Medien
Viele Lösungen zu aktuellen Übungen und Altklausuren sowie zu allgemeinen Lösungswegen findet ihr in meinem YouTube-Kanal.
Viele der Videos kamen durch Anfragen von Studierenden zustande. Ist
zum Beispiel eine Hausübung oder alte Klausuraufgabe unklar, kann
ich ein Video dazu drehen, in dem alles erklärt wird.
Im
folgenden eine Übersicht von allen meinen bisherigen Videos, nach
Themengebieten sortiert. Innerhalb jeden Themengebietes sind die
Videos dann chronologisch sortiert, die neuesten Videos also immer
unten in jedem Abschnitt.
Videos können über facebook (z. B.
Gruppe dischinger-repetitorium) oder E-Mail nachgefragt werden.
Mathematik
1) Polynomdivision, Horner Schema
Mathe1,
Polynomdivision mit dem Hornerschema, Beispiel
http://youtu.be/h-TmBhsygIw
Ein Beispiel zum Hornerschema mit
zwei Hornerfaktoren ohne jede weitere Schwierigkeit.
2)
Ungleichungen:
Mathematik 1, Ungleichung
http://youtu.be/1ShdWLilJds
Der linke Teil der Ungleichung ist
einfach: x Betrag größer 1/4.
Der rechte Teil der Ungleichung
wird in drei Fälle aufgeteilt:
1) Für x größer 2 sind die
Betragszeichen weg, der Nenner positiv und wird hochmultipliziert.
Kubische Gleichung, eine Nullstelle raten, Satz von Vieta,
Hornerscheme, in drei Linearfaktoren aufspaltbar.
2) Für 0
kleiner x kleiner 2 dreht sich die Ungleichheitsrelation um, die
kubische Gleichung ändert also nur ihr Vorzeichen.
3) Für x
kleiner 0 drehen sich die Betragszeichen um, es entsteht eine neue
kubische Gleichung, Vieta und Horner.
Am Ende müssen die drei
Lösungsmengen der rechten Ungleichung vereinigt werden, das Ergebnis
dann mit der ersten Lösungsmenge geschnitten.
Mathematik1,
Ungleichung Nr.21
http://youtu.be/Pd2nxmMX8HA
Eine
verhältnismäßig einfache Ungleichung: Definitionsbereich ist ganz R,
das erste Quadrieren ist unproblematisch, da beide Seiten positiv
sind. Das nächste Quadrieren erfordert dann eine Fallunterscheidung,
für positive x ist die Ungleichung immer wahr, da negativ kleiner
als positiv. Für negatives x kann nochmal quadriert werden, x
kleiner - Wurzel 6 oder x größer - Wurzel 2 ist dann die
Lösungsmenge.
Mathematik1,Ungleichung:
http://youtu.be/P1sVMiEaCSM
Definitionsbereich klären, für x größer 0 sofort mit x malnehmen, x
größer gleich -11/8 führt auf L1: x größer Null.
Jetzt x kleiner
Null, einfach Ungleichheitsrelation umdrehen, x kleiner -11/8 ist
ebenfalls Lösung.
Mathe1,Klausur,Ungleichung:
http://youtu.be/cJXjktpHbcY
Fallunterscheidung, x größer -1,
Beträge weg, alles ausmultiplizieren, x-1 ausklammern, bleibt
positiver quadratischer Term übrig, den man kürzen kann: L1 : X
größergleich 1. Fall 2: x kleiner -1: Aufpassen, Betragszeichen
liefert - links, Multiplikation mit x+1 dreht die Relation um, Rest
analog eben, L2: x kleiner -3, L = L1 Union L2.
Ss16,
A1c
https://youtu.be/vP-4MpkHaAw
linke Seite Wurzek
ziehen, Kreis um -4 mit Radius 5, also alle Zahlen außerhalb -1 und
9, diese Punkte inbegriffen. Rechte Seite dritte binomische Formel,
dann Fallunterscheidung x+1 größer, gleich oder kleiner Null, im
ersten Fall werden die Betragszeichen weggelassen und x+1
rausgekürzt, im zweiten Fall steht auf beiden Seiten Null, also
wahr, im dritten Fall Minuszeichen bei Auflösen der Betragszeichen
und Umkehr der Ungleichrelation bei Division mit x+1. Dann
Zusammenfassen der Lösungsmengen.
3) Analytische
Geometrie, Gleichungssysteme:
Höma1 H1:
https://youtu.be/CBx814bW45A
a) zwei parallele Ebenen schneiden
sich nicht
b) die Normalenvektoren sind linear abhängig, je zwei
Ebenen schneiden sich in einer Geraden, die drei Schnittgeraden sind
aber alle parallel, also schließen die drei ebenen ein unendlich
langen, dreieckförmigen Gang ein.
Höma2, H2:
http://youtu.be/6UAbpjbniw0
3 Gleichungen mit drei Unbekannten,
Lösungsmenge ist die Leermenge. Schnitt dreier Ebenen, die
Normalenvektoren sind linear abhängig, liegen in einer Ebene, sind
also komplanar. Schneidet man nun E1 mit E2, erhält man die Gerade
G1, E2 mit E3 ergibt G2, E3 mit E1 ergibt G3. Die Geraden G1,G2,G3
sind parallel und bilden die Ecken eines unendlich langen,
dreieckigen Ganges. Man kann auch noch dessen Fläche bestimmen. Es
gibt also keinen Punkt, der zu allen drei Ebenen gleichzeitig
gehört.
Mathe2, 1.Hausaufgabe, 1.1 und 1.2:
http://youtu.be/2jf49KHXBEA
mit Gauß auf Diagonalenform bringen,
für be ungleich 3, -3 eindeutig lösbar, für be = 3 ga = 0 komme eine
Gerade raus, für andere Ga unlösbar, füt be =-3 kommt eine andere
Gerade raus, wenn ga -12 ist.
Mathe 2, 1.Hausaufgabe 1.3
http://youtu.be/mYIK8ro2vx4
Geraden gleichsetzen ergibt s=1 und
t=-2, einsetzen ergibt Schnittpunkt, dann Ebene in Parameterform
hinschreiben, G1 mit Differenzvektor als zweiten Richtungsvektor,
Kreuzprodukt bilden ergibt Normalenvektor, normieren und Gleichung
malnehmen ergibt Hesseform der gesuchten Ebene.
4)
Vollständige Induktion;
Höma1, vollständige Induktion:
http://youtu.be/QmU6bYvgJqA
Eine typische Aufgabe zur
vollständigen Induktion: Zerst mal den formalen Aufbau der Induktion
mit Induktionsanfang, Induktionsvorraussetzung und Induktionsschluss
ordentlich aufschreiben. Den Induktionsschluss umformen mit
Umkehrfolgerungen, also Vergrößern der kleineren oder Verkleinern
der größeren Seite. Zunächst die Induktionsvorraussetzung einsetzen.
Dann die Terme zu
(1+1/m)^m zusammenfassen, Term geht übrigens
gegen die Eulerzahl e. Dann Binominalkoeffizienten des
pascaldreiecks einführen und ausmultiplizieren, die ersten beiden
Terme liefern die erforderliche 2, der Rest wird weggeschätzt.
n! größer 2 hoch n-1 mal n-2 zum
Quadrat
https://youtu.be/s8VcLhDrHu4
Induktionsanfang klappt
erst für n=6, 720 größer 512, IV, IS und dann solange umformen, bis
eine wahre Aussage entsteht. Umkehrfolgerung bedeutet Verkleinern
der größeren Seite.
5)
Komplexe Zahlen:
komplexe Zahlen, Aufgabe9
https://www.youtube.com/watch?v=TkO0J-C9BQI
Zwei
Gleichungen, die linke Gleichung ist einfach, mit der quadratischen
Ergänzung ergibt sich das innere eines Kreises, Mittelpunkt x=0, y=1
Radius r=1. Der rechte Teil wird auf den Hauptnenner gebracht und
konjugiert erweitert, die Gleichung quadriert, viele Terme heben
sich raus, dann kann der Term x²+y² ausgeklammert und weggekürzt
werden, übrig bleibt x größer gleich 1/2.
6) Folgen
Mathe1, Folge mit epsilon-delta Nachweis
http://youtu.be/yWIfPTgbk_s
Zuerst wird der Grenzwert gebildet und Betrag von an-g
hingeschrieben. Term auf Hauptnenner bringen, Betragszeichen im
Zähler können hier sofort entfallen, alles in höchste Potenz
umwandeln. Im Nenner Vorzeichen in den Betragszeichen rumdrehen und
Hälfte der führenden Potenz abziehen. Dann Term großzügig noch
weiter vergrößern und Vereinfachen, ergibt N von Epsilon.
Schlusssatz nicht vergessen - und eine genaue Begründung, warum die
Betragszeichen im Nenner entfallen, bitte diese hier noch einmal gut
ansehen, ohne diese Begründung sind die Punkte weg in der Klausur.
Mathematik1,Folge,epsilon-n-Nachweis
http://youtu.be/6sybP4KM1FA
Folge, Grenzwert bestimmen durch weglassen der kleinen Terme, Betrag
von an-g bilden, auf Hauptnenner bringen, oben kürzt sich höchste
Potenz weg, oben Dreiecksungleichung, dann alles auf höchste Potenz
bringen und aufaddieren, unten Teil der höchsten Potenz abziehen,
dabei Nebenrechnung und erklären, warum die Betragsstriche weg sind,
dann zusammenfassen und nach n auflösen, Schlusssatz hinschreiben.
Mathe1,Aufgabensammlung1,Seite5,Nr3:
http://youtu.be/26AQVBEqxGs
Nullfolge: sin x wird durch sein Argument vergrößert, gilt für alle
positiven x. Danach n³ kürzen, im Nenner Hälfte der höchsten Potenz
abziehen, die übliche Nebenrechnung mit Begründung, warum Betrag
auch im Nenner entfällt, Auflösen nach n und Schlusssatz.
Mathe1,Aufgabensammlung,Seite6,Nr19
http://youtu.be/fVKawbISbS4
ln n+1 wird zu n vergrößert, der tanh ist kleiner 1 und kann leicht
weggeschätzt werden. Die Abschätzung des ln wird mit dem
Mittelwertsatz der Differentialrechnung nachgewiesen. Dann wieder im
Nenner Hälfte der höchsten Potenz abziehen, übliche Nebenrechnung
und Begründung, warum Betragsstriche im Nenner entfallen. Nach n
auflösen, Schlusssatz.
Mathe1,Aufgabensammlung1,Seite7,Nr10:
http://youtu.be/4sPYAQTMCH0
Mit ln Gesetzen einen ln mit einem
großen Bruch dahinter erzeugen, konjugiert erweitern, Bruch durch n²
kürzen, Ergebnis ln2. Zweiter Teil wird nachgereicht.
Mathe1,Aufgabensammlung,1,Seite7,Nr.10f:
http://youtu.be/4uQ7DKlm8uk
konjugiert Erweitern, durch n hoch 5/2 kürzen, Wurzel betha² = betha
Betrag, Zähler geht gegen - betha², Nenner gegen 2 mal betha
betrag+1
Mathe1, Aufgabensammlung, Seite8, Nr.14:
http://youtu.be/jhvTsYBd2Ls
rekursiv definierte Folge, als
Grenzwerte kommen 0, 1 oder 2 in frage, wegen a1=1/2 eigentlich nur
0 und 1, weil a2 kleiner a1, setzen wir auf monoton fallend und
untere Schranke Null, zeigen ersteres durch äquivalente Umformung,
für 0 kleiner an kleiner 1 wahr, und letzteres zeigen wir mit
vollständiger Induktion. Ist eine rekursiv definierte Folge eine
Nullfolge, liefert das Quotientenkriterium häufig eine sehr bequeme
Alternative, die hier zwar geht, aber kaum Arbeit einspart, da 0
kleiner an kleiner 1 auch dann noch gezeigt werden muss.
Mathe1,
Klausur, rekursiv definierte Folge:
http://youtu.be/yw5z0FtaRfY
Normale rekursiv definierte Folge, Grenzwert ist -5, beweisen, dass
an monoton fällt und dass -5 untere Schranke ist, Schlusssatz
schreiben, keine Fallen, Haken oder sonst was.
Mathe1, Klausur,
Folge mit Betha:
http://youtu.be/g8I71flOh0c
Die 2 in die erste
Wurzel reinmultiplizieren. 4 betha muss dann 1 sein, damit sich die
führenden Potenzen wegheben. Also betha = ¼. Konjugiert erweitern
ergibt den Grenzwert 8.
Mathe1,Klausur, Folge mit
epsilon-N-Nachweis
http://youtu.be/vPeTimbD3kc
Den Betrag von
an-g = an+3 auf Hauptnenner bringen, Im Nenner Hälfte der führenden
Potenz abziehen, in Nebenrechnung zeigen, warum n²/2 größer als 10
ist, Begründung, warum Betragszeichen wegfallen, hier unbedingt
erforderlich, im Zähler ist dies hier trivial. Dann weiter
vergrößern und nach n auflösen, N von Epsilon ist dann das Maximum
aus 3 und dem Ergebnis der Rechnung. Beim Schlusssatz, hier nicht
gefragt, wichtig, dass es für jedes Epsilon größer 0 gelten muss.
SS16, A2c, Folge mit Fallunterscheidung
für k
https://youtu.be/xVLPsa7SMMM
Zähler und Nenner durch
Wurzel n teilen, im Zähler bleibt Wurzel 2 übrig, für k größer
gleich 3 geht der Nenner gegen unendlich, a=0, für n=2 geht der
Nenner gegen 2, a = ½ Wurzel2, für k=1 geht der Nenner gegen Null,
die Folge divergiert.
7) Reihen:
Mathe1, Klausur, Reihe mit Sinus
http://youtu.be/Kve8qZqw24I
Für Betrag x größer 1 konvergent,
Sinus gegen 1 abschätzen, für betrag x kleiner 1 konvergent, Sinus
gegen Argument abschätzen, für x=1 konvergent nach Leibniz,
Nullfolge, Monotonie zeigen, für x = -1 heben sich Minuszeichen weg,
Reihe 1/k mit Minorantenkriterium erzeugen, divergent. Auf viele
kleine formale Kleinigkeiten achten, lim beim Wurzelkriterium, die
ganzen Betragszeichen usw., hier kann man trotz richtiger Idee
schnell alle Punkte einbüßen durch kleine Fehler beim Aufschrieb.
Mathe1, Klausur, Reihe mit x hoch 2k:
http://youtu.be/6mndzOUVD-I
Quotientenkriterium, x Betrag muss kleiner Wurzel 3 sein, +- Wurzel
3 mit dem notwendigen Kriterium nachweisen, weil dass
Quotientenkriterium hier nicht greift.
Mathe1klausur,Reihe,konjugirt erweitern:
http://youtu.be/hv5sUSRG5_c
konjugiertes Erweitern ergibt die Reihe 1/k hoch 1,5, die entweder
aus der Vorlesung als konvergent bekannt oder mit dem
Integralkriterium als konvergent nachgewiesen wird. Wie Urde das im
Übungsbetrieb gezeigt, da Integrale zum Zeitpunkt der Reihen noch
nicht behandelt waren, gibt es einen dritten Weg, die Konvergenz zu
zeigen?
Reihe mit Partialbruchzerlegung
https://youtu.be/LKX32iSMdDI
Die
Hauptschwierigkeit, den Term 4 n² + 8n +3 zu faktorisieren in
2n+1 mal 2n+3 , danach Partialbruchzerlegung, A, B durch Zuhalten
ermitteln und Summe ausschreiben, ergibt den Wert ½, wie in
der Musterlösung angegeben.
Geometrische Reihe
https://youtu.be/xZhj35O2x8Y
2 nach vorne ziehen, 3
hoch 2n ist 9 hoch n, 3 hoch 3n ist 27 hoch n. Weil die Reihe bei 1
losgeht, muss ein x vor die Reihe gezogen werden, danach erhält man
1 durch 1-x. Die Terme nachher wieder zusammenfassen.
8) Stetigkeit mit Epsilon-Delta-Nachweis
Mathematik1, Aufgabe zur Stetigkeit:
http://youtu.be/twR0KG5eXF8
Mit Grenzwert: Ist der Grenzwert einer Funktion Null, so ist auch
der Grenzwert von f Betrag Null, dann kann man ihn vergrößern und
zeigen, dass er immer noch Null ist - was ohne die Betragsstriche
nicht geht, er könnte negativ sein. Der cos wird dann gegen 1
abgeschätzt, die e-Funktion geht gegen e hoch Null = 1, der erste
Term geht gegen Null, damit ist f stetig.
Mit dem Epsilon kann
der cos auch gegen 1 abgeschätzt werden, aber die e-Funktion muss in
einem beliebig gewählten Intervall um Null, x Betrag kleiner 1 z.
B., gegen den ungünstigsten Wert abgeschätzt werden, das wäre e².
Der Exponent von x kann kleiner gemacht werden, weil der Term
dadurch größer wird, wenn x betraglich kleiner 1.
Stetigkeit der
Funktion 1/x³ an beliebiger Stelle Xo:
http://youtu.be/Q2uA3hKhROw
Hauptnenner, im Zähler X-Xo zum Betrag ausklammern und dann x
abschätzen, im Zähler nach oben, im Nenner nach unten, dazu
Intervall auswählen, zum Beispiel der Breite Xo Betrag halbe um Xo.
9) Differentialrechnung:
E-Test Ableitung von tan x:
https://www.youtube.com/watch?v=osWtdrn2ph8
tan x = sin x / cos
x wird mit der Quotientenregel (z´n-n´z)/n² abgeleitet zu 1/cos²x
oder 1+tan²x. Dann wird die Eulersche Identität der komplexen Zahlen
erklärt und die Quotientenregel nochmal angewendet, bis wieder
1/cos²x entsteht.
Mathematik1,AufgabezurDiferenzierbarkeit.
http://youtu.be/TQivQ8vKVXg
Nur der Nullpunkt ist kritisch,
linksseitiger limes ist Null wegen Päckchen packen, rechtsseitiger
auch Null, eine Runde mit L´Hospital, Form 0 durch 0. f(x) durch
f(0)=0 stetig ergänzbar, die neue Funktion ist nicht
differenzierbar: Links lim Differenzenquotient ergibt 1 über
Päckchen packen, rechts einmal L´Hospital, durch x kürzen, ergibt
1/2, damit in Null nicht differenzierbar, sonst aber im gesamten
Definitionsbereich schon als Verknüpfung differenzierbarer
Funktionen.
