Summe F ergibt S2,S3, Einzelmasse, Summe F, ergibt S1, obere Rolle, ergibt Festlagerkraft und Probe.

Dynamik, D´Alembert,Reibung,4Seile,Zeit                                                                                         https://youtu.be/5DPTWg6_RWg

Kinematik: Rechts x°° als Beschleunigung ansetzen, geht über Umlenkrolle bis S3, S1 ist in Ruhe, damit Winkelbeschleunigung gleich x°°/2/r, Beschleunigung m1,m2 mit x°°/2 nach oben. D´Alembertsche Trägheitskräfte und Momente ansetzen, Gewichtskraft m4g in Normalkraft und Hangabtrieb zerlegen, virtuelle Arbeit aufstellen, ergibt Beschleunigung a = X°° von Masse 4, mit L = a t²/2 wird die Zeit bestimmt. Dann können noch die Seilkräfte S1,S2,S3,S4 bestimmt und eine Probe durchgeführt werden.

Fahrstuhlaufgabe                                                                                                                        https://youtu.be/YpKwC5lyELc

Fahrstuhl mit Gegengewicht, Beschleunigungsphase, dann konstante Geschwindigkeit und Abbremsvorgang: Seilkräfte, Antriebsmoment, Leistung und Arbeit sind gesucht.

Seiltrommel mit schräger Kraft                                                                                                       https://youtu.be/zitv-SDHRrU

Eine Seiltrommel, m, g, J, F und phi gegeben, unter welchem Winkel rollt sie nach rechts, nach links oder hebt ab? ´D´Alembertsche Hilfskräfte ansetzen, Summe Ma, Summe H und Summe V bilden.

Welle                                                                                                                                      https://youtu.be/3GGfAmTS7cc

Eine Welle mit zwei Kräften, Spannungsnachweis, dann eine Bohrung berücksichtigen, dann den Abstand so ausrechnen, dass Verschiebungen in Mitte und Ende gleich sind oder dass die Durchbiegung in der Mitte beschränkt ist. Dann eine Hohwelle zum Vergleich rechnen.

Mechanik2, Wiederholer, A1                                                                                                        https://youtu.be/w_vuz3tIVwo

Koordinatensystem einführen, Kräfte F, N, R=mü N, mg einzeichnen, ma = 0, da v = konstant, Summe F1, F2 =0 ergibt zwei Gleichungen für N und F.
Dann Arbeit der Reibungskraft ist minus R mal L, Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit, also bei F der Cosinusanteil.

Mechanik3,Wiederholer,A3                                                                                                          https://youtu.be/A6T3Ybu8Ji4

Annahme: Drehfeder in horizontaler Lage ungespannt. Jetzt Energieerhaltung, T1+Pi1 = T2 + Pi2, in Lage 1 sind kinetische und potentielle Energie Null, in Lage 2 ist die kinetische Energie Null, die potentielle enthält positive Fererspannenergie und negatives m g h. Es entsteht eine "transzendente" Gleichung mit phi² und sin phi, die sich für kleine Winkel (sin phi ungefähr phi) auflösen läßt.
Jetzt wieder EES aufstellen, 1 ist wieder horizontale Lage, 2 allgemeine Lage phi mit Geschwindigkeit. Ableiten des EES nach der Zeit ergibt die DGL der Bewegung.

D´Alembert mit zwei Massen und einem Seil                                                                                     https://youtu.be/imVIoGZxTOw

Beide Massen werden freigeschnitten, mg, Seilkräfte und Trägheitskräfte werden eingetragen, zweimal Summe F in Bewegungsrichtung ergibt zwei Gleichungen für die Seilkraft und die Beschleunigung.

Rutschende oder rollende Kreisscheibe auf schiefer Ebene                                                                     https://youtu.be/qCmo_fzZTEg

Zuerst wird das Massenträgheitsmoment der Kreisscheibe hergeleitet, die D´Alembertschen Hilfsgrößen  M x°° sowie m r²/2 phi°° eingetragen, außerdem mg, N und R. Jetzt Summe M um den Schwerpunkt bilden, Summe der Kräfte in beiden Richtungen und das Reibungsgesetzt R = mü N einsetzen, und wir erhalten x°°, phi°°, Reibungs- und Normalkraft. Das System hat zwei Freiheitsgrade, und mü muss kleiner sein als tan al/3.
Ist mü >= tan al/3, tritt Rollen auf, das System hat nur noch einen Freiheitsgrad, und anstelle des Reibungsgesetzes ist die Abrollbedingung x°° = r phi°° zu verwenden. Wieder lassen sich mit den drei Gleichgewichtsbedingungen R, N, x°° und phi°° ausrechnen.
Integration der Beschleunigung ergibt die Geschwindigkeit und den Weg als Funktion der Zeit.