Mathe1,Aufgabe zur Differenzierbarkeit:
http://youtu.be/fiYoBVwUvjM
Funktion durch f(0) =0 stetig
ergänzbar, linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten ist 4,
für betha = +- Wurzel 8 ist auch links die Steigung 4. Einfaches
Übungsbeispiel zum Päckchen packen, der ln von Wurzel e + x geht
einfach gegen 1/2.
Mathe1,Klausur,Umkehrfunktion:
http://youtu.be/CkX93HBOSKg
Zuerst mal Aufgabenstellung
verbessern: da ist y = g, also entweder überall g oder überall y.
Ich stelle erst mal fest, dass y streng monoton steigt, Injektiv ist
und damit die Umkehrfunktion existiert, löse die Gleichung einfach
nach x auf, erhalte e hoch Wurzel x und leite dann ganz normal mit
Kettenregel ab. Ich zeige aber auch die Alternative: Satz über die
Differenzierbarkeit der umkehrfunktion anwenden. Dann y=1 und x=e
einsetzen.
Mittelwertsatz der
Differentialrechnung
https://youtu.be/zJNfCEBhT90
Der Mittelwertsatz wird
erst allgemein erklärt, dann der Spezialfall x1 =0, und danach auf
die Funktion Ln (1+x) angewendet.
10) Integralrechnung:
Mathe1 Steffensen,
4.Hausaufgabe, Aufgabe 4.2a:
https://www.youtube.com/watch?v=XnMQemUPFjc
Ein Integral aus
zwei sich reproduzierenden Funktionen wird zweimal mit der
partiellen Integration (=Produktintegration) behandelt, das
Ursprungsintegral entsteht dann wieder auf der rechten Seite, und
die Gleichung kann nach I aufgelöst werden. Welcher Term integriert
wird, ist frei wählbar. Beachte das Video zur partiellen
Integration. Es sind insgesamt drei Minuszeichen, eins aus der
ersten partiellen Integration, eins aus der zweiten partiellen
Integration und eins aus der Ableitung des cos 2x, also steht hinten
insgesamt - 1/4 IntegralEs sind insgesamt drei Minuszeichen, eins
aus der ersten partiellen Integration, eins aus der zweiten
partiellen Integration und eins aus der Ableitung des cos 2x, also
steht hinten insgesamt - 1/4 Integral.
Mathe1, Steffensen,
4.Hausübung, Aufgabe 4.2:
https://www.youtube.com/watch?v=EB1OMHEJ_K4
Substitution und partielle Integration: Zuerst wird der arsinh
wegsubstituiert, dann eine partielle Runde und resubstituieren.
Mathe1, 4.Hausübung, Aufgabe 4.1:
https://www.youtube.com/watch?v=DTuku7M1LPY
Partialbruchzerlegung mit Integration: Multiplizieren mit dem Nenner
ergibt ein Gleichungssystem, 4 Gleichungen für A,B,C,D, dann Lösen
der Grundintegrale.
E-Test Mathe 1 Integration:
https://www.youtube.com/watch?v=IpWVDx1UMxI
Hier werden drei
Aufgaben gelöst:
1) Integral ln²x dx
2) Integral lnx/x dx
3) Integral 1/Wurzel (-x²-4x-3)dx
Mathe1, Integral x hoch n mal
lnx dx:
http://youtu.be/zxlFKzRt0QM
Einmal partielle Integration
und fertig, alternativ mit Substitution, auch danach 1 mal partielle
Integration.
Mathe1, Integral mit partieller Integration:
http://youtu.be/Xv_60QLy2Jw
Die e-Funktionen in 1/2 sinh x
umwandeln, zwei partielle Runden in beliebiger, aber gleicher
Richtung, es entsteht wieder das Ausgangsintegral, nach dem die
Gleichung dann aufgelöst werden kann.
Mathe1,Klausur,Vater-Sohn:
http://youtu.be/h-fFBoJWJTM
sin³x = sin x (1-cos²x), es entsteht
das Integral –cos x hoch -5 + cos x hoch -3 mal – sin x, was durch
scharfes hinsehen als Vater Sohn Integral integriert werden kann,
Grenzen einsetzen, Plausibilitätskontrolle, Ergebnis muss zwischen 0
und Pi/4 liegen, da 0 kleiner f(x) kleiner 1.
Mathe1, Integral 1
durch 2 sinx cosx:
https://youtu.be/8S0Kwz_RdR8
Zähler in cos² +
sin² umformen, zwei Vater Sohn Integrale erzeugen, LN-Gesetze
anwenden, oder die vorgeschlagene Substitution vornehmen, u = tan x,
du = dx / cos²x.
Integral cosx dx durch sinx + sin³x
https://youtu.be/GeL8cXNOlz4
Substitution sin x = z führt sofort
zu einer Partialbruchzerlegung, A durch Zuhalten bestimmen, nach
links rüber und auf Hauptnenner bringen, Grundintegrale
hinschreiben, Logarithmen Gesetze anwenden und resubstituieren,
Integrationskonstante nicht vergessen.
Flächenberechnung,Integration mit Schnittpunkten:
https://youtu.be/V4bbAEftuX0
Zuerst eine Skizze mit den drei
Funktionen machen und die zu berechnende Fläche schraffieren. Dann
durch Gleichsetzung der jeweiligen Funktionen die Schnittpunkte x1,
x2 ausrechnen. Bei Gleichsetzung der Wurzel mit der Hyperbel ist
Quadrieren eine Folgerung, keine äquivalente Umformung, wodurch eine
Lösung dazukommt. Diese kann einmal an Hand der Skizze als
irreführend erkannt werden, einmal durch Einsetzen in die
ursprüngliche Gleichung, die dann wegen unterschiedlicher Vorzeichen
nicht erfüllt wird. Jetzt die beiden Integrale von 0 bis 1 und von 1
bis 2 aufschreiben, neu zusammenfassen, integrieren und Grenzen
einsetzen.
Partialbruch mit irreduziblem Polynom zum
Qaudrat
https://youtu.be/2AOXNkvoAnA
Da der Grad im Nenner
höher ist als der Grad im Zähler, kann sofort mit der
Polynomdivision begonnen werden. A durch Linearfaktor², B durch
Linearfakror, Cx+D durch Irreduzibel² + Ex+F durch Irreduzibel, A
wird durch Zuhalten bestimmt, ist ½, und links rüber gefahren,
Hauptnenner, binomische Formeln, Linearfaktor läßt sich gleich
zweimal wegkürzen, heißt B=0. Danach erste binomische Formel
anwenden, und man ist sofort mit der Partialbruchzerlegung fertig,
alternativ Koeffizientenvergleich, 4 Gleichungen, C01, D=0, F=1/2
und E=0. Der Term mit dem Irreduziblen zum Quadrat ist ein Vater
Sohn Integral wegen x² im Nenner und 2x im Zähler.
Partialbruch mit quadr. Linearfaktor plus
irreduziblen Polynom
https://youtu.be/ddtdynNrBmk
Grad im Nenner höher als
im Zähler, Nenner faktorisieren in x-1 zum Quadrat plus x²+2, A
durch Zuhalten bestimmen, links rüberbringen und auf Haupnenner,
durch x-1 kürzen, B durch Zuhalten bestimmen und Vorgang
wiederholen. Cx+D fällt einem entgegen, dann noch das Integral
lösen.
11) Volumenintegrale:
Halbkugel, Volumen und
Schwerpunkt mit Dreifachintegral:
https://youtu.be/9z4SjW4S4Og
Die
Fläche r dr dtheta legt bei Rotation um die Vertikalachse den Weh r
sin theta dphi zurück, somit erhält man Dv, Integration ergibt das
Volumen, Multiplikation mit y = r cos theta ergibt den Schwerpunkt
über Integral y dV / V. Ich kenne das als Kugelkoordinaten, nicht
Zylinderkoordinaten.
12) Stetigkeit zweidimensionaler
Funktionen
Mathematik2, Stetigkeit zweidimensionaler Funktion,
Beispiel1:
http://youtu.be/rbyvS8yLoWY
Mit einer Substitution wird
das Problem in den Nullpunkt verlegt. Dann wird gezeigt, dass Betrag
der Funktion kleiner als Wurzel aus x²+y² ist, danach kann die
Stetigkeit einfach durch den lim für x,y gegen 0,0 gezeigt werden
oder mit der Epsilon Delta Definition. Mit Polarkoordinaten ist der
Nachweis der Stetigkeit dagegen grundsätzlich nicht möglich.
Standardbeispiel einer nicht stetigen Funktion:
http://youtu.be/J1P9S_UnWp0
Die Funktion ist in jeder Richtung
stetig, d.h. man kann alle Geraden in der x,y-Ebene untersuchen, die
durch den Nullpunkt gehen, und immer ist der Grenzwert Null. Dies
scheint schlüssig die Stetigkeit nachzuweisen. Geht man jedoch auf
einer Parabel zum Ursprung, so stellt man fest, dass der Grenzwert
1/2 ist und die Funktion nicht stetig sein kann. Daraus folgt:
1)
Mit Polarkoordinaten läßt sich niemals die Stetigkeit beweisen, wohl
aber die Unstetigkeit, wenn die Grenzwerte für unterschiedliche
Winkel differieren.
2) Das in den Übungen so gerne angewendete
Folgenkriterium ist völlig überflüssig, weil der Grenzwert x gegen
Null mit y = Funktion von x das selbe Resultat schneller bringt.
Vorrechenübung 8.1, Stetigkeit:
http://youtu.be/ylc0ivkjaxg
Die
Funktion ist stetig außerhalb des Nullpunktes. Es werden dann die
Schnitte x=0, y=0 und x=y untersucht, die ersten beiden sind trivial
Null, der 45 Grad Schnitt ist schwierig und erfordert eine
Abschätzung mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung.
Dann wird mit der gleichen Abschätzung der Stetigkeitsbeweis
allgemein geführt, Epsilon - Delta.
Mathe2, Vortragsübung 8.2:
http://youtu.be/uF4n5DWpcSQ
einfach y=0 setzen, f wird zu 1 durch
x², geht bei Null gegen Unendlich, also kann f im Nullpunkt nicht
stetig ergänzbar sein.
Mathe2, Vorrechenübung 8.3:
http://youtu.be/w2fp965meag
y=0 setzen, Steigung ist 1, Funktion
ist x, dann x = 0 ergibt Null, also partiell difbar, grad f = 1,0 .
Dann Definition der Difbarkeit im Nullpunkt, y=x setzen, Grenzwert
ist nicht Null, also nicht difbar.
Mathe 2, Differenzierbarkeit:
http://youtu.be/xN9DrcDQYmQ
Eine Funktion wird auf Stetigkeit,
partielle Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit untersucht. X
hoch 10 wird im Nenner weggelassen, y hoch 8 rausgekürzt, im Zähler
bleiben x und y hoch 2 übrig, geht gegen Null, stetig,
differenzierbar ebenfalls, dabei wird noch die Wurzel aus x hoch 2 +
y hoch 2 einmal weggekürzt. grad ist 0,0 .
Garadient einer
zweidimensionalen Funktion:
https://youtu.be/euYAXr1ivTc
Einmal x
einmal y als konstant ansehen und nach der anderen Größe ableiten.
Ein Problem ist im Video noch verschwiegen - wenn ich so mit der
Ableitungsfunktion argumentiere, dann muss ich vorher die Stetigkeit
zeigen, weil die Funktion ja im Nullpunkt separat gegeben ist.
Dieses Problem entfällt, wenn man statt der Ableitungsfunktion den
Grenzwert des Differenzenquotienten bildet.
Differenzierbarkeit:
https://youtu.be/x94hs3ps63o
13) Differentialgleichungen
E-Test zum Bernoulli:
http://youtu.be/xptRBiaE5yc
Bernoulli: Als
Kochrezept ohne Herleitung DGL mit y´, y und y hoch n, Faktor 1-n
bilden, y = y hoch 1/ Faktor, rechte Seite mal Faktor, y´ wird zu
z´, y zu z, und z hoch n fällt weg. Lineare DGL in z lösen, homogene
DGL durch Trennung der Variablen, partikuläre DGL mit Variation der
Konstanten. Aufgaben 3+4 sind einfache seperable DGLs.
Mathe2,4.HÜ, A4.1:
http://youtu.be/77MAR0gO6yU
Mathe2, A4.2:
http://youtu.be/nKT6yqiKppU
Seperable DGL, Definitionsbereich
t€R, y betrag kleiner gleich 5, f stetig, Peano, Existenz, für
y0ungleich 5,-5 eindeutig, Picard-Lindelöf, lipschitz-stetig, da
partielle Ableitung nach y beschränkt, für y0 = 5 oder - 5 evtl.
mehrdeutig. Trennung der Variablen, zwei Integrale lösen,
Anfangsbedingungen einsetzen.
Mathe2,BernoulliDGL,n=0,5:
https://youtu.be/z41NoGM0dXM
Bernoulli DGL, Definitionsbereich
für x und y festlegen, Existenz nach Satz von Peano feststellen, mit
Satz von Lindelöff-Picard ergibt sich eine eindeutige Lösung bei yo
ungleich 0, für Anfangswerte yo=0 dagegen müßte man mit mehr als
einer Lösung rechnen, da die partielle Ableitung der Funktion f
(y,x) nach y nicht beschränkt ist, also nicht Lipschitzstetig.
Die Bernoulli Substitution ergibt eine lineare DGL in z, homogene
Lösung durch Trennung der Variablen, partikuläre Lösung durch
Variation der Konstanten, Aufaddieren, y = x² ergibt y als Funktion
von x, Randbedingung einsetzen ergibt die Integrationskonstante.
Lineare DGL mit Trennung der Variablen:
https://youtu.be/F3L9bya-m0w
Definitionsbereich festlegen, y,t Element R ohne Einschränkung. Typ
seperable DGL erkennen, Lösung durch Trennung der Variablen y und t.
Integration, bei ln Betragszeichen, Integrationskonstante c Element
R. e-Funktion auf beide Seiten loslassen, Vorzeichen der
Betragszeichen zu e hoch c schlagen und +- e hoch c als k
definieren, k ungleich Null. Dabei wurde Exponentialgesetz e hoch
(a+b) = e hoch a mal e hoch b angewendet. Nach y auflösen und
Anfangsbedingung einsetzen ergibt die Konstante k=1. Auf
Äquivalenzzeichen achten.
Eulerverfahren, explizit, implizit, an
wenig geeignetem Trivialbeispiel:
https://youtu.be/CAFyCCnLz4s
Explizit: Startwert yo,to, Steigung ausrechnen, Gerade bis t1=to+h
zeichnen, dort wieder Steigung ausrechnen. Formel also: y1 = yo +
h f (yo,to) usw.
Beim impliziten lautet die Formel: y1 = yo +
h f (y1,t1) ,
wobei t1 bekannt ist, wieder to+h, aber y1 ist
unbekannt und steht jetzt auf beiden Seiten der Gleichung.
Das
Beispiel ist schlecht gewählt: y´ = y² sin t , Anfangsbedingungen
yo=0, to=-3, Schrittweite h = 3+pi. Wegen yo = 0 ist die Steigung
immer Null, so dass alle y-Werte immer wieder Null sind, sowohl beim
expliziten als auch beim impliziten Verfahren. Auch die exakte
Lösung ist die triviale y=0 Funktion.
Lineare DGL, partikuläre
Lösung, zweifache Resonanz:
https://youtu.be/bh7vDk4tpOw
keinen
Cosinus enthält, ist auch hier der Eigenwert Null, somit doppelte
Resonant. Ansatz in Form es Störglieds, also ao + a1 t + a2 t², und
wegen doppelter Resonanz alles mit t² malnehmen, einsetzen in die
DGL und Koeffizientenvergleich.
Mathe2, Aufgabe3, System
von DGLs, zu Fuß entkoppelt:
https://youtu.be/D-uWBS5HWiw
Erste
Gleichung nach y2 auflösen, ableiten, beides in Gl. 2 einsetzen
ergibt eine Gleichung in y1, alles auf eine Seite bringen,
charakteristische Gleichung aufstellen, prüfen mit
Invariantentheorie auf Rechenfehler, dann Lösung hinschreiben. Y1
ableiten, und alles in die oberste Gleichung einsetzen, die sofort
y2 liefert. Das Lösen der charakteristischen Gleichung erfolgt mit
der p-q-Formel.
Mathe2, Aufgabe4, DGL System mit
Eigenvektrmethode:
https://youtu.be/M9djp7fBDbc
Störfunktion
weglassen, Ansatz Y = Vektor A mal e hoch Lambda t, ergibt det (A -
Lambda E) = 0,wobei E = I = Einheits- oder Identitätsmatrix. Die
charakteristaische Gleichung läßt sich verallgemeinern zu lambda² -
Spur A * Lambda + det A = 0 und liefert hier die Eigenwerte 0 und 4.
Setzt man diese in (A - Lambda E ) y = 0 ein, entstehen zwei linear
abhängige Gleichungen, eine wegstreichen, ein y wählen, das andere
ausrechnen, und an hat die Eigenvektoren und damit die homogene
Lösung. Partikuläre Lösung mit Ansatz in Form des Störglieds und
Koeffizientenvergleich, wegen einfacher Resonanz muss hier noch t²
mit angesetzt werden. Das Gleichungssystem, 6 Gleichungen für
a0,a1,a2,b0.b1,b2 lässt sich in zwei Gleichungen für a1, b1
umformen, a2, b2 bekommt man dann sofort, a0, b0 sind uninteressant,
da schon in der homogenen Lösung enthalten.
Invariantentheorie bei System aus 3 DGLs mit reellen Eigenwerten https://youtu.be/6_lRc8U0B1w
Aus der Matrix A werden die 3 Invarianten bestimmt, I = Spur A, II = Summe der Unterdeterminenten, III = Determinante von A, damit lautet die Eigenwertgleichung: La³ - I La² + II La – III = 0, faktorisieren mit Hilfe des Horner Schemas und Eigenwerte bestimmen. Die transformierte Matrix mit den 3 Lambdas auf der Hauptdiagonalen hat dieselben Invarianten wie die Matrix A, so können die Lamdas kontrolliert werden. Jetzt werden die 3 Eigenwerte gebildet und die Lösung des Differentialgleichungssystems hingeschrieben, mit Anfangsbedingungen könnten die Konstanten noch bestimmt werden.
Physik
1)
Linsengesetze
Linsengesetze:
https://www.youtube.com/watch?v=ayl23ICKLJA
Herleitung der
beiden wichtigsten Linsengesetze, Begriffe konvex, konkav, optische
Achse, Bildgröße, Gegenstandsweite, Brennweite, chromatische
Aberration.
Optik, Linsen, Aufgabe 1:
https://www.youtube.com/watch?v=CjHpnfvUaY4
Einfache Anwendung
der Linsengesetze bei einem reellen Bild, einfach Zahlenwerte in die
beiden Linsengleichungen einsetzen, eine typische * Aufgabe.
Optik, Linsen, Aufgabe 2:
https://www.youtube.com/watch?v=_GNXW238e54
Die Linsenmachergleichung wird ohne Herleitung aus der
Formelsammlung entnommen (Herleitung wird auf Papier verteilt). Es
wird daraus die symmetrische Bikonvexlinse und die Plankonvexlinse
abgeleitet. Dann wird erklärt, was n bedeutet, wenn die Linse in
Wasser getaucht wird. Ist die Brennweite in Luft gegeben, lässt sich
zunächst der Linsenradius r ausrechnen und dann die Brennweite in
Wasser. Die Endformel wird angegeben.
Optik, Linsen, Aufgabe
3:
https://www.youtube.com/watch?v=0Te05Pb6Dvg
Eine Linse wird
als Lupe verwendet. Wir können die beiden Linsengleichungen wie
gewohnt verwenden, müssen aber berücksichtigen, dass wir ein
virtuelles Bild bekommen und damit die Bildweite und die Bildgröße
negativ sind. B=-10 cm ist also der Schlüssel, und g=4,05 cm das
Endergebnis. Endformel g = (1+G/B)*f, und mit b=-40,5 cm kann man
die Probe in beiden Gleichungen machen.
Optik, Linsen,
Aufgabe 5:
https://www.youtube.com/watch?v=ozBBhW42d2w
Eine *
Aufgabe, reelles Bild wegen Projektionsfläche, die gleiche Endformel
wie in Aufgabe 4 liefert g=12,81 cm = (1+G/B)*f - bitte daran
denken, das Einsternaufgaben genauso viele Punkte bringen wie
Dreisternaufgaben, deswegen sollte man genügend zur Übung rechnen
und sich auch auf die Herleitung der Endformel und die
Fehlervermeidung durch Proben konzentrieren.
Optik, Linsen,
Aufgebe 7:
https://www.youtube.com/watch?v=jlBTr79jCSE
***Aufgabe:
Ein Mikroskop: Ein Gegenstand G1 unmittelbar vor dem ersten
Brennpunkt ergibt ein vergrößertes Bild B1, dass dann für die zweite
Linse der Gegenstand G2 ist. Es muss unmittelbar beim Brennpunkt der
zweiten Linse liegen, hier liegt es etwas rechts von diesem, womit
ein virtuelles Bild entsteht, B2 und b2 sind negativ, B2 = -20,9 cm
ist das Endergebnis, dann ist noch die Endformel herzuleiten. Es
werden also die üblichen Linsengesetze aufgestellt, erst b1, dann
G1=B2, dann g2=D-b1, dann b2 und zuletzt G2 berechnet.
Optik,
Linsen, Aufgabe 8:
https://www.youtube.com/watch?v=6UwqWfC3r_Q
Weil g kleiner f und das Wort Lupe dasteht, handelt es sich wieder
um ein virtuelles Bild mit b, B negativ. Das erste Linsengesetz
ergibt die Bildweite b=-12 cm, das zweite die Bildgröße des
Marienkäfers -1,6 cm.
2) Gravitation
Satellit Gravitation:
https://youtu.be/AUqBD3QCw9k
zuerst wird das Newtons
Gravitationsgesetz hingeschrieben. Da die allgemeine
Gravitationskonstante und die Erdmasse nicht gegeben sind, können
sie durch Betrachtung einer Masse auf der Erdoberfläche durch g und
re ersetzt werden, mg = Newtonsche Gravitationskraft - Fliehkraft,
Fliehkraft M Omega Erde ² re kann vernachlässigt werden.
Gleichsetzen von Fliehkraft und Gravitationskraft beim Satelliten
ergibt v, mit dem Kreisumfang 2 pi r ergibt sich die Umlaufzeit in
Sekunden, die in Stunden und Minuten umzurechnen ist. Die
Potentielle Energie wird durch Integration hergeleitet, kin. Energie
und pot Energie weren bestimmt und addiert. Bei E kin ist zu
berücksichtigen, dass der Sattelit am Anfang durch die Erddrehung
schon eine Anfangsgeschwindigkeit vo hatte, vo = re mal Omega Erde.
3) Gastheorie
Ballonaufgabe Helium:
https://youtu.be/Mwy95ex7GoE
Prinzip des
Archimedes: Auftrieb ist das Gewicht der verdrängten Luftmasse. mg
und das Gewicht des Heliums wirken nach unten, die Auftriebskraft
nach oben, gleichsetzen, g kürzen und nach dem Volumen auflösen. Mit
V = 4/3 pi r³ ergibt sich der Radius und damit der Durchmesser.
Volumen in Kubikmeter mal 1000 ist Volumen in Liter, und durch 700
teilen, wenn man flüssiges statt gasförmiges Helium benutzen will.
Wasserstoff ist leichter als Helium und würde funktionieren, ist
allerdings feuergefährlich und zu Recht verboten. Steigt der Ballon,
wird die Dichte von Luft kleiner, unser Ballon könnte also nur
direkt über dem Boden schweben.
Geschwindigkeit und
kin Energie Helium Normbed.:
https://youtu.be/oZsy5a_prVg
Gaskonstante R durch molare Masse He = 4,003 ergibt spezifische
Gaskonstante von Helium, 2077 J/ Kg K, womit sich aus rho = P / R T
die Heliumdichte rho = 0,17859 kg/m³ ergibt, unter Normbedingungen,
also 0°C = 273,15 K und einem Druck p=101325 Pa. Ein Liter hat somit
die Masse m178,59 / 10^6 kg.
Mit der mittleren Geschwindigkeit V
= Wurzel (8000 T RHe/pi) = 1212 m/s ergibt sich die kinetische
Energie 1/2 m v² = 129,1 J. Die Formel 1/2 m v² gilt bei Edelgasen,
weil sie nur in einzelnen Atomen vorkommen, bei Molekülen geht 40%
der Energie in Rotation der Teilchen.
Geschwindigkeit, Ekin,
1Liter Helium:
https://youtu.be/KGq2bakOM0k
https://youtu.be/QjD-PrsecA8
1 Liter Helium unter
Normbedingungen: Druck p=101325 N/m², T = 0°C= 273,15 K. Es wird ein
Würfel der Kantenlänge a betrachtet, vereinfachende Annahme: 1/3 der
Gasmasse fliegt jeweils in x, y und z Richtung zwischen den Wänden
hin und her und überträgt den Impuls 2 m v gegen die Wand, da
angehalten und in Gegenrichtung wieder beschleunigt wird. Damit
liefert der Impulssatz, allgemein M v = F t (Masse Geschwindigkeit =
Kraft Zeit) hier 1/3 m 2v = p a² 2a/v, die Kraft ist also Druck mal
Wandfläche a², die Zeit, die die Masse braucht, bis sie wieder gegen
die Wand schlägt, ist 2a/v, Weg/Geschwindigkeit.
Also 1/2 m v² =
3/2 P V = Ekin, also ist die gesamte kinetische Energie sofort
bekannt, da einfach 1,5 mal Druck mal Volumen. Die atomare
Masseneinheit u=1,6605655/10^27 kg entspricht in etwa einer
Protonen- oder Neutronenmasse. Ein Heliumatom wiegt 4,003 u, weil es
2 Protonen und 2 Neutronen enthält. Damit hat ein Atom die Masse
mm=6,6472/10^27 kg. Damit ergibt sich die Dichte ro= p mm/ k T =
0,178594 kg/m³ und damit ist die Gesamtmasse m=1,78594 /10°4 kg. Mit
der Ausgangsgleichung:
1/2 m v² = 3/2 P V ergibt sich v= Wurzel
(3 P V/m) = 1304,6 m/s. Wenn man weiß, dass ein mol eines beliebigen
Gases unter Normbedingungen 22,4 Liter Volumen einnimmt und Na =
6,022 *10^23 Teilchen hat, kann man m auch als mm NA/22,4 berechnen,
Na ist die Zahl des Avogadro: "Gleiche Volumina verschiedener Gase
enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche
Anzahl Teilchen"
Mechanik 1
1) Graphische Statik
Mechanik1,
Seileck, Resultierende und Abstand:
https://youtu.be/DN1u5ddN5xM
Resultierende aus Rechteck bilden, Resultierende aus Dreieck bilden,
besser systematisch durchnumerieren, F1, F2 (Rechteck), F3
(Dreieck), rechts F4, Kräfte F1 bis F4 im Kräfteplan einzeichnen, so
dass sie sich nachlaufen, Resultierende im Kräfteplan einzeichnen.
Pol wählen, Seilstrahlen S1-S5 im Kräfteplan einzeichnen, Lageplan,
in A anfangen mit Seilstrahl 1, mit Wirkungslinie F1 schneiden,
weiter mit Seilstrahl 2... bis zum Seilstrahl 5, der Ort, wo die
Resultierende angreift, ist der Schnittpunkt von S1 mit S5.
Rechnerisch prüfen: Fz, Fx berechnen, Resultierende nach Pythagoras,
Winkel ga = arctan (Fz/Fx), Saumme Ma bilden, a = Ma/Fz, a = b mal
sin ga.
Viergelenkkette mit 2 Kräften:
https://youtu.be/XuZnG3KYGco
Zuerst grafische Lösung, rechten
Knoten freischneiden, mit F2 die Stabkräfte S2 und S3 bestimmen,
dann linken Knoten frischneiden, Kraft F1 und S1 bestimmen, im
Kräfteplan laufen sich die Pfeile nach, Pfeile in den Lageplan
übertragen. Dann rechnerische Lösung wo man sich zunächst Sinus und
Cosinus der entsprechenden Winkel besorgt und dann wieder den
rechten und dann den linken Knoten freischneidet. Zum Schluss noch
ein fortgeschrittenes Lösungsverfahren, das Seileck, dass die
Konstruktion in einer Skizze ermöglicht.
Kran, Zerlegung einer
Kraft in zwei Komponenten:
https://youtu.be/RURdO6Df2so
Die Lösung
erfolgt grafisch, indem G im Kräfteplan gezeichnet wird, die
Wirkungslinien von S2, S3 angetragen und die Kräfte so eingezeichnet
werden, dass sie sich nachlaufen. Übertragen der Kräfte in den
Lageplan gibt Auskunft, dass unten Druck und oben Zug ist.
Rechnerisch: Knoten freischneiden, alle Stäbe als Zug ansetzen,
Summe Fx, Fy=0 ergibt zwei Gleichungen für S2, S3.
Brücke mit 6
Vertikalkräften:
https://youtu.be/PXgqfWzgKFo
Die Brücke ist
symmetrisch, die Pylonkräfte sind also gleich, Summe der
Vertikalkräfte ergibt jeweils 3F. Jetzt eine Systemhälfte
freischneiden, Summe MD ergibt den horizontalen Seilzug H = 2F =400
kN. Summe der Momente für die drei schrägen Seilabschnitte ergeben
die Höhen h1=6m, h2=4m, h3=2m und der arctan liefert die zugehörigen
Winkel.
Grafisch erfolgt die Lösung mit dem Seileck, wobei die
Kraft F sechsmal untereinander gezeichnet wird, 2F rechts davon
genau in der Mitte wählt man den Pol, und braucht nur noch die
Seilstrahlen im Kräfteplan einzuzeichnen und in den Lageplan zu
übertragen. Jedes Dreieck im Kräfteplan entspricht den drei sich
nachlaufenden Kräften am jeweiligen Knoten.
Resultierende von 6
Kräften graphisch:
https://youtu.be/ZLWtzP9FSBg
Die Kräfte werden
in den Lageplan so übertragen, dass sie sich nachlaufen. Dann wird
die Resultierende R12 im Kräfteplan konstruiert, vom Anfangspunkt F1
bis zum Endpunkt F2, genauso R123, R1-4, R1-5, R1-6=Rges.
Im
Lageplan wird R12 im Schnittpunkt der Wirkungslinien F1, F2
angetragen. Schneiden mit der Wirkungslinie von F3, dort R123
antragen usw.
Oder die "Profilösung" mit Seileck: Auch hier im
Kräfteplan alle Kräfte nachlaufend einzeichnen, Pol an beliebiger
Stelle wählen und mit allen anderen Punkten verbinden, ergibt
Seilstrahlen 1 bis 7. Jetzt im Lageplan Seilstrahl 1 irgendwo
einzeichnen, mit F1 schneiden, dort Seilstrahl 2 antragen und mit
Wirkungslinie F2 schneiden usw. die Resultierende greift im
Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahles an.
Schiff mit
zwei Schleppern:
https://youtu.be/-ZZsDj_2qDA
Man kann die
Aufgaben graphisch oder rechnerisch lösen. Graphisch ist a) ein
Dreieck mit zwei Seiten und einem Winkel, zeichne F2 im Winkel a2
und schlage einen Kreis mit dem Radius F1, der die Wirkungslinie der
Resultierenden schneidet.
Rechnerisch: Summe Fx ergibt F1 Sin al1
= F2 sin al2, nach al1 auflösen, Rechner auf Degree, Summe Fy ergibt
Fr = F1 cos al1 + F2 cos al2, nach Fr auflösen.
In b) Fr
zeichnen, 30° Winkel, Kreis mit dem Radius F2 schlagen und den
Schnittpunkt mit dem kleineren Winkel wählen. Rechnerisch beide
Gleichungen quadrieren und aufaddieren, ergibt den Cosinussatz, man
erhält eine quadratische Gleichung für F1, die mit der p-q-Formel zu
lösen ist. Die kleinere Lösung ist maßgebend.
In c) ergibt die
Bedingung F2 soll minimal werden einen rechten Winkel zwischen den
Kräften F1, F2, da das Lot die Kürzeste Strecke von einem Punkt zu
einer Geraden ist. Winkelsumme im Dreieck ist 180°, also al2=60°, F1
= Fr cos 30°, F2 = Fr sin 30°.
Scheibe mit drei Stäben und zwei
Kräften:
https://youtu.be/Z3wTQpILqLc
Rechnerisch gibt es drei
Punkte, wo die Summe der Momente jeweils nur einen unbekannten Stab
enthält. Kennt man jedoch den schrägen Stab, kann man auch mit Summe
Fx, Fy=0 die restlichen Stabkräfte bestimmen.
System mit vielen
schrägen Kräften und 3 Stäben:
https://youtu.be/KVOeNRRraPw
Einige
Kraftgruppen werden vorteilhaft zu Resultierenden zusammengefasst.
Dann wird das Gesamtsystem freigeschnitten und die drei Stäbe als
Zugkräfte angesetzt. Die Summe der Momente um einen Bezugspunkt wird
allgemein erklärt, ebenso verschiedene Winkelbeziehungen. Dann wird
die Summe der Momente um A, den Schnittpunkt S1, S2 gebildet und
nach S3 aufgelöst. Mit der Summe der Kräfte horizontal und vertikal
ergeben sich S2 und S3. Graphisch werden die Kräfte zu einer
Resultierenden zusammengefasst, die im Kräfteplan leicht zu
konstruieren ist, auf deren Wirkungslinie es aber ankommt, der nur
im Lageplan konstruierbar ist. Das Culmann Verfahren wird erläutert,
und das Seileck Verfahren als Alternative.
2) Kraftschraube
Kraftschraube:
https://youtu.be/wCpOoPcS_A8
An einem Quader
greifen 47 Kräfte an. Die resultierende Kraft und das resultierende
Moment werden bestimmt, das ist die Dyname. Dann wird eine Gerade
bestimmt, indem die Formel
Ortsvektor = Kraftvektor kreuz
Momentenvektor durch Betrag der Kraft zum Quadrat angewendet, wozu
als Richtungsvektor noch lambda mal der Richtung der Kraft zuaddiert
wird. Bei der Herleitung der Formel hab ich leider etwas geschlampt.
Die Geradengleichung bezieht sich auf den Punkt A, den ich als
Ursprung meines Koordinatensystems verwende. Wäre dieser
Koordinatenursprung um alinks vom Punkt A, so müsste ich noch den
Vektor zu A, z. B. (1,0,0) a, auf die Gerade aufaddieren.
Resultierendes Moment:
https://youtu.be/tufGLK1MgY0
Vektoren haben
außer den Zahlen auch eine Einheit, Ortsvektoren zum Beispiel m
(Meter), Kraftvektoren zum Beispiel N (Newton). Die Resultierende
Kraft ist F1 + F2, das resultierende Moment ist r1 x F1 + r2 x F2.
Bezüglich des Punktes P erhält man das resultierende Moment, indem
man von sämtlichen Ortsvektoren, also r1 und r2, rp abzieht und
wieder die Kreuzprodukte bildet. Weit schneller bekommt man das
gleiche Ergebnis, indem man auf M0 das Kreuzprodukt aus r0-rp mit R
aufaddiert, r0 ist der Nullvektor.
Würfel mit 3 Kräften, Resultierende und
Moment im Raum
https://youtu.be/aMM0mOYnzTo
Kraft 3 wird in
Komponenten aufgeteilt, Resultierende in den drei Richtungen
bestimmt, dann soll F3 in e3 Richtung wirken, drei Achsen um D mit
rechter Hand ist schneller als drei Kreuzprodukte, um zum
resultierenden Moment zu kommen.
3) Statische Bestimmtheit
Statische Bestimmtheit:
https://youtu.be/xocyh_5aqd8
Es wird das
allgemeine Abzählkriterium und ein dem System angemessenes
Abzählkriterium vorgeführt, die notwendige Bedingung für statische
Bestimmtheit ist erfüllt. Mit dem Aufbaukriterium kann auch die
hinreichende Bedingung nachgewiesen werden, sofern die beiden Lager
und das Gelenk nicht auf derselben Wirkungslinie liegen, andernfalls
liegt eine Ausnahmelagerung vor, also ein unbrauchbares System, das
in einer Richtung verschieblich, in der anderen unbestimmt oder
überbestimmt wäre.