Aufzug: Masse mit Seil, 2 Scheiben und Moment                                                                               https://youtu.be/-_af2OMNKIA

Die gegebenen Größen werden in Basiseinheiten m, N umgerechnet. Die Teile freigeschnitten, die äußeren Kräfte und die Trägheitskräfte sowie die „Führungskräfte“ Seil und Zahnkraft angetragen. Mit Summe F, Summe Ma, Summe MB und der Kinematik entstehen 4 Gleichungen für die beiden Winkelbeschleunigungen, die Zahnkraft und die Seilkraft. Die Führungskräfte eleminieren, wir erhalten die Beschleunigungen und danach auch die Führungskräfte. Wäre die Geschwindigkeit konstant, würden wir alle D´Alembertschen Terme weglassen und wieder nach Seil- und Zahnkraft sowie dem Antriebsmoment auflösen. Integration der Beschleunigung mit den Anfangsbedingungen –vo und xo=0 ergibt Weg und Geschwindigkeit als Funktion der Zeit, mit x=0 erhält man die Zeit, Einsetzen in x° ergibt die Geschwindigkeit.
Zum Schluss wird noch erklärt, wie das Massenträgheitsmoment der Hohlkreisscheibe berechnet wird: r2²+r1² mal m/2.

Kiste mit Reibung sowie zwei Kreisscheiben mit Antriebsmoment                                                            https://youtu.be/3YsvJeFu0m0

Kinematik: x = r1 phi1 = r2 phi 2, Freikörperbilder mit Gewichtskraft, Normal- und Reibungskraft, Seilkraft und D´Alembertscher Trägheitskraft, Kreisscheiben mit Massenträgheitsmoment, tangentialer Zahnkraft F und Antriebsmoment, die Lager müssen nicht durch Kräfte ersetzt werden. Nun Summe Fx=0, MA=0 und MB=0 bilden, positiv immer in positive Koordinatenrichtung, Summe Mi durch ri teilen und alle drei Gleichungen  aufaddieren, womit die Führungskräfte S und F entfallen. Nach Einsetzen der Kinematik kann man nach der gesuchten Beschleunigung x°° auflösen. Integration der Beschleunigung würde auf v, x als Funktion von t führen, x=s nach t auflösen und in Geschwindigkeit einsetzen ergibt v als Funktion von S. Hier soll dies mit dem Arbeitssatz geschehen, M phi 3 ist die vom Motor zur Verfügung gestellte Arbeit, die Reibungsarbeit mü m3 g s geht verloren, die kinetische Energie von Kiste und Walzen bleibt übrig, nach Einsetzen der kinematik auflösen nach der Geschwindigkeit x°.

Mechanik 3 HÜ                                                                                                                        https://youtu.be/1XW9YLgWau8

Drei Massen werden durch eine Kraft F angeschoben, drei D´Alembertsche Trägheitskräfte ansetzen, Summe Fx =0 für das Gesamtsystem ergibt die Beschleunigung x°°, einsetzen ins Gleichgewicht für die rechte Masse ergibt F23.
Beschleunigung g zweimal integrieren ergibt x=ho, auflösen nach t ergibt die Zeit, Stoßzahl in Energierehaltungssatz einsetzen ergibt h1 = ho ep².
Scheine, Jp°°, mx°° und mg eintragen, Kinematik x°° = r phi°° und Summe MA=0 ergibt x°° = 2/3 g sin al, bei 30° also 1/3 g.

Zwei Kreisscheiben und Kiste                                                                                                         https://youtu.be/H8J_NRGpq5Y

Körper freischneiden, D´Alembertsche Trägheitskräfte eintragen, Seilkräfte und mg eintragen, Massenträgheitsmomente ausrechnen, J1 = 5 m r², Kinematik aufstellen, Summe MA=0, MB=0 und Summe F=0 bilden, Gleichung 1 durch 3r, Gleichung 2 durch r teilen und alle drei Gleichungen aufaddieren, Kinematik einsetzen und nach der Beschleunigung auflösen.