Fachwerk, statische Bestimmtheit:
https://youtu.be/dWZjkAhNG88
Das Abzählkriterium liefert 22
Gleichungen für 22 Kräfte, die notwendige Bedingung für statische
Bestimmtheit ist erfüllt. Das Aufbaukriterium sagt aus, dass im
Unterbau ein Stab zu viel ist, während oben einer fehlt, unten also
ein innerlich statisch unbestimmtes Viereck mit möglichen Zwängungen
aus Temperatur, oben setzt sich die Konstruktion einfach in Bewegung
bei der geringsten Horizontalkraft.
4) Gleichgewicht, Lager-
und Gelenkkräfte
Mechanik1, Gerberträger, Freikörperbild:
https://youtu.be/irwsN_1qekg
Abzählen ergibt 6 Gleichungen für 4
Lager- und zwei Gelenkkräfte, Aufbauen: Balken auf zwei Stützen, da
drauf wieder Balken auf zwei Stützen, rechten Teil freischneiden,
Gelenkkraft und Lagerkraft C ausrechnen, Gelenkkräfte umdrehen,
linken Teil ins Gleichgewicht setzen.
Mechanik1, Freikörperbild:
https://youtu.be/NvwgdRVpeM0
Geometrie: Sin, cos al = 1 durch
Wurzel 5 bzw. 2 durch Wurzel 5, Resultierende erzeugt, Stabkraft in
Vertikal + Horizontalkraft zerlegt, Summe Kräfte in
Verschiebungsrichtung der Einspannung ergibt Stabkraft S, Summe der
Kräfte senkrecht dazu die Einspannkraft A, und Summe der Momente um
A das Einspannmoment. Die Stabkraft wird dabei in das Festlager
geschoben und dort in Komponenten zerteilt.
Mechanik1, Zwei
Walzen:
https://youtu.be/LTXhQSJj-WQ
Zwei Walzen werden
freigeschnitten, ein gedrehtes Koordinatensystem eingeführt und mit
Summe Fx=0, Summe Fy=0 die beiden Seil- sowie die beiden
Normalkräfte bestimmt.
Mechanik1, Dreigelenkbogen, zwei Kräfte,
Ah bestimmen:
https://youtu.be/U6mBKPTTwWU
Rechts nur Stabkraft, F
in Mittelpunkt verschieben und aufteilen, Summe Ma ergibt S, Summe
H, V die Lagerkräfte in A, Sucht man nur Ah, mit Summe Mp schneller.
Freikörperbild zeichnen.
Mechanik1,räumliches Gleichgewicht.
https://youtu.be/vniPZYtMSy4
System wird von oben aus betrachtet,
Schwerpunkt ausrechnen, Lasten und Stabkräfte einzeichnen, Summe M
um die drei Achsen durch das Festlager ergibt die drei Stabkräfte,
Summe F ergibt die drei Lagerkräfte.
Mechanik1, Seile am
Tetraeder:
https://youtu.be/kpYrsCmjHKI
Geometrie des Tetraeders
klären, zuerst eine Dreiecksfläche mit Pythagoras bearbeiten ergibt
Höhe des Dreiecks h1 = Wurzel3/2, dann Schnitt durch den Lotfußpunkt
legen, es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, von denen ich eins
aussuchen kann, um die Tetraederhöhe h = Wurzel aus 2/3 mal a.
Jetzt einen Schnitt um eine Stange legen, Seilkräfte als
Resultierende antragen, Summe M um Tetraederspitze ergibt R, und
dann wieder aufteilen ergibt S = 0,2722 F = F mal 1/3 mal Wurzel aus
2/3.
Mechanik, schräge Tür mit Seil
https://youtu.be/RyXGslpyn7M
Das Moment als Kreuzprodukt wird
allgemein erklärt. F mit einem Einheitsvektor multipliziert gibt den
Seilkraftvektor. Den Vaktor r vom Bezugspunkt zum Seilangriffspunkt
wähle ich zum Koordinatenursprung, verschiebe also die Kraft vorher
auf ihrer Wirkungslinie, wobei sich das Moment nicht ändert.
Ausführen des Kreuzproduktes ergibt den Vektor Ma, die x-Komponente
ist das Moment Mac, das gleich Türgewicht mal b/2 mal cos al gesetzt
wird. Es ergibt sich das Türgewicht. Läßt man nun die Tür weiter ab,
so kann man die Formel nach F auflösen und stellt fest, das bei
konstantem G die Seilkraft gegen Unendlich geht, also jedes Seil
reißt, wenn man den Winkel Alpha langsam bis auf Null verkleinert.
Mechanik1,Lagerreaktionen
https://youtu.be/xvRNP9JE8UA
rechtes Teilsystem, Resultierende bilden,
Summe MG ergibt By, Summe Fy ergibt Gy, linkes Teilsystem, Gy
umdrehen, Winkel al berechnen über arcsin, Summe Fx, Fy und Ma
bilden ergibt die Einspannreaktionen.
Kugel an zwei glatten Wänden
https://youtu.be/GiYdhthc5Uc
Kugel freischneiden, N1 wirkt von der
linken Wand nach rechts, N2 von der unteren Wand schräg nach oben
links, auf den Kugelmittelpunkt hin gerichtet.
Summe Fy = N2 cos
al - G = 0 ergibt N2 = G / cos al = 213 kN.
Summe Fx = N1 - G2
sin al = 0 ergibt N1 = N2 sin al = 51,6 kN.
Lösung auch graphisch
möglich, G nach unten zeichnen, Wirkungslinien von N1, N2 ansetzen,
drei Pfeile müssen sich nachlaufen.
Lagerkräfte in vierteiligem System
https://youtu.be/R_pWuDlrVD0
Das System wird von rechts her aufgebaut,
Balken DC hält rechtes Gelenk G2, damit B-G2 Balken auf zwei
Stützen, jetzt B fest und links Dreigelenkbogen. Das System muss in
umgekehrter Reihenfolge abgebaut werden. Linkes System, Summe MB
ergibt Av, Balken G1-A, Summe um G1 ergibt Ah, jetzt alle
Gelenkkräfte in G1 und links von B mit Kräftegleichgewicht. BAlken
B-G2, Freikörperbilder zeichnen, Bv bestimmen, und zuletzt den
rechten Teil freischneiden, Summe Md ergibt Ch, Kräftegleichgewicht
Dv, Dh.
Lagerkräfte,zweiteiliges System mit F und
M
https://youtu.be/O8kFvyaRk6g
Das linke Teil freischneiden, Summe MB
ergibt A, Summe der Horizontal- und Vertikalkräfte ergibt
Gelenkkräfte links von B. Das rechte Teil ist dann sehr einfach. Die
Schwierigkeit besteht darin, A in zwei Komponenten zu zerlegen, A /
Wurzel 2, die dann den Hebel 7m bzw. 3m haben.
Räumlicher Quader mit 6 Stäben und zwei
Kräften
https://youtu.be/0rNZYkcgtw4
Der Schnittpunkt A,B,C entspricht einem
Festlager. Summe der Momente um die 1,2 und 3-Achse um dieses Lager
ergibt die Kräfte D,E und F. Summe der Kräfte ergibt die Kräfte A, B
und C.
Räumlicher Quader,6 Stäbe, 3 Kräfte
https://youtu.be/I53PL_KWHFg
Summe der Momente um die drei Achsen
ergibt die Kräfte in B und C. Kräftegleichgewicht ergibt die Kräfte
in A. Am Ende ein Freikörperbild zeichnen und nochmal auf
Gleichgewicht prüften. Summe der Momente um eine Achse: Daumen zeigt
in Achsrichtung, Finger geben die Drehrichtung an, Moment ist also
Kraft mal Hebel. Das geht schneller als mit M = r x F, womit aber
das Momentengleichgewicht um A auch gebildet werden könnte.
Lagerkräfte in dreiteiligem System
https://youtu.be/Gb492xMwoaE
Im linken Teil heben sich die
Resultierende der Rechtecklast und A gegenseitig auf, A = R. Im
rechten Teil wird die Resultierende der Dreieckslast als 1/2
Grundseite mal Höhe gebildet, die im Drittelspunkt angreift. Summe
der Momente und Kräftegleichgewicht ergibt Dv und die Gelenkkraft.
Im mittleren Träger: Summe Mc ergibt Bv, Kräftegleichgewicht ergibt
Cv. Die Gelenkkraft rechts wirkt auf den Balken ganz rechts nach
oben, auf den mittleren Balken also nach unten.
räumlicher abgewinkelter Balken, 3 Stäbe,
Kragarm
https://youtu.be/kgi2DNBC-rA
Wir betrachten den abgewinkelten Balken,
das Gelenk ist das "Festlager", Summe der Momente um die drei Achsen
liefert die drei Stabkräfte. Aus dem Kräftegleichgewicht folgen die
drei Gelenkkräfte. Jetzt haben wir einen Kragarm, der nur durch drei
Gelenkkräfte belastet wird, Kräftegleichgewicht und Summe M um die
drei Achsen durch A ergibt die Einspannreaktionen.
Sinus und Cosinussatz als
Kräftegleichgewicht
https://youtu.be/Ipdmoet13vU
Es wird Summe Fx und Summe Fy
aufgeschreiben, dazu werden die Kräfte S1, S3 in Vertikal- und
Horizontalrichtung aufgeteilt, die Gegenkathete ist jeweils der
Sinus, die Ankathete der Cosinus. Die Terme mit S1 werden nun auf
der linken Seite der Gleichung stehen gelassen, alle anderen Terme
rechts rübergebracht, die Gleichungen quadriert und aufaddiert.
Unter Ausnutzun der zweiten binomischen Formel und zweifacher
Ausnutzung der Pythagorasbeziehung sin² + cos² = 1 bleibt der Winkel
be als einig Unbekannte Größe übrig und kann berechnet werden. Aus
der Summe Fy kann dann der Winkel Alpha berechnet werden. Zum
Schluss mache man eine Probe, indem die berechneten Winkel in das
Kräftegleichgewicht eingesetzt werden.
Die
Aufgabe kann auch graphisch gelöst werden, dazu zeichne man die
Kraft S2 horizontal in den Kräfteplan und schlage um die beiden
Endpunkte Kreise mit den Radien S1 und S3. Im so konstruierten
Kräftedreieck mit nachlaufenden Kräften lassen sich die gesuchten
Winkel durch nachmessen bestimmen.
Zweiteiliges System, Lager- und
Gelenkkräfte
https://youtu.be/WF63rDfZnIU
Teile getrennt freischneiden,
Resultierende der Dreieckslast im Drittelspunkt einzeichnen, Summe M
und Summe V im rechten Teil ergeben die vertikalen Kräfte in B und
G. Summe Ma im linken Teil ergibt die Horizontalkraft im Gelenk,
Summe H im rechten Teil Bh. Mit Summe V, H im linken Teil ergeben
sich die Kräfte Ah, Av. Am Ende alle Ergebnisse in ein
Freikörperbild eintragen und für beide Teile nachprüfen, ob sie
tatsächlich im Gleichgewicht sind.
Räuml.GG, abgewinkelter Balken mit
Dreieckslast
https://youtu.be/cNoNAzaI-Fs
Der abgewinkelte Balken wird betrachtet.
Das Gelenk entspricht dem Festlager. Summe M um die drei Achsen
durch das Gelenk ergibt die Kräfte A1, B3, A3. Mit dem
Kräftegleichgewicht erhält man die drei Gelenkkräfte. Diese dreht
man um, betrachtet den Kragarm und bestimmt die
Einspannungsreaktionen.
Dreiteiliges System
https://youtu.be/EKiHaxHeodQ
Gesamtsystem, Summe H ergibt Ah, Summe Mg für linkes Teil ergibt
Av, ist Null, weil sich Ah und die Lasten aufheben. Damit nur
vertikale Gelenkkraft in G. Rechtes Teil, Summe V ergibt Cv.
Gesamtsystem, Summe V ergibt Bv. Da in G nut Vertikalkraft, werden
Mitte und rechtes Teil freigeschnitten und mit Summe Mb das Moment
Mb bestimmt.
Dreiteiliges System mit
Querkraftmechanismus
https://youtu.be/goGVzdanoH4
Nicht im Video: statische Bestimmtheit, 3
Teile, Summe H=0, V=0, M=0 ergibt 9 Gleichungen für 5
Lagerreaktionen, 2 Gelenkkräfte und M, N im Querkraftmechanismus, f
= 3*3-5-2-2= 0, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit
ist erfüllt. Resultierende R1, R2 bilden, Schnitt 1, rechtes Teil
mit Dreieckslast, Summe V ergibt Bv, Schnitt 2, nur rechter Stab,
Summe Mg ergibt Bh, Summe H, V ergibt Gelenkkräfte. Jetzt Schnitt 3,
Gesamtsystem minus rechter Stab, summe F in parallel und senkrechetr
Richtung und Summe Ma. Die vertikalkräfte R2 und Gv sind beide 9 kN
und heben sich im Kräftegleichgewicht auf. Im Momentengleichgewicht
lernen wir das Kräftepaar kennen, zwei parallel entgegengesetzt
gleichgroße Kräfte, die sich gleich in ein Moment umformen lassen.
Alle anderen Kräfte, also R2, Gh = 5 kN, werden in parallel und
senkrechte Komponenten aufgeteilt. Bei Summe MA entfallen die
Komponenten, wir rechnen einfach Kraft mal Hebel.
Auflagerreaktionen an drei einfachen
Systemen
https://youtu.be/wr0VmIZ9GuQ
Die Streckenlasten werden zu
Resultierenden zusammengefasst. Bei einer Dreiecklast: R = 1/2 q L
im Drittelspunkt, bei einer Rechtecklast q L im Mittelpunkt. Die
Lagerkräfte werden in beliebiger Richtung angetragen, zum Beispiel
alle Horizontalkräfte nach rechts, alle Vertikalkräfte nach oben und
alle Einspannmomente linksrum. Sie können aber auch in beliebiger
Richtung angesetzt werden, kommen sie positiv raus, wirken sie wie
eingezeichnet, bei negativem Ergebnis wirken sie entgegen der
Pfeilrichtung. Es wird jeweils das Gesamtsystem freigeschnitten und
mit den Gleichgewichtsbedingungen Summe F horizontal, Summe F
vertikal und Summe der Momente um einen anzugebenden Bezugspunkt die
Lagerkräfte bzw. Momente bestimmt.
Mechanik1,Schröder,Tut7,Aug7.4d, zwei
Viertelkreisbögen
https://youtu.be/bdgluFCEu3s
Zuerst Nachweis der statischen
Bestimmtheit: Das System besteht aus drei Teilen, für jedes Summe H,
V und M=0 aufgestellt, sind 9 Gleichungen, 6 Gelenkkräfte und drei
Lagerkräfte ergeben f = 3*3-3-6=0, damit ist die notwendige
Bedingung für statische Bestimmtheit erfüllt. Da das System aus
einem Balken auf zwei Stützen und einem Dreigelenkbogen besteht, ist
auch die hinreichende Bedingung erfüllt. Gesamtsystem, Summe MA, V
und H =0 ergeben die Lagerkräfte. Im oberen Gelenk wird nur eine
Horizontalkraft übertragen, Summe M G1 für den linken Kreisbogen
ergibt H = P/2 = 0,5 kN. Diese kann über Summe H sofort auf alle
anderen Teilsysteme übertragen werden. Mit Summe V für den rechten
und linken Viertelkreisbogen ergeben sich die vertikalen
Gelenkkräfte in G1, G2 als P = 1kN. Es ist aber auch richtig, das
Lager nicht an den Horizontalstab, sondern an den Viertelkreisbogen
anzuschließen, dann überträgt der Stab nur noch die Horizontalkraft
H = P/2 = 0,5 kN (Zug), d.h. wir bekommen dann andere Gelenkkräfte
in G1 G2 raus, Vertikalkraft ist dann jeweils Null. Beides ist
richtig. Wie sieht man, dass in G3 keine Vertikalkraft wirkt?
Entweder, weil symmetrische Systeme mit symmetrischer Belastung auf
der Symmetrieachse grundsätzlich keine Lagerkräfte übertragen
können. Oder über Summe V für einen Kreisbogen, bei dem sich
Lagerkraft und Last genau aufheben und somit in G3 keine
Vertikalkraft übertragen werden kann.
Kippnachweis 3 reibungsfreie Körper
https://youtu.be/l5rhFwRftv8
Masse m2 freischneiden ergibt die
Seilkraft, Walze freischneiden, Summe F vertikal ergibt Normalkraft
N rechts, Summe F horizontal ergibt N links im Punkt E. Gedrehtes
Achsensystem einführen, Trapezscheibe freischneiden, Summe Fx ergibt
Masse M, Summe Fy ergibt Normalkraft N, Summe MP ergibt den Abstand
vom Eckpunkt P zum Angriffspunkt x. Setzt man x gleich der Breite
der Aufstandsfläche, so kann die Gleichung nach r aufgelöst werden.
Gewicht an zwei Stäben
https://youtu.be/yu76vHq2LD4
Mg=9,81 kN ausrechnen, Knoten
freischneiden, Summe Fx=0 und Summe Fz=0 aufstellen, sin
30°=1/2. Cos 30° = Wurzel3 / 2 einsetzen, Gleichungssystem
auflösen ergibt S2 = mg und S1 = - Wurzel 3 mg = - 16,99 kN. Da die
Kräfte als Zug angesetzt werden, sind alle positiven Kräfte
automatisch Zugkräfte. Alternative graphische Lösung, Kräfteplan so
zeichnen, dass sich die Kräfte nachlaufen, und in den Lageplan
übertragen. Kräfte, die vom Knoten wegzeigen, sind dann Zugkräfte.
Rahmen ohne Anfang
https://youtu.be/xSWvgDzaAcc
Gesamtsystem
freischneiden und Av, Hh und B ausrechnen ist verhältnismäßig
einfach, aber dann gibt es keinen einfachen Weg, die nächste Kraft
zu bestimmen. Ich schneide den Balken unten links frei und bilde die
Summe der Momente um den Schnittpunkt der Stabachsen, oben links den
Balken, Summe Mg, und habe zwei Gleichungen für zwei Gelenkkräfte.
Die Berechnung der weiteren Kräfte ist dann wieder verhältnismäßig
einfach mit Summe H, V an allen Einzelteilen. Am Ende
Freikörperbilder zeichnen, von denen aus man dann mit dem Zeichnen
von N, Q und M beginnen kann.
Der Aufgabensteller hat die
Streckenlast mit w bezeichnet und denkt vermutlich an eine Windlast,
Windlasten wirken aber immer senkrecht zur Oberfläche, genau wie
hydrostatischer Wasserdruck. Für Wind ist also beim Balkon auf der
rechten Seite die Last falsch angesetzt.
IAM Aufgabensammlung, Breite b bestimmen
https://youtu.be/MnkyMJaQph0
Horizontalbalken, Summe um Kontaktpunkt mit Rolle ergibt
Vertikalkraft, Pendelstab links, Summe M ergibt Horizontalkraft,
Horizontalbalken, Summe F horizontal bilden, alles einsetzen und
nach b auflösen.
IAM Aufgabensammlung Balken an glatter Wand
mit Rolle
https://youtu.be/OnpLMI1dJJU
Die drei Kräfte
müssen durch einen Punkt gehen, Summe M um diesen Punkt ist dann
Null. Die horizontalen Anteile der Strecken werden gleich gesetzt,
also x cos al = a / cos al, darauf folgt x.
IAM
Aufgabensammlung RD A12 T01 Drei Kugeln im Becher
https://youtu.be/emo6NGv109c
Die Winkel der
Normalkräfte können leicht bestimmt werden, wenn man die
Horizontalabschnitte L-r1-r2 und L – r2- r3 als Gegenkatheten zweier
Dreiecke auffasst und durch die Hypotenusen r1+r2, r2+r3 dividiert,
der arcsin liefert dann die Winkel. Wenn man nun die Kräfte einfach
hintereinander zeichnet, erhält man A = m3g tan phi2 und C = (m2+m3)
g tan phi1, die Vertikalkraft D = (m1+m2+m3) g war von vornherein
klar.
IAM Aufgabensammlung M1_SG_A257_T12_V001 Walze
auf Balken mit Seilen
https://youtu.be/r-spf_kh9B4
Winkel der
Seile bestimmen, bei h zuerst r abziehen, dann erst den arctan
bilden, Walze Summe F, Balken Summe M ums Lager gibt zwei
Gleichungen für S und Kontaktkraft.
5) Schwerpunkt
Halbkugel, Volumen und Schwerpunkt mit
Dreifachintegral
https://youtu.be/9z4SjW4S4Og
Die Fläche r dr dtheta legt bei Rotation
um die Vertikalachse den Weh r sin theta dphi zurück, somit erhält
man Dv, Integration ergibt das Volumen, Multiplikation mit y = r cos
theta ergibt den Schwerpunkt über Integral y dV / V. Ich kenne das
als Kugelkoordinaten, nicht Zylinderkoordinaten.
Mechanik1, Klausur, Markert, A4
http://youtu.be/KTPGqFuZGEg
Die beiden Rechtecke heben sich raus, man
braucht nur das Dreieck im 2. Quadranten mit der jeweiligen Fläche
im 4.Quadranten zu beachten. Schwerpunkte miteinander verbinden und
näher an dem Schwerpunkt der größeren Fläche liegt der
Gesamtschwerpunkt dieser beiden Flächen. Q = Quadrant
A = 4Q. B = 4Q, C = Nullpunkt, D
= 2.Q, E = 2Q, F = 4 Q. Im Fall A wird der Rechenweg gezeigt.
Mechanik1, Klausur, Markert, A7
http://youtu.be/GMqXvnF-FHA
Die Kurve y2 von x ist gegeben, y1 ist
die Gerade unten. Die Fläche wird in infinitesimale, also unendlich
kleine, Rechtecke der Fläche y2-y1 mal dx aufgeteilt und die
Integrale x dA und y dA berechnet, Ergebnisse sind 1/12 a² h für das
Integral x dA und 1/10 a h² für das Integral y dA. Bei letzterem ist
der Schwerpunkt von dA in y Richtung y1+y2 durch 2.
Schwerpunkt Rechteck minus Virtelkreis und Dreieck https://youtu.be/Isl8l9uN9sg
Aufteilen in großes Rechteck und
negatives Dreieck sowie negativen Virtelkreis, Einzelflächen und
-Schwerpunkte bestimmen, Gesamtfläche und Gesamtschwerpunkt
bestimmen über Summe Aixi durch A. Herleitung der Formel 4 r/ 3 pi.
Schwerpunkt Rechteck, Dreieck, zwei
Löcher, Halbkreis
https://youtu.be/WpZHIvrZqr8
Aufteilen in 4 Teilflächen, zwei positive
und zwei negative, dann Tabelle machen, A1, A2, A3, A4, x1, x2, x3,
x4 zusammenstellen. Dann A = Summe Ai und xs = Summe Ai xi/A,
Ergebnis xs = 5,301 a.
Schwerpunkt, Filmrolle
https://youtu.be/UY7XU25R-Rc
Der Schwerpunkt einer Filmrolle soll
berechnet werden. Die Filmrolle wird aufgeteilt in großer Kreis
minus Innenkreis mit xs=0 und die Fehlfläche, deren Schwerpunkt mit
Integration bestimmt wird. Dann wird der Gesamtschwerpunkt
ausgerechnet.
Nun soo ein weiteres Loch so angebracht werden,
dass der Schwerpunkt wieder bei Null ist, also:
A1 x1 + A2 x2 +
A3 x3 geteilt durch A1+A2+A3 = 0, mit x1=0 ergibt sich
A3 = - A2 x2/x3, x3 ist als -2r gegeben,
A3 = pi D²/4. A3 und D
ausrechnen.
Schwerpunkt von Halbkreis und
Halbkreisbogen, mit Integration oder mit Guldin Regeln.
https://youtu.be/IMiyh5qVbmM
Zuerst wird der Schwerpunkt 4R/3pi des
Halbkreises und der Schwerpunkt des Halbkreisbogens mit direkter
Integration hergeleitet. Dann werden die beiden Guldinschen Regeln
erklärt, und unter Voraussetzung von Kugelvolumen, Halbkreisfläche
oder Kugeloberfläche und Halbkreislänge können die oben gezeigten
Formeln mit den Guldinschen Regeln bestätigt werden.
LKW Radkräfte
https://youtu.be/aSd9wN3ac_g
Schwerpunkt von Ladung und Gesamt LKW
ausrechnen, durch Summe xi mal mi / Summe mi, y analog. Brücke mit
Radkräften und Lagerkräften zeichnen, Summe M um Hinterrad ergibt
Kraft im Vorderrad, Summe V Kraft im Hinterrad, Summe Ma ergibt B,
Summe V ergibt A, beim Bremsvorhang noch Horizontalkraft F im
Schwerpunkt nach rechts mitberücksichtigen.
Mechanik1,Schwerpunkt,Parabel
https://youtu.be/9LOKhznQj0I
Parabel Y = h x²/b², aufteilen in
unendlich kleine Rechtecke, Breite dx, Höhe y, Schwerpunkt bei x und
y/2, einsetzen in die Schwerpunktsformel ergibt den Schhwerpunkt der
Oarabel. Ein alternativer Lösungsweg wird gezeigt, bei dem Streifen
der Höhe dy und der Breite x vom Rechtech b h abgezogen werden, der
Schwerpunkt bleibt der gleiche.
Schwerpunkt Blech mit 5 Löchern
https://youtu.be/EFoVaOCa_nA
Tabelle anfertigen, das ungelochte Blech
und 5 negative Flächen, Einzelschwerpunkte bestimmen, A = Summe Ai,
xs = Summe Ai xi geteit durch A,y analog. Jetzt die Flächen durch
die Längen austauschen und dieselbe Aufteilung nehmen, wobei alle
xi, yi übernommen werden können. Genau die gleiche Rechnung mit
Längen, allerdings jetzt alle Längen positiv. Ergebnisse des
Aufgabenstellers können bestätigt werden.
Mechanik1 ,Schwerpunkt, Haus mit Fenster
https://youtu.be/wD2V1TWnkI0
Das Haus wird in drei Flächen aufgeteilt,
Schwerpunkt des Fensters ist h+a, Fläche ist -4 a². Dann ys = Summe
Ai yi / Gesamtfläche = 2,5a setzen und Gleichung nach h auflösen,
ergibt h=1/8 a.
Halbkreis mit Rechteckloch
https://youtu.be/845ESg9mbSM
Fläche wird aufgeteilt in Halbkreis und
Rechteckloch mit negativer Fläche. Die Schwerpunktsformel ys = Summe
aller Ai yi / Ages wird aufgestellt und gleich b gesetzt, es
entsteht eine quadratische Gleichung in b, die sich mit der
p-q-Formel auflösen läßt. Da die größere Lösung größer als b ist,
bleibt nur b = 16 r / 9 pi übrig.
Schwerpunkt aus vier
Flächen
https://youtu.be/VV0VT0Kh3vM
Die Lösung erfolgt tabellarisch,
aufteilen in 4 Flächen, yi und zi zusammenstellen und Schwerpunkt
als Summe yi Ai / Gesamtfläche, zs analog.
Rechteckblech mit drei Löchern
https://youtu.be/gg9mgYU10c4
Eine positive Rechteckfläche, drei
negative Lochflächen, Koordinaten aus der Skizze abgreifen und in
die Schwerpunktsformel xs = Summe Ai xi / Ages einsetzen, wobei die
Gesamtfläche Ages = A1+A2+A2+A4 ist.
Schwerpunkt Halbkreis plus Dreieck minus
Viertelkreis
https://youtu.be/tjymBN-nC0A
Zuerst einen Halbkreis mit dem Radius r
zeichnen, dann ein Dreieck mit der Kathetenlänge R dazu fügen und
einen Viertelkreis mit dem Radius R wieder abziehen, wobei r = R/
Wurzel 2.
Jetzt Tabelle anfertigen, Flächen und y-Koordinaten
eintragen, Gesamtfläche und Schwerpunkt ausrechnen. Wegen Symmetrie
sind die Beträge von ys, zy gleich, da der Schwerpunkt auf der um
45° geneigten Symmetrieachse liegen muss.
Schwerpunkt mit Parabel und Halbkreis
https://youtu.be/KXKds82GSs0
Zuerst werden Fläche und Schwerpunkt der
quadratischen Parabel hergeleitet. Dann wird die Gesamtfläche in ein
Dreieck, ein Rechteck, die Parabel und die Löcher Halbkreis und
nochmal Dreieck aufgeteilt und tabellarisch die Lösung ermittelt.
Schwerpunkt einer Parabel
https://youtu.be/BWPej4zFxTM
Statt der Form Y(x) = ao + a1x + a2 x"
kann man auch die Scheitelpunktform der Parabel verwenden: Y(x) = Yo
+ k (x-xo)². Da man die Koordinaten des Scheitelpunktes xo, Yo
sofort in der Skizze sieht, braucht nur noch der Streckungsfaktor k
berechnet werden, wobei ein Punkt ausreicht, der natürlich nicht der
Scheitelpunkt sein kann. Eine Gleichung mit einer Unbekannten k
statt drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Jetzt wird die
Summenformel des Schwerpunktes in die Integralform verändert,
aus dem Summenzeichen wird das Integral, aus Ai wird dA, also xs =
Integral x dA durch Integral dA, und dA ist einfach ein unendlich
kleines Rechteck der Breite dx. Für y ist zu berücksichtigen, dass
vor dA der Schwerpunkt des Rechtecks stehen muss, hier y/2,
allgemein (y2+y1)/2, das arithmetische Mittel, hier y1 =0. Die
Schwerpunktsberechnung wird an einem Beispiel vorgeführt.
Schwerpunkt aus sieben Viertelreisen
https://youtu.be/tCJWouOuhxw
Zuerst wird die Formel für den
Schwerpunkt eines Viertelkreises 4 r / 3 pi mit Hilfe der
Integralrechnung hergeleitet, die Fläche in 7 Teilflächen zerlegt,
die alle pi ri²/4 sind und ihren Schwerpunkt bei 4 ri /3 pi haben,
wobei die Flächen für alle geraden r negativ, für alle ungeraden
positiv sind. Dann wird die übliche Schwerpunktformel angewendet.
Schwerpunkt e-Funktion und 2 Dreiecke
https://youtu.be/jvudV0q9MNQ
Flächenaufteilung: Eine e-Funktion von x
= 0 bis 2, die bis Y=0 runtergeht, ein Dreieck von x = 2 bis 14 und
ein negatives Dreieck. Bei der e-Funktion ist Fläche, x1 und y1 mit
Hilfe der Integralrechnung zu bestimmen, die Dreiecksflächen 1/2
Grundseite mal Höhe mit Schwerpunkt bei b/3 sind bekannt, Fläche 3
ist negativ, danach Ansatz der bekannten Schwerpunktsformel.
Schwerpunkt von Pizzastücken und Tellern
https://youtu.be/sH0R8PVuTKk
Zunächst wird nur das Pizzastück
betrachtet, und wegen Symmetrie nur die obere Hälfte, mit dA = r dr
dphi und x = r cos phi läßt sich der Schwerpunkt mit xs = Integral x
dA / Integral dA leicht ausintegrieren. Dann werden Teller und Pizza
zusammen betrachtet, der Schwerpunkt liegt bei m1 x1 + m2 x2 geteilt
durch m1+m2, wobei x1=0 und x2 = 2/3 R2 cos al, wenn man von der in
der Aufgabenstellung angegebenen Näherungsformel ausgeht. Wenn der
Schwerpunkt an der Tischkante ist, kippt die Pizza auf den Boden,
also wenn dx = R2 – xs ist.
6) Seilaufgaben
Mechanik1 ,Seil zwischen zwei Masten https://youtu.be/CXgLm0Uttcw
Mit Mmax ergibt sich der horizontale
Seilszug H = 500N, Summe der Vertikalkräfte für ein infinitesimales
Seilstück ergibt eine seperable Differentialgleichung, Trennung der
Variablen und Integration ergibt w´ als Funktion von x, nochmalige
Integration ergibt w. Randbedingungen ergeben die zwei
Integrationskonstanten, x = a/2 in w die Durchfahrtshöhe und x=0 in
w´ mit S = H mal Wurzel aus 1 + w´² ergibt die maximalew Seikraft.
IAM Aufgabensammlung SS A10 T02 Seil mit
zwei Rechtecklasten
https://youtu.be/MVN8YGAtRGc
Die DGL w´´=-q
/H wird zweimal integriert. Auf der linken Seite sind die Konstanten
einfach: c0 ist Null, c1 ergibt sich aus A/H, und A aus der Summe M
um B, c2 = -q1/2H. Am rechten Bereich ist es etwas schwerer, c2 =
-q2 / 2H kann sofort notiert werden, mit Summe MA=0 folgt B, mit
w´(2a) = - B/H ergibt sich c1, mit w (2a) = -h ergibt sich c0.
IAM Aufgabensammlung SS A17 T01 Seil mit
Eigengewicht
https://youtu.be/WCye9N_1Ghg
Herleitung der
Seillinie, Spiegelung der Aufgabe, horizontale Tangente und w=0
bei x=0 liefert die Integrationskonstanten, w´(L) H ergibt dann den
Betrag der Vertikalkraft, und Pythagoras liefert die Seilkraft F.
Das Lehrstuhlergebnis kann ich nicht bestätigen.
7) Fachwerke
Mechanik Leistungsnachweis Reese
https://youtu.be/jiUzK0t40HY
Fachwerk,
Nachweis der Bestimmtheit, Berechn ung aller Lager und Stabkräfte,
Länge des Stabes 7 so, dass Stabkraft Null ist.
Mechanik1, Eine Walze https://youtu.be/h2AGNEccm58
Eine Walze ist auf drei
Stäbenaufgestützt. Mit Summe M, Fy und Fx werden die drei Stabkräfte
bestimmt. Die Sonderfälle Winkel 0 und 90 Grad werden diskutiert.
Mechanik1, Stabwerk
https://youtu.be/ECFzJKgAg3E
Zwei Rollen werden weggeschnitten und
Kraft in Horizontal- und Vertikalrichtung angesetzt, Lagerkräfte
bestimmt, beide Lager freigeschnitten, Summe Fx, Fy ergibt 4
Stabkräfte, jetzt Ritterschnitt, rechtes Dreieck freigeschnitten,
Lagerkraft, 3 Stabkräfte und die Kräfte der rechten Rolle angesetzt,
zweimal Summe M, einmal Summe Fy ergibt die drei fehlenden
Stabkräfte, einmal kann die Summe M durch Summe Fx ersetzt werden.
Mechanik1, Fachwerk mit 20 Stäben
https://youtu.be/ITy2rkwQqno
1) Nullstäbe: Stab5 ist Nullstab, wegen
Wirkungslinie B Stab 16, und dann auch 17,18,19 und 20.
2)
Lagerkräfte: rechtes Teilsystem, Summe M um G ergibt Bx = By, dann
Gesamtsystem, Summe Ma ergibt Bx und By, Summe Fx, Fy ergibt Ax, Ay.
3) Freikörperbilder zeichnen, ggf. nochmal mit Gleichgewicht
kontrollieren.
4) Knotenabbauverfahren: An jedem Knoten mit
höchstens 2 unbekannten Stäben Summe Fx, Fy aufstellen ergibt alle
Stabkräfte.
Mechanik1, schweres Fachwerk, 4 Stäbe
bestimmen
https://youtu.be/VvVNJ0DGyL8
Lagerkräfte mit Summe M, Fy und Fx. Dann
Summe Fx am Knoten A ergibt S1, Summe Mg fürs rechte Teilsystem
ergibt S4, an Knoten K Summe Fy ergibt S3, Summe Fx ergibt S2.
Fachwerk, nicht abbaubar, Ritterschnitt https://youtu.be/35dMMyOq0V0
Gesamtsystem, Summe Ma ergibt By, Summe
Fy ergibt Ay. Ritterschnitt führen, mit Summe Fy folgt S5. Dann
Knotenabbauverfahren: Knoten G ergibt S8 und S6, Knoten D ergibt S7
und S4, Knoten B ergibt Bx, Gesamtsystem ergibt Ax, Knoten C ergibt
S1 und S3, Knoten E ergibt S2 und eine Probe, Knoten A, Summe Fx, Fy
sind zwei weitere Proben. Vorher Winkel klären, Sin al =1/Wurzel5,
Sin be = 3/Wurzel 13 usw.