 

6) Rotierende Systeme

Dynamik, rotierendes Rohr mit Einzelmasse                                                                                       https://youtu.be/KSG-qgxjVxo

Lösungsweg1: Energieerhaltungssatz: 1/2 M v² = Integral Kraft dr, wobei die Kraft die Fliehkraft m omega² r ist. Auflösen ergibt die Relativgeschwindigkeit, Fahrzeuggeschwindigkeit ist Omega a, Pythagoras liefert Absolutgeschwindigkeit Wurzel 7 a omega /2.

Lösungsweg 2: Alle Beschleunigungen ansetzen, D´Alembert. Summe Fx=0, DGL der Bewegung aufstellen und Lösen, Anfangsbedingungen einsetzten, ergibt r = a/2 cosh omega t. Randbedingung r=a ergibt Zeit und Relativgeschwindigkeit, Corioliskraft ergibt das Antriebsmoment des Rohres.

Dynamit, rotierende Welle mit Antriebsmoment                                                                                  https://youtu.be/1X_qVbcC7vU

Massenträgheitsmoment hergeleitet und ausgerechnet, DGL für Winkelbeschleunigung aufgestellt und zweimal integriert, Integrationskonstanten mit Anfangsbedingungen ausgerechnet. M so ausgerechnet, dass bei gegebener Endzeit Winkelgeschwindigkeit 2 Omega ist, und Winkel bestimmt. Aufgabenstellung scheint inkorrekt und nicht durchdacht zu sein, fehlende Angaben.

Bonuspunktaufgabe                                                                                                                    https://youtu.be/TnpvyszNNsE

Dreht sich ein Balken um ein Festlager, so gilt. M = m L^2/3 mal Winkelbeschleunigung.Dreht sich eine Scheibe mit Omega F und omega r, so beträgt das Kreiselmoment m r^2/2 mal Omega F mal omega r. Es tritt als Torsionsmoment in der vertikalen Stange auf. Die horizontale Stange hat kein Torsionsmoment.

 


7) Schwingungen

Dynamik, IPE 120 mit Erregerkraft                                                                                                  https://youtu.be/FMmtetyGlg8

Eine Aufgabenstellung, die vor Fehlern wimmelt: Die Erregerkraft Fo ist nicht gegeben, die Erregerfrequenz ist so gering, dass es praktisch mit einer statischen Last belastet wird, und die Annahme der Masse m dürfte auf einem Fehler beruhen, müssten 10kg und nicht 20kg sein, dürfte in Wirklichkeit die Trägermasse sein. Vermutlich hat der Aufgabensteller weiterhin Probleme bei der Umrechnung von Dimensionen. Die Federsteifigkeit des Balkens wird hergeleitet, die Differentialgleichung der Bewegung aufgestellt und gelöst, die Konstante der partikuläre Lösung durch Einsetzen in dei DGL bestimmt, die Konstanten der homogenen Lösung durch Anfangsbedingungen, die ebenfalls in der Aufgabenstellung fehlen. Danach wird die maximale Durchbiegung ausgerechnet, die wegen quasistatischer Lastaufbringung (Erregerfrequenz viel kleiner als Eigenfrequenz) ca. 1 Prozent höher ist als die statische Auslenkung.

Dynamik, Berechnung der Eigenfrequenz massenbehafteter Träger                                                           https://youtu.be/3K666R3HicM

Ein Träger auf zwei Stützen führe Eigenschwingungen aus, EI und m/L sind gegeben, L ebenfalls. Die Differentialgleichung der Bewegung wird hergeleitet, mit dem Seperationsansatz bearbeitet und dei Randbedingungen für die Systemhälfte eingesetzt. Es entsteht eine Formel zur Berechnung der Eigenfrequenz massenbehafteter Einfeldträger.
Dann wird gezeigt, dass man praktisch genau das gleiche Ergebnis bekommen würde, wenn man die Hälfte der Trägermasse zu einer Punktmasse in der Trägermitte kondensieren würde.