Mechanik1, Fachwerk mit zwei Gleitlagern https://youtu.be/5LklsHUwjCI
Gesamtsystem, Summe Fx ergibt Cx, rechtes
Teilsystem, Summe MG ergibt Cy, Kräftegleichgewicht ergibt Gx,Gy.
KnotenG freischneiden, Kräftegleichgewicht, ergibt S7 und S6. Linkes
Teilsystem freischneiden, Gx, Gy umdrehen, Summe MB ergibt Ay=-4F,
Summe Fy ergibt B=8F. Knoten A freischneiden, ergibt S1= 4 Wurzel 2
F, S2=-4F
Fachwerk, Lagerkräfte und 4 Stabkräfte
berechnen
https://youtu.be/VzfljObKOJw
Gesamtsystem, Summe M, Fy ergibt
Vertikalkräfte A,B. Oberes Teilsystem, Summe MG ergibt S4, unteres
Teilsystem freischneiden, Ritterschnitt, ergibt S1, S2, S3.
Mechanik1, Fachwerk, Bestimmtheit, Lager,
zwei Stäbe
https://youtu.be/oj2KWzkxkbQ
Statische Bestimmtheit: Notwendige
Bedingung wird mit zwei verschiedenen Abzählkriterien überprüft,
hinreichende mit dem Aufbaukriterium, System ist statisch bestimmt.
Resultierende bilden, Summe Ma, Fx und Fy ergibt die Lagerkräfte,
Schnitt I und II die Stabkräfte 1 und 2, bei Schnitt zwei muss der
obere Dreigelenkbogen aber vorher abgebaut werden.
Mechanik1,statischeBestimmtheit, 4Systeme
https://youtu.be/V0y2OsN-tnk
System 1 ist statisch bestimmt und
abbaubar, 2 Abzählkriterien werden vorgestellt, und das
Aufbaukriterium. System 2 ist einfach unbestimmt, wenn beides
Festlager sind. System 3 ist ebenfalls einfach unbestimmt, wenn
beides Festlager sind. System 4 ist eine sogenannte
Ausnahmelagerung, ein unbrauchbares System, das mit den Methoden der
nichtlinearen Festigkeitslehre berechnet werden kann und riesige
Stabkräfte bewirkt. Es ist kinematisch verschieblich, und Temperatur
oder Lagersenkungen bewirken riesige Kräfte. Das Abzählkriterium
gaukelt statische Bestimmtheit vor und erweist sich wieder einmal
als nicht ausreichend. Ich gehe von 2 Festlagern aus.
Mechanik1, Fachwerk, alle Stäbe
https://youtu.be/UhWcWh3ETUs
Die statische Bestimmtheit kann mit dem Abzählkriterium
nicht nachgewiesen werden, mit s + a = 2k kann gezeigt werden, dass
die notwendige Bedingung für statische Bestimtheit erfüllt ist, man
hat 12 Gleichungen für 12 Unbekannte, das Aufbaukriterium ist dann
die hinreichnede Bedingung. Mit Gleichgewicht an den Einzelknoten
bekommt ma 4 Stäbe bequem raus, dann Lagerkräfte am Gesamtsystem,
die restlichen Stäbe ausrechnen und drei Proben bleiben übrig, die
alle erfüllt sind. Sin 45° =1/Wurzel 2 wird erklärt.
K-Fachwerk
https://youtu.be/0X9q4v6Z0Bs
Schnitte so führen, dass zwei Vertikal-
und zwei Horizontalstäbe geschnitten werden, Summe M ergibt dann
alle Stabkräfte im Obergurt und im Untergurt. Dann Knoten
freischneiden, Summe H, Differenz der Obergurtkräfte + Diagonalkraft
mal cos al = 0, mit cos al = 2/Wurzel 5 ergeben sich die
Diagonalkräfte, Summe V ergibt dann die Vertikalkräfte.
Mechanik1,Fachwerk,3Stäbe
https://youtu.be/xwbJjMNHt4o
Gesamtsystem, Summe MB, Summe V ergibt
die Lagerkräfte, B nach oben, A nach unten. BH = 0 aus Summe H.
Knoten A, B freischneiden, sin und cos von Alpha bestimmen, S1,S2
und unten S3 ausrechnen. S1 ist Zug, S2 und S3 ist Druck.
Mechanik1,Fachwerk,5Stäbe,2Kräfte
https://youtu.be/tCZnu-TNfYs
GEsamtsystem, Summe Ma, H und V ergibt
die Lagerkräfte, 5m zu 2,5 m verhalten sich wie 2/1, Dreieck
zeichnen, Ankathete 2, Gegenkathete 1, Hypothenuse nach pythagoras
ist Wurzel5, sin al = 1/Wurzel5, cos al =2/Wurzel5. Knoten A, Summe
H,V ergibt S1, S2,Knoten C; summe H, V ergibt S3, S5, Knoten B,
Summe H, ergibt S4.
Fachwerk, 4Stäbe, 45 Grad
https://youtu.be/xZfoFSjc6m0
Gesamtsystem, Summe Ma, Summe Fx, Fy
ergibt Lagerkräfte, rechtes Teil oben, Summe MG, ergibt S3 = - 2 S4,
gesamter Oberbau, Kräftesumme nach rechts unten ergibt S4 =, S3 =
-2F, Kräftegleichgewicht rechts ergibt Gelenkkräfte, linkes Teil,
Summe Mp ergibt S1=-F, Summe F ergibt S2 =+F, Freikörperbilder
zeichnen.
Fachwerk, Seil, Nullstäbe
https://youtu.be/zwHpDEmJrfs
Seil wird dreimal geschnitten und als
Kraft angetragen, Sesamtsystem, Summe Mc, Fx, Fy ergibt Lagerkräfte,
Nullstäbe erkennen, 11 und 5, Knoten freischneiden und
gesuchte Stäbe bestimmen, vorher noch sin, cos der Winkel überlegen.
Fachwerk, 8Stäbe
https://youtu.be/1keHoGU6zhQ
By = 0, dann Gesamtsystem, Summe Ma
ergibt Bx =F, Summe Fy ergibt Ay=F, Summe Fx ergibt Ax = -F.
Jetzt verschiedene Knoten freischneiden, alle Stäbe als Zugstäbe
antragen, Summe Fx, Fy ergibt jeweils 2 Stabkräfte. Zum Schluß gibt
es drei Proben, also nicht mehr benötigte Gleichungen.
Kraft mit drei räumlichen Stäben
https://youtu.be/SOgHepRiQBw
Relativ einfach: Rechnerisch, drei
Einheitsvektoren aufstellen, Summe der Kräfte ist Null, ergibt drei
Gleichungen für die 3 Stabkräfte.
Graphisch: Kennt man einen
weiteren Wert, zum Beispiel die Komponente von S1 in e2 Richtung,
genannt H2, dann bekommt man eine schöne und einfache graphische
Lösung, wo man ein Viereck im Grund- und Aufriss erhält, die Pfeile
laufen sich nach, und die Pfeilendpunkte müssen in beiden Skizzen
genau übereinander liegen, die e2-Komponenten sind also in beiden
Skizzen gleich.
Schwieriger wird es, wenn man die Lösung komplett
graphisch durchführen will, hier habe ich einen Lösungsvorschlag, da
sollte sich aber noch besseres finden lassen.
Mast mit zwei Stäben
https://youtu.be/tSBH-3DnX-8
Lagerkräfte ansetzen, Summe A1 ergibt B,
Summe A2 ergibt C Summe F1,F2 und F3 ergibt A1,A2 und A3, Stabkräfte
sind - Wurzel 2 mal B bzw. C
Fachwerk mit 20 Stäben
https://youtu.be/ngs06mdghfk
Abzählkriterium f = 2 k -a -s ergibt
Null, notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt,
Aufbaukriterium zeigt: System ist statisch bestimmt. Gesamtsystem,
Summe V ergibt Av, unteres Teil, Summe MG ergibt AH,
Kräftegelchgewicht ergibt die Gelenkkräfte in G, Summe MC für oberes
Teil ergibt Bh, Summe H ergibt Ch. Dann Knotenabbauverfahren ergibt
alle Stabkräfte.
Hochspannungsträger
https://youtu.be/thd8XYbYJNg
Die Gelenke fehlen: Es wird erklärt, dass
ein Fachwerk auch dann mit Vollgelenken und ausschließlich
Normalkräften durchgerechnet werden kann, wenn alle Knoten
biegesteif sind und Momente übertragen könnten - solange das
Fachwerk ausschließlich in den Knoten belastet wird. Drei
rechtwinklige Dreiecke werden heraus gezeichnet und sich der Sinus,
Cosinus und Tangens der drei vorkommenden Winkel berechnet. Danach
wird die Aufgabe mit dem Knotenabbauverfahren gelöst, die Knoten
nacheinander freigeschnitten und mit Summe H,V = 0 die Stabkräfte
bestimmt. Zum Schluss wird das Gesamtsystem freigeschnitten, die
Lagerreaktionen AH, AV und BH bestimmt und durch Freischnitt der
Knoten B und H und Gleichgewicht erhält man drei Proben, die die
Richtigkeit der Stabkräfte bestätigen.
Knoten 3 beim Hochspannungsträger
https://youtu.be/nfJDF8wJKpg
Sin und cos al, be werden nochmals mit
Pythagoras aufgeschrieben, auch die Stabkräfte links vom Knoten, S1,
S7, S4. Für Knoten 3 werden Summe H, V = 0 gebildet, die bekannten
Stabkräfte horizontal zu 30kN + 10 kN = 40 kN und vertikal 6kN+6kN =
12 kN zusammengefasst. Bei den unbekannten Stäben wird sin, cos al,
be eingesetzt, die Summe V mit -5 malgenommen und die Gleichungen
aufaddiert.
Zweiteiliges Fachwerk, Ritter mit 4
Stäben
https://youtu.be/5q9LwSeqXi4
Gesamtsystem, Summe H, linkes Teil, Summe
MG, Summe H, V rechtes Teil Summe MG und Summe V ergibt alle Lager-
und Gelenkkräfte, Freikörperbild der beiden Teilsysteme. Knoten K
betrachten, rechte Diagonale ist Nullstab, Summe V ergibt S3 = -
Wurzel 2 F. Ritterschnitt führen, Summe MK, V und H ergibt die
restlichen Stabkräfte. Freikörperbild vom Ritterschnitt zeichnen und
alle drei Gleichgewichtsbedingungen nochmals prüfen, evtl. um
anderen Punkt Summe M bilden. Die Stäbe 2, 3 gegen auch dann über
die Länge a Wurzel 2 durch, wenn sie durch ein Gelenk in zwei
Hälften geteilt sind.
Seilwinde mit zwei Stäben
https://youtu.be/ZE0olOzaYds
Die Seilkraft ist auch im horizontalen
Seil G, also G nach links und unten einzeichnen, S1, S2 als Zugstäbe
unter den Winkeln Alpha, Betha eintragen, Summe H und Summe V
bilden, ergibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, Auflösen nach
S1 und S2. Rechner muss auf DEG stehen. Auflösen zweier Gleichungen
wird mit Herleitung der Cramerschen Regel erklärt. Außerdem läßt
sich die Aufgabe graphisch lösen, indem man die Kraft G nach links
und unten abträgt, freie Schenkel mit den Winkeln Alpha, Betha
einzeichnet und deren Schnittpunkt bestimmt. Die 4 Pfeile müssen
sich nachlaufen. Übertragung in den Lageplan klärt, ob es sich um
Zug- oder um Druckstäbe handelt.
Fachwerk mit 4 unbekannten Stäben
https://youtu.be/svp_D49RDM0
Zuerst die Lagerkräfte prüfen,
Gesamtsystem, Summe H, V und M um beliebig gewählten Punkt muss Null
sein, passt. S1 schneiden, ein Dreieck aus drei Stäben dreht sich um
das Gelenk P1, Summe M=0 ergibt S1. Geometrie: sin45° = cos 45° =
1/Wurzel 2.
S2 schneiden, nächstes Dreieck dreht um P2 Summe M um
P2 ergibt S2, analog zu eben.
S3 schneiden, wieder dreht ein
Dreieck um P3, Stab S3 wird zerlegt in 2/Wurzel5 = cos al, 1/Wurzel
5 = sin al Anteile.
Stab 4 sehe ich nicht direkt, ich berechne
erst einen S5 mit einem weiteren Dreieck, dass sich um P5 dreht,
schneide dann das Gelenk P4 frei, Summe H=0 ergibt S6, Summe V=0
ergibt S4.
Schweres Fachwerk mit 15 Stäben
https://youtu.be/GVYmRTFmvYE
Gesamtsystem, Summe Ma, Summe V und H=0
ergeben die Auflagerkräfte, die wegen Symmetrie ohnehin klar sind.
Summe M am Schrägstab links gibt Stabkraft S4. Statische
Bestimmtheit mit Abzähl- und Aufbaukriterium wird nachgewiesen,
Geometrie mit cos al = 2/Wurzel5, Sin al = 1/ Wurzel 5 geklärt.
Linke Systemhälfte freigeschnitten, S5 aus Summe Md und Gelenkkräfte
in D werden bestimmt. Freischnitt Knoten D mit Summe H, V = 0 oder
Summe M ergibt wieder zwei Stabkräfte, Summe H, V=0 am Knoten E
ergibt die nächsten 2 Stabkräfte. Nochmal den Knoten F
freigeschnitten, ergibt S3 und eine Probe.
Zweiteiliges K-Fachwerk mit 26 Stäben
https://youtu.be/ZiW17NWtz04
Prüfen auf statische Bestimmtheit: 15
Knoten mal 2 Gleichungen, Summe H, V=0 ergibt 30 Gleichungen für 4
Lager- und 26 Stabkräfte, notwendige Bedingung erfüllt, Stäbe zu
zwei statisch bestimmten Scheiben zusammenfassen, ergibt
Dreigelenkbogen, hinreichende Bedingung ist erfüllt. Gesamtsystem,
Summe MB, linkes Teil, Summe G ergibt die Kräfte Av, Ah. Summe H,V=0
für beide Teilsysteme ergibt die Gelenkkräfte und die Kräfte in B.
Ritterschnitt im linken Teil führen, 2xSumme M und Summe V ergibt
die Stabkräfte 1,2 und 3, Summe H als Probe. Rechtes Teil, Knoten K,
Summe H = 0, S5=-S6. Jetzt Schnitt 2 führen und mit Summe V
Stabkräfte 5,6 bestimmen, dann mit Summe M und Summe H die
restlichen Kräfte. Graphische Lösung mit Culmann geht links leicht,
aber auch rechts ist die graphische Lösunk möglich, wenn man das K
geschickt schneidet und mit Culmann S4, S7 bestimmt und die
Resultierende der Vertikalstäbe in K. Krafteck für Knoten K ergibt
dann S5, S6.
Schnitte, Scheiben und Vorgehen bei
Fachwerke
https://youtu.be/-YrR91TXGDc
Fachwerke lassen sich oft in mehrere
starre Scheiben zerlegen, um die herum geschnitten wird. Zeichnet
man den Schnitt in die Aufgabenstellung ein, z. B. römisch Eins,
kann man beim Herauszeichnen des Schnittes darauf verzichten, die
nicht geschnittenen Stäbe im Inneren alle einzuzeichnen. Man
zeichnet nur die Kontur des inneren Bereiches und die Kräfte, die
wirklich geschnitten sind. Ein Schnitt ist immer eine geschlossene
Kurve, und zu jeder Gleichgewichtsaussage (Summe H, V und M) sollte
man dazu angeben, um welchen Schnitt es sich handelt. Auch ist es
sinnvoll, die Aufgabe mit Freikörperbildern abzuschließen, also die
berechneten Gelenk und Lagerkräfte an den Einzelteilen nochmal
einzuzeichnen, weil man dann Fehler sofort sieht und zum Berechnen
der Stabkräfte im Inneren gleich alle äußeren Kräfte zur Hand hat.
Hamburg,Grätsch,2.16-1
https://youtu.be/TL-MVV5Pq5A
Das Abzählkriterium liefert mit 6 Knoten
mal 2 Gleichungen minus 3 Lager- und 9 Stabkräften f=0, die
notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt,
Aufbaukriterium liefert eine aus Dreiecken bestehende statisch
bestimmte Scheibe, Fest und Gleitlager, statisch bestimmt. 5 ist
Nullstab, wegen Summe V am unteren Knoten. Knoten rechts und links
oben rauszeichnen, Summe H, V=0 ergibt 4 Stabkräfte, Ritterschnitt
einzeichnen, ergibt zwei weitere, alle Stabkräfte einzeichnen und
probe am Lager B.
Abbaubares Fachwerk mit 13 Stäben und
zwei Kräften
https://youtu.be/kLbboke9iOo
Gesamtsystem,
Summe MA=0 und Summe V=0 ergibt die Lagerkräfte A und B, Ah =0. Nun
werden die Knoten nacheinander freigeschnitten, es dürfen jeweils
nur zwei unbekannte Stäbe am Knoten angreifen, und man erhält
nacheinander alle Stabkräfte. Das Verfahren heißt
Knotenabbauverfahren. Der letzte Knoten verbleibt zur Probe, da man
dann bereits alle Stabkräfte kennt. Nachteil: Ein Stab falsch
berechnet, Probe stimmt nicht, und nach dem Fehler sind dann alle
weiteren Stäbe automatisch falsch.
Für die Stäbe in der Mitte ist
daher der Ritterschnitt eine gute Alternative, bei der nur die
Lagerkräfte und Lasten eingehen und daher keine Folgefehler
auftreten können. Man erhält immer eine Gleichung für eine
unbekannte Stabkraft, indem man die Summe M=0 um den Punkt bildet,
in dem sich die beiden anderen Stabachsen schneiden.
Mechanik 1 HÜ3 WS 16-17
https://youtu.be/pBwdwpC9qQw
Gesamtsystem,
Summe MB = 0 und Summe V ergibt die Lagerkräfte A und B, die
Horizontalkraft ist Null. Wegen der nach unten gerichteten
e3-Koordinate Vorsicht beim Eintragen der Ergebnisse, die nach unten
gerichtete Kraft A ist positiv. Schnitt I und Summe MP=0 ergibt eine
einfache Gleichung für S6, die Kraft S6 auf ihrer Wirkungslinie auf
Höhe des Bezugspunktes schieben, S sin 30° = S/2 hat den Hebel a,
die Horizontalkomponente hat keinen Hebel. Weil S1, S3 Nullstäbe
sind und S4 = -B, lässt sich der Knoten P freischneiden, Summe V=0
ergibt: S7 sin 60° + B = 0.