Wiederhsem Termin08 Aufg4 Wagen mit Kurbel, Dämpfer und Feder                                                      https://youtu.be/vH1ny6uzbAs

x Koordinate nach rechts, D´Alembertsche Trägheitskräfte  M+m mal x°°, Dämpferkraft Dx° und Federkraft cx nach links ansetzen, xr = -2r cos omega  t  ableiten und D xr°, m xr°° nach rechts ansetzen, Summe F =0 ergibt DGL, die noch ein wenig sortiert werden kann. Aus delta = omega0 ergibt sich die Bedingung zum apreriodischen Grenzfall.

 

8) Lagrange

Mechanik3, Markert, Lagrangeaufgabe                                                                                             http://youtu.be/tFnPB92h7zk

Balken mit Punktmasse und drehbarer Kreisscheibe, verbunden mit Drehfeder. Lagrange vom Schema, ohne besondere Schwierigkeiten.

 

 


 

Baustatik

1) Kraftgrößenverfahren, Überlagerung

Baustatik, Schnittgrößen, Verschiebung und Verdrehwinkel mit Überlagerung                                           https://youtu.be/uZNpSd7h_ZY

Horizontalbalken: Summe Mg ergibt horizontale Stabkraft, mal 1,5 vertikale, Pythagoras S0, Summe F Gelenkkräfte. Vertikalbalken freischneiden, Lagerkräfte bestimmen, No,Qo,Mo Flächen zeichnen, Virtuelle 1 Kraft in P ergibt M1, virtuelles Einsmoment in Q ergibt M2 Fläche. Querschnittswerte ausrechnen: Stab EA, Balken 2+3 EI, und überlagern.

Baustatik, Kraftgrößen, Lagerverschiebung                                                                                        https://youtu.be/4dFrXu_dyFw

Ersatzsystem: Drehfeder schneiden, rechts oben vertikal verschiebliches  Gleitlager, M0.M1, M2 Flächen zeichnen, Mt = EI al dT/h ist ein Scheinmoment, beim Überlagern berücksichtigen, bei der M-Fläche weglassen. X1, X2 ausrechnen, wobei d20+x1 delta21+x2 delta22 = w sein muss, der vorgegebenen Lagersenkung. Addition M0 + X1 M1 + X2 M2 ergibt die fertige Momentenfläche.

Stahlbau II, Hausübung, Theorie 2.Ordnung                                                                                     https://youtu.be/Lee_BG03qU0

Es ist ein abgewinkelter Träger mit Rectecklast und Horizontalkraft gegeben, durch Fest- und Gleitlager gehalten, Längen sind gegeben, EI läßt sich bestimmen. Mit Summe MA, V und H erhält man die Lagerkräfte und kann die N, Q und M-Flächen nach Theorie erster Ordnung zeichnen. Für die gesuchte Horizontalverschiebung zeichne man eine M1 Fläche mit der Horizontalkraft 1 und bekommt u durch Überlagerung raus, als delta 10. Diese Verschiebung bewirkt eine Stützenschiefstellung u/L1, mal der Normalkraft in dieser Stütze Av ergibt die Abtriebskraft. Zu dieser können wieder N, Q und M-Flächen gezeichnet werden. Addiert man diese auf die Schnittgrößen aus Theorie 1.Ordnung, ergeben sich die Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung. Weitere Iterationen würden keine signifikanten Änderungen bringen, da Av sehr klein ist.

 

2) Einflusslinien

Herleitung: Was ist die Einflußlinie für ein Moment?                                                            https://www.youtube.com/watch?v=CkRsmcz_peU

Ein einfacher Träger wird betrachtet, und mit den Sätzen von Betti und Maxwell sowie der Verformungsaussage (Winkel an Einspannung ist Null) wird gezeigt, warum der Winkel an der betrachteten Stelle -1 sein muss. Es ist nicht unbeding erforderlich, diese Herleitung zu verstehen, um Einflußlinien zu zeichnen, für den reinen Anwender ist also das 2.Video das wichtigere.

Baustatik: Einflußlinie Moment, Arbeitsschema                                                                  https://www.youtube.com/watch?v=BkiDBiESL-w

Am Vierfeldträger soll eine Einflußlinie für das Moment am zweiten Lager berechnet werden. Dort ist der Knick -1, an allen anderen Lagern Null. Überlagerung ergibt das für EL charakteristische Gleichungssystem, die Unbestimmten X1,X2,X3 und die fertige Momentenfläche. Mit den Omegazahlen wird jetzt die Biegelinie in den Viertelspunkten berechnet. Dabei werden die Omegazahlen hergeleitet und ihre Anwendung allgemein beschrieben. Dann kommt die Auswertung der Einflusslinie mit numerischer Integration und zum Abschluss eine Kontrolle, ob das Ergebnis stimmt. Dieses Video ist sozusagen Pflicht, wenn man weitere El mit dem Kraftgrößenverfahren berechnen will.

Einflusslinie: 5.Hausübung Baustatik                                                               https://www.youtube.com/watch?v=ALZ1mZCNCTM

Böser Fehler: Bis zu den w - Werten habe ich heute Morgen das gleiche raus, der Verlauf der Einflusslinie scheint also zu stimmen. Dann hatte ich aber in w2 nicht den Wert Null gespeichert, im Rechner war noch ein anderer Wert, daher ist die Auswertung danach fehlerhaft. Die Last im linken Bereich liefert M2= +20.8, der Bereich von 2 bis 3 liefert M2=-145.8 und der Bereich rechts, das Dreieck, war mit M2= -166.7 wieder richtig.  Also insgesamt: M2 = -291,7, die Einheit von allen Werten ist q L²/1000.

Baustatik,  kinematische Einflusslinie für Moment und Auswertung                                                         https://youtu.be/Xa_aSqI_rYk

Gelenk an Stelle I einführen, System wird dadurch verschieblich, Haupt- und Nebenpole festlegen und vermaßen, Beziehungen zwischen den 4 Winkeln herstellen, bei I ist ein Knick von 1 entgegen der Wirkung eines positiven Momentes. Winkel ausrechnen, Eilflusslinie zeichnen, Fläche unter Streckenlast bestimmen und mit q malnehmen ergibt MI. Dann mit Gleichgewicht Kräfte ausrechnen und M-Fläche zeichnen, bei I ergibt sich der korrekte Wert von 33,75 kNm. Einheiten überprüfen, EL hat Dimension Meter.

Zwei Einflusslinien auf einen Streich                                                                                                https://youtu.be/VqHnRg3Bxdg

Kragarm mit Feder, EL MA, F Feder sind gesucht, dort die Unbestimmten einführen, M1, M2 Flächen zeichnen und delta 11,12 und 22 bilden, bei 22 die Feder mitnehmen. Gleichungssystem Matrix delta = -1,0 ergibt X1 und X2 und damit MA = X1 und Mc = 2/3 X1 – 12/5 X2, dann wc = Zusammendrückung der Feder = X2/c und mit Omega-Zahlen die Einflusslinie zeichnen. Bei EL Federkraft alles analog wiederholen mit Matrix delta  = 0,-1, aber bei wc beachten, dass sich der Federfußpunkt um 1 nach unten bewegt hat, also wc = 1 + X2/c. Im Video vergessen:  Die Dimension der EL MA ist Meter, die EL Federkraft ist dimensionslos.

EL für Einspannmoment, Klinkel, 12.8.14                                                                                       https://youtu.be/P0slnX7u2wE

Die Einspannung wird durch ein Festlager ersetzt, X1=1 angesetzt, delta 11 gebildet und aus X1 delta 11 = -1 wird X1=-18 000 kNm bestimmt. Die Verformung bei B ergibt sich aus delta 12 X1, dann wird für die Zwischenwerte mit Omega Dreick interpoliert. Die Auswertung für eine Streckenlast erfolgt mit dem modifizierten Simpson für Drittelspunkte, also    w1 + 3 W2 + 3 w3 + w4 geteilt durch 8 mal Länge. Die ungünstigste Aufstellung einer Einzellast ergibt sich aus der Ableitung der Einflußlinie, mit F = 100 kN läßt sich dann MA max und MA min ausrechnen.



EL BST1 Klinkel   23.03.2016-A4                                                                                                 https://youtu.be/kt3ERuCnq-0

Das System ist links statisch unbestimmt, rechts statisch bestimmt. Die EL J ist eine kinematische Einflusslinie und kann mit dem Lineal gezeichnet werden. Die EL K: Kraft 1 ansetzen, M1 Fläche zeichnen, delta 11 ausrechnen und mit delta 11 X1 =-1 die Unbestimmte Kraft X1 bestimmen. Dann eine M2 und M3 Fläche zeichnen für die Einzelverformungen wC = X1 delta 12 und wF = X1 delta 13. Dann mit den Omega Zahlen in den Mittelpunkten die Durchbiegung bestimmen und die EL K zeichnen, dabei auf die Krümmung achten, A-C Linkskrümmung, C-E Rechtskrümmung, rechts von E gerade wegen M=0. Auswertung der Einflusslinie Kmax 2xSimpson + Trapezforel + Dreiecksfläche, Kmin zweimal Simpson.