8) Schnittgrößen
Mechanik1, Reese, Leistungsnachweis,
2014, A2
http://youtu.be/XwMTHe-Hp4A
Zuerst werden die Auflagerkräfte
bestimmt. Dann ein Freikörperbild gezeichnet, aus dem die Kräfte in
allen Gelenken hervorgehen. Danach ist das Zeichen der N-, Q- und
M-Fläche ziemlich einfach.
Mechanik1, Reese, Schnittgrößen am
Kreisbogen
http://youtu.be/hdg6pMDaU5A
Geometrie klären, rechts zum Lager B
30°-Winkel, Summe Ma, Fx, Fy geben die 3 Lagerkräfte, einen Schnitt
führen auf der linken Seite mit phi zwischen 0° und 90°, bei Phi max
= 85,89° wird N und M maximal und Q Null, dann rechts einen Schnitt
führen unter Phi zwischen 30° und 90° und wieder N,Q,M aufstellen,
Endwerte einsetzen und N,Q,M-Flächen zeichnen.
Mechanik, Klausur, Markert, A6
http://youtu.be/aDI9lniZpqA
Aus der Querkraftfläche wird das
Momentendiagramm und aus diesem die Last hergeleitet. Die Querkraft
ist die Steigung der M-Fläche, bei Q=0 ist das Maximum, der rechte
Teil von M ist gekrümmt, daher Streckenlast, die Knicke der
Momentenfläche sind die Auflagerkräfte.
Mechanik1, Klausur, Markert, A10
http://youtu.be/B0W4H_6EMME
Stäbe als Zug einführen, Summe der
Momente um A und B für die beiden Teilsysteme bilden und die zwei
Gleichungen nach den beiden Stabkräften auflösen. Der Aufgabenteil 2
ist inkorrekt, da beim Punkt C die Querkräfte unmittelbar links und
rechts von Stab 2 unterschiedlich sind, man hätte also angeben
müssen, ob Q links oder rechts vom Stab gesucht ist. Balken links
von C betrachten, Schnittmoment ist dann S1 L - q1 L mal L/2, bei
der Querkraft führt S1 L - q1 L auf das Ergebnis 11/18 q0l, also ist
anscheinend Q links von C gesucht.
Mechanik1, geschlossener Rahmen
http://youtu.be/ZBvRV13rD5s
Wegen der Pendelstütze ist in B nur eine
Vertikalkraft, die mit Summe Ma berechnet wird, Summe Fx, Fy für das
Gesamtsystem ergibt die Lagerkraft A. Jetzt die Freikörperbilder
zeichnen, jedes Teil für sich muss im Gleichgewicht sein, eine
gestrichelte Faser einzeichnen und N, Q und M-Fläche zeichnen. Im
Bereich der Gleichstreckenlast mit der Integrationsmethode Ort und
Betrag von Mmax bestimmen.
Mechanik1,Geschlossener Rahmen 2
http://youtu.be/RwqvlFzf7uM
Zuerst das Gelenk unten links
freischneiden, danach liefert der vertikalen Gelenkbalken die
horizontalen und der horizontale Gellenkbalken die vertikalen
Kräfte. Jeweils die Gelenkkräfte umdrehen und auf die anderen Teile
einzeichnen. Zum Schluss die Kragarme mit den Einspannreaktionen.
N-, Q- und M-Flächen sind dann einfach.
Mechanik1 Schnittgrößen Dreigelenkbogen
https://youtu.be/Bi_q14xZOYM
Freischneiden,
Lagerkräfte ermitteln, Streckenlast aufteilen, N-, Q-, M-Fläche
zeichnen, Integrationsmethode für schrägen Balken ergibt
Maximalmoment
Gerberträger, Schnittgrößen
https://youtu.be/Glt1HM1LlDY
Streckenlast zu Resultierenden
zusammenfassen, linken Teil freischneiden, Gelenkkraft und A
ausrechnen, rechten Teil freischneiden, By und C ausrechnen,
Normalkraftverlauf fehlt, die -30kN von links bis zum Festlager,
dann N=0, Bx = -30kN.
Freikörperbilder zeichnen, dann Q und M als
Skizze mit Extremwerten und zum Schluss die Funktionsgleichungen mit
Probe.
Schnittgrößen, System mit trapezförmiger
Last
https://youtu.be/pfCVkRny4_8
Linker Horizontalstab und Feder
Kräftefrei, können weggestrichen werden, linker Stab,Summe Mg,
Ax=ay=A, Gesamtsystem, Summe Mb,Fx,Fy ergibt Lagerkräfte, rechtes
System freischneiden, Summe M,Fx,Fy ergibt Stabkraft und weitere
Gelenkkraft, Freikörperbilder, Flächen N, Q und M zeichnen, M im
belasteten Teil nochmal mit Integrationsmethode als
Funktionsgleichung.
Schnittgrößen, abgewinkelter Einfeldträger mit Dreiecks- und Rechtecklast sowie Einzelkraft https://youtu.be/RCtDHazYFf0
Resultierende bilden, Lagerkräfte
berechnen, Flächen N, Q und M zeichnen, Wert unter der Einzellast
sowie Maximalwert bestimmen, Funktionsgleichungen aufstellen.
Schnittgrößen, abgewinkelter Balken, Dreieck- und Rechtecklast und 3 Kräfte https://youtu.be/Inv6JvdP-m4
Resultierende R1,R2 bilden, Gesamtsystem,
Summe Mb ergibt Ah, Summe H und V ergibt Bh, Bv. Freikörperbild,
Normalkraftfläche durch Hinsehen, Querkraftfläche durch Addition
R1+Ah+R2, Momentenfläche, zunächst qualikativ, dann mit
Funktionsgleichung den zweiten Bereich genau untersuchen, Probe am
Lager B. Verschiedene Methoden, wie man zum Moment in Punkt 3,4,5
kommen kann.
Schnittgrößen, System aus 4 Teilen
https://youtu.be/N1L6z4Lg-J8
Bh ist Null, Summe Ma ergibt Bv, Summe
H,V ergibt Ah,Av. Freikörperbilder herstellen, wobei jedes Teil für
sich im Gleichgewicht sein muss. N, Q und M zeichnen. Probe:
Momentengleichgewicht an Rahmenecke. Maximalmoment mit oder ohne
Integration.
Schnittgrößen und Bemessung eines
Holzfachwerkes in C30
https://youtu.be/qAcac8M-V4M
Streckenlast insgesamt 13 kN/m,
Resultierende bilden, Summe Ma ergibt Bv, Summe V,H ergibt Av,Ah. Ah
=0, Av=Bv, Symmetrie. Knoten A freischneiden, ergibt zwei
Stabkräfte, Knoten C ergibt restliche Normalkräfte. N, Q und
M-Diagramme zeichnen.
Balken wählen, z.B. b=120mm, h=240mm,
Fläche und Widerstandsmoment ausrechnen, Spannung berechnen und
prüfen, ob sie unter 30 N/m² bleibt. Knicknachweis nach
Aufgabenstellung nicht gefordert.
Schnittgrößen: exotische
Koordinatensysteme
https://youtu.be/RJdivOSmBRY
Zerst werden wie gewohnt bei normalem
Koordinatensystem und Standardnormkästchen die Lager- und
Gelenkkräfte bestimmt, Freikörperbilder gezeichnet und die
Schnittgrößen N, Q und M gezeichnet. Dann wird für ein speziell
vorgegebenes Koordinatensystem mit x-Achse nach oben und y-Achse in
die Zeichenebene hinein das Normkästchen hergeleitet und die
Schnittgrößen unterhalb des Eckpunktes berechnet: N,M bleiben
unverändert, Q ändert das Vorzeichen. Dann wird die
Integrationsmethode für dieses Koordinatensystem hergeleitet, das
alte Schema ändert sich nicht, und Q, M als Funktionsgleichung von x
entwickelt.
Rollen, Gelenkkräfte, Schnittgrößen https://youtu.be/cZ6y1AL_xeA
Die Rollen werden weggeschnitten und die
Kräfte im Rollenmittelpunkt angesetzt, Schnitte Gesamtsystem, linkes
und rechtes Teilsystem, zwei Momentengleichungen ergibt zwei
Gleichungen für m Ax, Ay, Auflösung, mit Kräftegleichgewicht erhält
man die anderen Kräfte. N-, Q- und M-Fläche zeichnen, im Obergurt
noch Funktionsgleichungen für Q und M aufstellen und das Maximale
Feldmoment ausrechnen.
Schnittgrößen, Gerberträger mit Rechtecklast https://youtu.be/aDgFQa9twYA
Rechtes Teilsystem, Summe der Momente um
G ergibt LAgerkraft C, Kräftegleichgewicht ergibt Gelenkkräfte.
Linkes Teilsystem, Summe M und Kräftegleichgewicht ergibt die
fehlenden Lagerkräfte. Freikörperbilder von beiden Systemteilen. N,
Q und M-Flächen zeichnen, M´=Q ausnutzen, Maximalwerte,
Schnittgrößenfunktion, Probe.
Mechanik1, Schnittgrößen, Abgewinkelter Balken mit Rechtecklast https://youtu.be/YF7QlbHTtjE
Summe MA ergibt B, Kräftegleichgewicht
Ax, Az, dann N,Q und M zeichnen, mit Schnittprinzip am Ende wird
noch die Funktionsgleichung aufgestellt.
Schnittgrößen: Einfeldträger mit q und F
https://youtu.be/qESx1mM08ug
Summe M, Summe F ergibt die Lagerkräfte,
Q und M können mit Extremwerten gezeichnet werden, ohne eine
Funktionsgleichung aufzustellen. Q und M werden dann für beide
Bereiche aufgestellt, dabei wird die Integrationmethode und das
Schnittprinzip gezeigt.
Gerberträger, Dreieckslast, M- und
Q-Fläche mit Integrationsmethode oder mit Schnittprinzip
https://youtu.be/7gvLITcaZwY
als Funktion von x
aufstellen, zweimal Integrieren, A und MA als
Integrationskonstanten, Randbedingungen: Im Gelenk und im rechten
Lager ist M Null, damit Integrationskonstanten bestimmen, dann Q-
und M-Funktionen nochmal sauber hinschreiben, die q, Q und M-Flächen
untereinander zeichnen, die Gelenk- und Lagerkräfte sowie das
Einspannmoment einzeichnen, also Freikörperbilder, und mit Q8x)=0
noch Ort und Wert vom maximalen Feldmoment bestimmen. Am Ende wird
noch gezeigt, wie umständlich die Lösung mit dem Schnittprinzip doch
wäre.
Dreigelenkbogen mit Rechtecklast
https://youtu.be/qDpReq9rW4A
Streckenlast zur Resultierenden 15kN
zusammenfassen, Gesamtsystem, Summe MA und Summe V ergibt Av=Bv=7,5
kN, linkes Teilsystem, Summe MG, ergibt AH = 3,75 kN, Gesamtsystem,
Summe H, ergibt BH=3,75 kN, Freikörperbilder zeichnen, dann N-, Q-
und M-Fläche, M ist die Parabel q L²/8 wie beim Einfeldträger.
Mechanik1, Integration der
Gleichgewichtsdifferentialgleichung
https://youtu.be/cbu8JDfVqzU
Zuerst ermittele ich mit Resultierenden
und Gleichgewicht die Gelenk- und Lagerkräfte und zeichne das
Ferikörperbild und die Flächen N, Q und M. Dann erkläre ich die
Gleichgewichtsdifferentialgleichung und berechne zuerst Ort und
Betrag des maximalen Feldmoments im linken Träger, womit die Aufgabe
eigentlich zu Ende wäre.
Jetzt erläutere ich die DGL für N(x) und
integriere alle drei DGLs in allen drei Bereichen. Ich erhalte 9
Integrationskonstanten. Dann stelle ich mit den Rand- und
Übergangsbedingungen 9 Gleichungen auf, mit denen sich die 9
Integrationskonstanten berechnen lassen.
Schnittgrößen, quadratische Streckenlast
integrieren
https://youtu.be/H9ImYmw4eGo
Streckenlast wird mit Randbedingungen
links und rechts Null, in der Mitte q/4 aufgestellt, zweimal
integriert, links ist Q Null, rechts ist M Null, damit werden die
Integrationskonstanten bestimmt. Freikörperbild mit Ma und Bv
zeichnen, Q und M Diagramm unter q zeichnen.
Kreisbogen, Lager, Gelenkkräfte
https://youtu.be/3nU7TdrPQCA
horizontale und vertikale Abmessungen
eintragen, in G aufschneiden, Gelenkkräfte antragen, Summe MA, MB
ergibt 2 Gl für Gx, Gy, dann Summe F für beide Teilsysteme ergibt
Lagerkräfte, Freikörperbild zeichnen.
Seilreibung, Schnittgrößen,
Freikörperbild
https://youtu.be/-ov90_ypBRI
F ergibt sich nach dem Seilreibungsgesetz
zu mg durch e hoch mü mal Umschlingungswinkel, der ist bei zwei
Umschlingungen 4 Pi. Balken mit 4 mal F zeichnen, wobei die Kräfte
gleich im Rollenmittelpunkt angesetzt werden können. Mit Summe Fx,
Fz und Summe MA Einspannreaktionen bestimmen, N,Q und M-Flächen
zeichnen, Seilreibungsgesetz herleiten.
Mechanik1,Schnittgrößen,Integrationsmethode, Wurzelfunktion
https://youtu.be/sRMdZ3HxVeA
Die Streckenlast wird mit
Vorzeichenwechsel zur Querkraft intehriert, Integrationskonstante
sei A = Qo, Randbedingung Q am freien Ende ist Null ergibt A.
Weitere Integration ergibt den Momentenverlauf,
Integrationskonstante Ma wird mit Randbedingung - M am freien Ende
Null - bestimmt. Dann wird noch der Schwerpunkt der Wurzelfläche
bestimmt, Q und M als Funktion schön aufgeschrieben und die
Wechselwirkung des Balkens auf andere Systemteile angedeutet.
.Schnittgrößen,Dreieckslast, fünfteiliges
System
https://youtu.be/2Z-mDy0KIzA
q als Funktion von x aufstellen, zweimal
integrieren, zu Q mit Vorzeichenwechsel, Randbedingungen M an den
Enden Null, ergibt A, Querkraft- und Momentenverlauf.
Dreiecksalst zu vertikaler und horizontaler Kraft zusammenfassen,
alle Gelenk und Lagerkräfte ausrechnen, Freikörperbilder zeichnen,
N,Q und M skizzieren, positive Werte auf Seite der gestrichelten
Faser. Zusammenhang zwischen q, Q, M auch in der Skizze
beachten.
Mechanik1,Vorzeichen und Normen bei
Schnittgrößen
https://youtu.be/QBhbSEAdHnk
Koordinatensystem x, z, y wird
eingeführt, das Normkästchen erklärt, die gestrichelte Faser
erklärt. Positive Werte sind nach unten abzutragen, also auf Seiten
der gestrichelten Faser, die gleichzeitig die Laufrichtung der
lokalen x-Koordinate vorgibt. Es wird weiter erklärt, warum wir
nicht das aus der Schule vertraute x,y-Koordinatensystem verwenden.
Und ein Beispiel durchgerechnet.
Mechanik1,Schnittgrößen,Dreieckslast,
krankes Koordinatensystem
https://youtu.be/GKYzHxT5BDw
Koordinatensystem mit y nach unten, q)x)
ausdrücken, Integrationsmethode herleiten, q zweimal Integrieren,
Integrationskonstanten sind Null. Laufrichtung der Koordinate aber
von freiem Ende aus ist sinnvoll.
Schnittgrößen, Dreigelenkbogen,
Dreieckslast und EinzelkraftBaustatik
https://youtu.be/RFQDGm5-SSE
Aufteilen in Rechteck und zwei Dreiecke,
Schnitte 1+2, Gleichgewicht ergibt alle Lager- und Gelenkkräfte,
Freikörperbild, N, Q und M-Fläche. Mmax mit Integrationsmethode. Die
Integrationsmethode hätte und die Lagerkraft Av ebenfalls geliefert
mit der Randbedingung m bei L ist Null.
Schnittgrößen, 4-teiligesSystem. drei
Streckenlasten
https://youtu.be/3WrHTRGbsow
rechtes Teilsstem, Summe H, GH=0, Obere
Pendelstüze,Summe MH, B=0, Gesamtsystem Summe H, AH=0, Sterckenlast
in Rechtecke und Dreiecke zerlegen und Resultierende bestimmen,
links, Summe MH ergibt AV, Summe V ergibt Hv. Mittleres Teilsystem,
Summe Mc ergibt Gv, Summe V ergibt C. Rechtes Teilsystem, Windlast
in Horizontal- und Vertikalkraft zerlegen, Summe ME ergibt D, Summe
V ergibt E, Freikörperbilder zeichnen.
Mechanik1, Schnittgrößen, Kontaktpunkt,
reibungsfrei.
https://youtu.be/wkAo4P_Xfyc
linkes Teilsystem, im Berührpunkt
Normalkraft N ansetzen, Summe M um das Festlager ergibt N, Summe H,V
die Lagerkräfte. Rechtes Teilsystem, N ansetzen, Summe MA ergibt
Gleitlagerkraft, Summe H,V ergibt Festlagerkraft. Freikörperbilder
zeichnen.
Mechanik1, Schnittgrößen, N-förmiger
Träger
https://youtu.be/xd1UYW_TMsE
Resultierende bilden, Schnitte Linkes und
rechtes Teilsystem sowie Gesamtsystem, Ges, Summe H ergibt BH, RE:
Summe MG ergibt BV, den Rest mit Summe H, Summe V kann man im Kopf
lösen. N, Q und M-Flächen zeichnen.
Mechanik1,Schnittgrößen,4-teiliges
System,Aufbaukriterium
https://youtu.be/G7p-VSOrkkU
Aufbaukriterium: Unten Balken auf zwei
Stützen, darüber Dreigelenkbogen, links Balken auf zwei Stützen. Die
Kräfte werden in umgekehrter Reihenfolge bestimmt, wir haben also
nicht nur eine hinreichende Bedingung, sondern auch einen Plan, in
welcher Reihenfolge wir die Schnitte legen und die Kräfte bestimmen.