Klinkel, 16_8_16 A3  Einflusslinie Wd mit Spalt bei Feder                                                                    https://youtu.be/wL52Xw8Sgck

Zuerst ist die rechte Feder weg, das System ist statisch bestimmt. Ich setze die Last 1 bei D an und zeichne die Mo Fläche. Weil ich die Verformung in D suche, zeichne ich die gleiche Fläche nochmal und bekomme wd = delta 10. Die Verformung in C bekomme ich als Zusammendrückung der Feder, für die Verformung in B setze ich nochmal die Last 1 an und überlagere die M2 Fläche mit Mo. Weil ich mit Simpson bei der Auswertung nicht über das Gelenk oder die Feder wegintegrieren kann, berechne ich mit Omegazahlen noch die Verformungen in den Mittelpunkten w1,w2 und w3.
Zur Auswertung berechnet man die Fläche der Einflusslinie mit Simpson und nimmt mit q mal, ergibt dann die Verformung in D. Weil diese hier bekannt und u, läßt sich die Gleichung nach der Last auflösen: Bei q1 = 3,6 kN/m setzt der Balken aud der Feder auf, die verbleibende Last q2= 11,4 kN/m wird dann auf das System mit Feder aufgebracht.
Nun ist das System einfach unbestimmt, Feder rechts wird geschnitten, Last 1 ergibt die bekannte Mo-Fläche, X1=1 ergibt die gleiche Fläche M1, nur ist die feder jetzt mit 1 dabei. X1 = -d10/d11 ergibt -0,9, also gehen von der Last 1 90% in die Feder und nur 10% in den Balken. Dadurch erhält man die gleiche Einflusslinie wie vorher, nur durch 10 geteilt. Die Restverformung ergibt sich jetzt mit dem Dreisatz aus der Grundschule zu u q2/q1 /10, sie ist auf u aufzuaddieren.

Tutorium Baustatik 1 EL M an zweifach unbestimmten System                                                              https://youtu.be/hjemWYr5zY8

Gelenk in m und darunter eingeführt, M1 und M2 Fläche  gezeichnet, für die Verformungen in B und D noch M3, M4 Flächen zeichnen, Gleichungssystem Deltamatrix x1 x2 = - 1, 0 ergibt X1 und X2, M = x1 M1 + x2 M2, Stabkraft links ausrechnen gibt Wa = - S L/EA, WB= X1 D31 + X2 D32, am Ende analog, dann noch mit omega Dreieck in den Drittelspunkten interpolieren.

Kinematische EL mit Hilfe der Kistenregel                                                                                         https://youtu.be/-u1PH2EL1Zs

EL Mp gesucht, in P Gelenk einführen, Blatt so drehen, dass gestrichelte Faser unten, der rechte Winkel ist dann um eins größer als der linke. Vom Festlager zum Gleitlager gehen, dann den geschlossenen Rahmen einmal in x- und einmal in z-Richtung durchlaufen, Anfangspunkt beliebig, ergibt 4 Gleichungen für 4 Winkel. Dann von den Lagern aus alle interessanten Punkte ansteuern und deren Vertikalverschiebung bestimmen. Die Winkel rechts und links außen könnten mit der Kistenregel bestimmt werden, der Aufwand lohnt sich nicht, weil die EL mit dem Strahlensatz schon fertig ist.

BST1, Klinkel, A4, 22.3.17, kinematische EL                                                                                   https://youtu.be/YpjfMKL3zXE

Weil delta C gesucht ist, Horizontalkraft dort als Last ansetzen und Mo-Fläche zeichnen. Weil nur der Untere Teil AC Monmente bekommt, verhalten sich die anderen Bauteile wie starre Körper. Mit Polplan oder Kistenregel lässt sich die EL sofort zeichnen, wobei EFGHDC den starren Körper 1 bilden. WF=0, also kann man den Punkt beliebig belasten, ohne dass in C eine Horizontalverformung auftritt, bis man die Eulersche Knicklast des Stabes AC = EI pi² / (2L)² = 1371 Kn erreicht, hier Flüchtigkeitsfehler im Video. Bei dieser Last dürfte aber der Obergurt durch Überschreiten der Festigkeit schlichtweg brechen. Im weiteren wird noch erklärt, wie man vorgeht, wenn man die kinematische EL nicht erkennt und Einskräfte in E, F uznd G ansetzt, um deren Verschiebungen über delta 10,20,30 zu berechnen.


 

3) Weggrößenverfahren

 

Baudynamik Hausübung Teil 1                                                                                                      http://youtu.be/8Nt5aGx8A4M

Woher kommt die gegebene Steifigkeitsmatrix? Wie wird diese von drei auf die zwei wesentlichen Freiheitsgrade kondensiert? Inverse 3 mal 3 Nachgiebigkeitsmatrix bilden, diese auf 2 mal 2 zusammenstreichen und wieder deren Inverse bilden ergibt die kondensierte 2mal 2 Steifigkeitsmatrix.

Stahlbau, Hausübung, Probe mit dem Weggrößenverfahren                                                                   https://youtu.be/LpBqp73bm1E

Einführen der Freiheitsgrade u1, phi2 ergibt bei Theorie erster Ordnung 2 sofort aufstellbate Gleichungen, die Die Horizontalverschiebung der Ecke sowie den Verdrehwinkel liefern. Daraus lassen sich die Schnittgrößen und Lagerkräfte zurückrechnen, was ich aber nicht durchführe, weil sie bekannt sind aus Gleichgewicht. Nun wird die Steifigkeit des linken Vertikalstabes abgemindert, und wir bekommen ohne Abtriebskraft die gleichen Ergebnisse wie nach der letzten Iteration. Da aber die weiteren Iterationen nichts bringen, stimmen die Ergebnisse überein.

Vorbereitung zur Hausübung: Drehwinkelverfahren mit zwei kinematischen Ketten                                     https://youtu.be/0jmVG8OrYX8

Beliebiges System vorgegeben mit Rechtecklast, drei Knotendrehwinkeln, vier Stabdrehwinkeln, die durch zwei Bindungsgleichungen miteinander verknüpft sind, einen Winkel 1 setzen, den nächsten Null, und die beiden verbleibenden ausrechnen gibt zwei Ketten, a und b. Jetzt Steifigkeitsmatrix aufstellen, den Lastvektor, die drei Knotendrehwinkel und die Unbekannten X4, X5 ausrechnen, und die Kette a mal X4 + die Kette b mal X5 ergibt die tatsächlichen Stabdrehwinkel Xsi1 bis Xsi4. Jetzt noch die Stabendmomente mit einfacher Formel ausrechnen, die Querkräfte aus der Steigung der M-Fläche und die Normalkräfte aus Knotengleichgewicht in x- und z-Richtung ergibt alle Quer- und Normalkräfte. Bei den Momenten drei Proben, weil M in den Punkten b, c und d stetig, und bei den Normalkräften nochmal zwei Proben, denn 6 Gleichungen hat man, und nur 4 Normalkräfte sucht man, alle Proben passen.

Hausübung                                                                                                                               https://youtu.be/7yq3cabf0KM

Ein Knotendrehwinkel, 4 Stabdrehwinkel, 2 Bindungsgleichungen ergeben wieder zwei kinematische Ketten. Steifigkeitsmatrix und Lastvektor aufstellen, ph11, X2 und X3 ausrechnen und die Ketten a mal X2 plus b mal X3 ergeben alle 4 Stabdrehwinkel. Jetzt die Momente aufstellen, daraus die Querkraftfläche ermitteln und zum Schluss durch Kräftegleichgewicht in den knoten auf die Normalkräfte schließen.

einfaches Beispiel zum Weggrößenverfahren mit Hintergründen                                                              https://youtu.be/YAX1bMljR5A

Zwei Knotendrehwinkel und drei Stabdrehwinkel, zwei Bindungsgleichungen ergibt eine kinematische Kette, xsi1=1 wählen, xsi2, xsi3 ausrechnen, und nachher alle mit dem Faktor X3 malnehmen. Steifigkeitsmatrix aufstellen, Lastvektor aufstellen, Gleichungssystem lösen, phi1, phi2 ausrechnen und Kette mit X3 malnehmen, jetzt Stabendmomente ausrechnen, aus diesen die Querkräfte bestimmen und durch Knotengleichgewicht die drei Normalkräfte bestimmen. Drei Proben, Moment in b und c ist stetig, und vier Gleichungen für drei Normalkräfte.
Das System wird aufgeteilt in ein unverformbares System mit Lasten, ein System, bei der nur Knoten a um phi1 dreht, eins, wo nur Knoten b um phi2 dreht und eine kinematische Kette, alle zusammenaddiert ergibt die Realität. Die Bedeutung der kij wird erklärt.

 

4) Theorie 2.Ordnung

Baustatik, Theorie 2.Ordnung, Spannungsnachweis                                                                             http://youtu.be/HxwdZyVEKOU

Ein Balken auf zwei Stützen ist mit einer Gleichstreckenlast und einer Normalkraft belastet, die kleiner als die Knicklast ist, aber deren Größenordnung hat. Ziel: Spannungsnachweis in Feldmitte und Verformung. 1) M8x) aufstellen 2) DGL der Biegelinie 3) homogene und partikuläre Lösung der DGL 4) Randbedingungen 5) Spannungsnachweis nach Theorie 2.Ordnung

Stahlbau, Hausübung, Probe mit dem Weggrößenverfahren                                                                   https://youtu.be/LpBqp73bm1E

Einführen der Freiheitsgrade u1, phi2 ergibt bei Theorie erster Ordnung 2 sofort aufstellbate Gleichungen, die Die Horizontalverschiebung der Ecke sowie den Verdrehwinkel liefern. Daraus lassen sich die Schnittgrößen und Lagerkräfte zurückrechnen, was ich aber nicht durchführe, weil sie bekannt sind aus Gleichgewicht. Nun wird die Steifigkeit des linken Vertikalstabes abgemindert, und wir bekommen ohne Abtriebskraft die gleichen Ergebnisse wie nach der letzten Iteration. Da aber die weiteren Iterationen nichts bringen, stimmen die Ergebnisse überein.

5) Baudynamik, kondensieren von Freiheitsgraden

Baudynamik Hausübung Teil 1                                                                                                      http://youtu.be/8Nt5aGx8A4M

Woher kommt die gegebene Steifigkeitsmatrix? Wie wird diese von drei auf die zwei wesentlichen Freiheitsgrade kondensiert? Inverse 3 mal 3 Nachgiebigkeitsmatrix bilden, diese auf 2 mal 2 zusammenstreichen und wieder deren Inverse bilden ergibt die kondensierte 2mal 2 Steifigkeitsmatrix.

Baudynamik, Hausübung, Teil2                                                                                                     http://youtu.be/XEQEh8ssKlc

Der massenbehaftete Balken wird in 3 Punktmassen zerlegt, zwei werden wieder zu einem zusammenkondensiert. Das System der DGLs wird hingeschrieben und die Eigenfrequenzen und Eigenformen bestimmt. Da es sich in Wirklichkeit um eine kontinuierliche Masse handelt, ist die Genauigkeit des Ergebnisses als dürftig abzuschätzen - sie könnte verbessert werden, indem man zumindest in der Mitte des Horizontalbalkens eine weitere Punktmasse einführt oder die DGL für massenbehaftete Balken herleitet und Randbedingungen einsetzt, das wäre die exakte Lösung. Natürlich mit entsprechendem Mehraufwand.

 

Strömungslehre

1) Hydrostatik

Strömi, Ölbarriere
Konstruktiver Unsinn: Schläuche sind aufblasbar, innen Luft, so Materialverschwendung.                             https://youtu.be/2OsAtXQRO9E
Fallunterscheidung:
1) rho Öl zwischen rho W und rho w/2, realsitisch, Öl läuft unter dem Ring durch.
2) rho Öl = rho w/2, "Trivialfall", Ölfilm hat Höhe 2r und läuft gleichzeitig über und unter der Barriere durch.
3) Leichtöl: Öl läuft über der Barriere durch.
Es sind zwei Gleichungen aufzustellen:
1) Hydrostatische Grundgleichung
2) Kontrollsystem + Summe Fy
ergibt zwei Gleichungen für die unbekannten Winkel phi1, phi2.