Freikörperbilder zeichnen, N, Q und M-Fläche, rechts oben maximales
Feldmoment bestimmen. Kontrolle am Festlager: An beiden Seiten Q und
N-Kräfte sowie die Lagerkräfte anteragen, Summe H, V muss Null sein.
Moment muss natürlich auf beiden Seiten übereinstimmen. Gestrichelte
Faser wurde innen gewählt.
Mechanik1,Dreigelenkbogen,Schnittgrößen
https://youtu.be/Jf0OybVUQ64
Bv, Bh in beliebiger Richtung antragen,
Kräftegleichgewicht, Gelenkkräfte sind gleich Kräfte in Festlager B,
Summe Mg für rechtes Teil, Summe Ma für linkes Teil, 2 Gleichungen
für Bv, Bh, auflösen. Mit Summe H, V am linken Teil Av, Ah
ausrechnen. Freikörperbilder zeichnen, N, Q und M-Fläche zeichnen.
Mechanik1,Schnittgrößen,Dreigelenkbogen,2Kräfte
https://youtu.be/YC6VbY2ZbmE
Gesamtsystem, Summe Ma ergibt Bv, Summe V
ergibt Av, linkes Teilsystem, Summe Mg, ergibt Ah, Gesamtsystem,
Summe H, ergibt Bh, Freikörperbilder, N, Q und M-Flächen zeichnen.
Mechanik1,Schnittgrößen, Rechteck,
Dreieck ,Integration
https://youtu.be/U-w0UuHh6CQ
Rechtes Teil freischneiden,
Horizontalkräfte aus Summe, MG, Summe Fx, sind q a/2. Streckenlast
kann in Rechteck und Dreieck aufgeteilt werden, dann Summe Fz ergibt
Lagerktaft, Summe Ma ergibt Einspannmoment, N, Q und M zeichnen.
Systematischer ist die Integrationsmethode: Streckenlast als
Funktion aufstellen, zweimal integrieren, Randbedingungen: Links
Q=0, bei a M=0. Vorteil: Ich bekomme Funktionsgleichungen für Q und
M, und ich kann das Verfahren auch bei Parabelförmigen
Streckenlasten und Sinuslasten anwenden. Bei Sinuslasten immer mit
c1, c2 statt Av, Ma arbeiten weil cos 0 nicht Null ist.
Schnittgrößen, Gerberträger mit Dreiecks- und Rechtecklast
https://youtu.be/eyyJamBEdJE
linken Teil
freischneiden, Resultierende bilden, Summe Mg ergibt A, Summe Fz
ergibt Gelenkkraft G, rechten Teil freischneiden, Resultierende
bilden, Summe MC ergibt B, Summe Fz ergibt C. Querkraftfläche wird
von links nach rechts gehend gezeichnet, M-Fläche ebenso,
Feldmomente mit auswendig gelernten Formeln hingeschrieben, MB noch
mit einem Teilschnitt berechnet. Die Formeln kommen aus der
Integrationsmethode, den rechten Teil konnte ich erklären, dann
wurde die Aufnahme leider gestört.
Mechanik1, Schnittgrößen,
Gerber, Dreieck, Rechteck, Integration
https://youtu.be/6WOYizd6dnE
Die Dreieckslast wird als Funktion
aufgestellt und zweimal integriert, mit den Randbedingungen M in A
und G =0 erhält man die Integrationskonstanten, A, G und M1max. Neue
x-Koordinate einführen vom Gelenk aus, q zweimal integrieren, M in C
Null ergibt B, Q=0 ergibt Ort und Betrag von M2max, Q an Stelle 5m
ergibt Lagerkraft C.
Mechanik1, Schnitttgrößen,
Dreigelenkbogen, Kraft, Rechtecklast
https://youtu.be/Nlq4SK5wMn4
Schnitte führen: Gesamtsystem, linkes und
rechtes Teilsystem. Resultierende bilden, Gesamtsystem, Summe Ma
ergibt By, Summe Fy ergibt Ay, linkes Teilsystem, Summe Mg ergibt
Ax, Gesamtsystem, Summe Fx ergibt Bx, Freikörperbilder zeichnen, N,
Q und M-Flächen zeichnen.
Mechanik1,Schnittgrößen,Trägerauf zwei
Stützen,M,Rechtecklast
https://youtu.be/WWAl6ss66p0
Schnitt Gesamtsystem einzeichnen, Summe
Ma ergibt Bv=0, Summe F ergibt Av, Freikörperbild, Q- und M-Fläche
zeichnen, Probe kann mit Integrationsmethode im linken Bereich
erfolgen.
Mechanik1,Schnittgrößen,Kragarm,Dreieckslast.
https://youtu.be/Wi4w_VA8H68
Einspannreaktionen mit Gleichgewicht
(Summe H, V und Ma) bestimmbar, N0-f ist einfach. Dann q(x)
aufstellen, zweimal integrieren und Randbedingungen einsetzen. Viel
einfacher geht die Sache mit x Schlange = L-x, dann sind die
Integrationskonstanten beide Null, und bei jedem Integrationsprozeß
entsteht ein weiteres Minuszeichen, innere Ableitung.
Mechanik1,Schnittgrößen.Einfeldträger,2F,2q
https://youtu.be/YHykMTn1J8Q
Resultierende bilden, Fi in x- und
z-Richtung aufteilen. Summe MA, ergibt B. Summe Fz ergibt A.
Q- und M- Fläche zeichnen, Mi ausrechnen, Mmax mit
Integrationsmethode, Q0, M0 aus gezeichneten Q, M-Flächen. N Fläche
zeichnen.
Mechanik1,Schnittgrößen,Einfeldträger,Dreieck,Rechteck
https://youtu.be/e_5CkVfeNBo
Resultierende R1,R2 bilden, Summe Ma
ergibt B, Summe Fz ergibt A, Q und M-Fläche zeichnen, dann q als
Funktion von x aufstellen, zweimal integrieren und Konstanten aus Q,
M-Fläche ablesen. Im zweiten Bereich Q=0 ergibt x, Einsetzen in M
ergibt Mmax.
Einfeldträger, Schnittgrößen, zwei
Rechtecklasten
https://youtu.be/18pf4r7uDqo
Zuerst Resultierende bilden, Schnitt
Gesamtsystem, Summe MA ergibt B, Summe Fz ergibt A. Dann Querkraft -
und Momentenfläche qualitativ zeichnen, Werte am Rand und in der
Mitte eintragen, sowie Wert und Ort von Mmax bestimmen.
Alternativ alles mit Integrationsmethode, zwei Bereiche, zwei
Integrationsvorgänge, ergibt 4 Integrationskonstanten, die mit den
Randbedingungen M links und rechts Null, Q und M in der Mitte gleich
berechnet werden können, oder einfacher mit dem vorher gebildeten
Gleichgewicht aus der Q und M-Fläche sofort abgelesen werden können.
Schnittgrößen Kranbahnträger,
Dreigelenkbogen
https://youtu.be/pH_Ur7XEiWQ
Lagerkräfte sind nur Vertikal, 16 F nach
oben, Normalkräfte nur in Stützen, von -16F auf -12F, Querkräfte nur
im Horizontalträger, von 12 F auf 10F linear fallend, dann Sprung
auf 2F und in der Mitte Null. Momentenfläche: 0 mit 11FL, 11FL und
Null verbinden und Streckenlasten als quadratische PArabel mit
geringem Stich abhängen, beim Angriffspunkt der Einzellast Knick. In
der Mitte Mmax = 12 FL. Gleichungen werden mit Integrationsmethode
und Schnittprinzip gezeigt.
Schnittgrößen, Dreigelenkbogen mit
Windlast
https://youtu.be/zp_-It258g4
Geometrie klären, L mit Pythagoras, sin
al, cos al ausrechnen. Resultierende bilden, Schnitte rechtes und
linkes Teilsystem sowie Gesamtsystem. re, Summe Mg ergibt BH = 0,
rechts Pendelstütze, Gesamtsystem, Summe Ma, Summe V, Summe H ergibt
die restlichen Lagerkräfte. N-, Q- und M-Flächen zeichnen, bei M den
Wert Mmax mit Integrationsmethode ausrechnen, Integrationskonstanten
aus der Q- und M-Fläche.
Q,M am Einfeldträger,3Kräfte
https://youtu.be/rGLNBLZhjtc
Summe MA ergibt B, Summe Vertikalkräfte
ergibt A, dann Q und M Fläche zeichnen, Q-Fläche durch hinsehen, M
durch addieren von Rechteckflächen, Probe MB = 0.
Geschlossener, dreiteiliger Rahmen,
Schnittgrößen
https://youtu.be/qLmz4ViuMqw
Gesamtsystem freischneiden, Summe Ma
ergibt Bv, Summe Fx, Fy=0 ergibt Av und Ah=0. Rechtes Teilsyste
freischneiden ergibt kraft im Pendelstab unten rechts, dann
Freikörperbild mit allen Gelenkräften zeichnen, fehlende Kräfte aus
Kräftegleichgewicht für die Einzelteile.
Unterschied zwischen
Schnee, Wind und Eigengewicht, hier handelt es sich um Eigengewicht.
Zeichnen der N, Q und M- Flächen.
Zweiteiliger Kreisbogen
https://youtu.be/SZk5tsfBRRg
Gesamtsystem, Summe MA, rechtes
Teilsystem, Summe Mg ergibt zwei Gleichungen für Bv, Bh, die
Gelenkkräfte und Lagerkräfte in A ergeben sich dann aus dem
Kräftegleichgewicht. Die Schnittreaktionen werden nur für den linken
Teil hergeleitet.
Schnittgrößen, Einfeldträger mit
Dreieckslast
https://youtu.be/Ym6DOdRXqvY
Die Dreieckslast wird zu einer
Resultierenden zusammengefasst und mit Summe MA, MB die Lagerkräfte
bestimmt. Die Normalkraft ist Null, die Querkraft ist links gleich A
bis zum Anfang der Streckenlast und geht dann zuerst mit großer
Steigung, dann immer flacher zum Wert -B am rechten Lager,
quadratische Parabel. Die Momentenfläche ist erst linear von A mit
M=0 bis zum Anfang der Streckenlast M = A a. Danach ist eine
kubische Parabel, die zunächst noch etwas ansteigt und dann zum
Lager B auf Null fällt. Die Funktionsgleichung wird hergeleitet,
indem die Streckenlast als Funktion von x aufgestellt und zweimal
Integriert wird, von q nach Q mit Vorzeichenwechsel, Randbedingungen
sind Q0 = A und M0 = A a.
Schnittgrößen, Balken auf zwei Stützen
https://youtu.be/En6d-U-T5DY
Die Lagerkräfte werden bestimmt, die
Normalkraftfläche ist minus F, die Querkraft fängt bei A an, fällt
um q a, steigt dann um B und endet schließlich bei Null. Die
Momentenfläche ist eine quadratische Parabel, der rechte Teil ist q
b²/2, Lager A,B durch eine gerade Linie verbinden und die Parabel q
a²/8 abhängen, Funktionsgleichung: Q = A - q x, M = A x -q x²/2, Q
zu Null setzen ergibt x = A/q, dass einsetzen in M ergibt Mmax =
A²/2q
Schnittgrößen, Kragarm mit zwei Kräften
https://youtu.be/yOhhWTNFE_Q
Die Flächen N, Q und L lassen sich sofort
hinzeichnen, ohne Rechnung und Lagerreaktionen, bei N ist der Betrag
F, und Zug ist positiv, Druck negativ, bei Q vergleicht man mit dem
Normkästchen, beide Seiten positiv. Bei M rechne man das Moment in
der Ecke und in der Einspannung über Kraft mal Hebel aus und
verbinde alles durch eine Linie. Wenn das Moment fällt, ist die
Querkraft positiv.
Hamburg, Grätsch, 2.16,A2
https://youtu.be/Os7veFwOIIU
Die Steckenlasst wird zu einer
Resultierenden zusammengefasst. Summe MA ergibt Bv, Summe H, V
ergibt die Kräfte in A. Freikörperbild zeichnen und nochmal auf
Gleichgewicht prüfen. Normalkraftfläche kann sofort hingezeichnet
werden, Zug positiv, Druck negativ, einfachfreikörperbild ansehen
und die Kräfte in Balkenlängsrichtung aufzeichnen. Q: Zunächst
klären, was positiv ist: Normkästchen mit wirklichen Kräften
vergleichen. Dann kann die Q-Fläche auch sofort gezeichnet werden.
M-Fläche geht durch Betrachtung der Q-Fläche, Rechteckfläche bei Q
ergibt linearen Anstieg bei M, Q=0 bewirkt keine Änderung bei M, und
dann kleines Dreieck addieren und großes Dreieck abziehen, am Lager
B muss wieder Null rauskommen. Alternativ Funktionsgleichung mit
Integrationsmethode aufstellen, Integrationskonstanten Qo, Mo
aus der Q und M-Fläche unmittelbar rechts von der Ecke ablesen.
Abgewinkelter Balken mit zwei
Kräftepaaren
https://youtu.be/T7EbhBrAQ4s
Balken freischneiden, Summe MG ergibt C,
Summe H, V ergibt A, B, Freikörperbild, N, Q und M-Fläche zeichnen.
A,B ergeben zusammen Horizontalkraft 1kN.
Geschlossener Rahmen mit Windlast und
Einzelkraft
https://youtu.be/0hZKySZBRcw
Streckenlast zu Resultierender
zusammenfassen, Gleichgewicht am Gesamtsystem ergibt die drei
Lagerkräfte, Freikörperbild zeichnen, dann N, Q und M-Fläche
zeichnen. Momentenverlauf im schrägen Träger mit Integration, Q ist
minus Integral q(x) dx, M = + Integral Q(x) dx,
Integrationskonstanten QL, Ml können direkt aus der Q- bzw. M-Fläche
abgelesen werden. Wo Q(x)=0, ist der Ort von Mmax, Einsetzen ergibt
Mmax. Die Parabel kann auch durch Einhängen der Parabel q L^/8
gezeichnet werden, in den Viertelspunkten beträgt der Wert ¾ von q
L^/8
Dreigelenkbogen mit Einzelkraft und
Rechtecklast
https://youtu.be/kH6OOEFE-ow
In G werden zwei Gelenkkräfte angesetzt,
die Streckenlast zu einer Resultierenden zusammengefasst. Zu jeder
Gleichgewichtsbeziehung gehört der betrachtete Schnitt: Für das
linke Teil Summe um A, für das rechte Teil Summe um B ergibt zwei
Gleichungen zur Bestimmung der Gelenkkräfte. Nachdem man diese
eingezeichnet hat, ergeben sich alle Lagerkräfte aus
Kräftegleichgewicht, das kann man dann schon im Kopf machen.
Freikörperbild zeichnen, N, Q und M-Flächen zeichnen und im rechten
Horizontalbalken Q und M als Funktion von x aufstellen.
Sparrendach
https://youtu.be/Bv4ptanw9S8
Hier bin ich weder mit der
Aufgabenstellung noch mit den Ergebnissen der sogenannten
Musterlösung einverstanden - Sinn der Übung ist es, ein Dach
berechnen zu können, und wer das so macht, wie hier vom Professor
vorgesehen, der bekommt seine Statik nicht vom Prüfstatiker
abgenommen, weil sie nicht den Regeln der Bautechnik entspricht, und
riskiert, aus seinem Ingenieurbüro rauszufliegen. Wir müssen also
erst einmal grundsätzlich klären, was wir unter Schneelast, Windlast
und Eigengewicht verstehen wollen, wie wir dies zeichnen und wie wir
das ausrechnen.
Dann wird die Aufgabenstellung aufgeteilt in zwei
Lastfälle, Eigengewicht und Wind, und Eigengewicht rechne ich gleich
durch, Wind im nächsten Video. Die Resultierende bei Eigengewicht
ist also q mal L, L ergibt sich aus Pythagoras, wegen Symmetrie sind
die vertikalen Lagerkräfte genauso groß, die Horizontalkraft ergibt
sich aus der Summe MG für ein Teilsystem.
Windlast am Sparrendach
https://youtu.be/AbvRjlPLMQA
Es wird erklärt, wo die Windlast
herkommt, rho Luft ist in etwa 1,2 kg/m§, und Bernoulli oder der
Energieerhaltungssatz lassen uns die kinetische Energie ½ rho v² in
einen statischen Druck p umrechnen. Die Luft wird also jetzt als
ruhend angenommen, aber der Luftdruck auf der Anströmseite um diesen
Wert erhöht. Dieser Druck wirkt immer senkrecht auf der zu
betrachtenden Fläche, er kann niemals Scherkräfte übertragen, die
parallel zur Oberfläche angreifen. Auf der windabgewandten Seite ist
noch ein Unterdruck zu berücksichtigen, den wir hier weglassen, der
aber nicht vernachlässigbar ist.
Wir klären die Geometrie, fassen
den Wind (Überdruck mal mittragender Breite des Daches ergibt kN/m)
zu einer schrägen oder auch vertikalen und horizontalen
Resultierenden zusammen, berechnen alle Lager und Gelenkkräfte und
zeichnen N, Q und M. Bei M wird wieder die Parabel q L“/8 abgehängt
und mit Hilfe der Integrationsmethode das Maximalmoment bestimmt.
Einfeldträger, 2/3 mit Streckenlast q,
Mmax
https://youtu.be/XapTZhaAroI
Resultierende bilden, Summe MB und Summe
V für Gesamtsystem ergibt die Lagerkräfte, Q und M –Flächen können
gezeichnet werden. Mp an der Übergangsstelle im Drittelspunkt
ausrechnen, eine x Koordinate einführen, Streckenlast zweimal
integrieren, Integrationskonstanten aus Q und M-Fläche, Q zu Null
setzen ergibt x, einsetzen in M ergibt Mmax. Oder hier auch mit der
Formel, B²/2q.
Kragarm, Q gegeben, Last und
Momentenverlauf ist gesucht
https://youtu.be/mf-9rngERM0
Aus Q zeichnen wir zunächst eine Last F
ans freie Ende, die dann bei ¾ L wieder aufgehoben wird, bei L/2
greift noch eine Kraft nach oben an, die durch eine Rechtecklast
zwischen 0 und L/2 wieder aufgehoben wird. Momentenverlauf durch
M´=Q, quadratische Parabel, dann konstant, dann wieder linear
fallend. Q positiv bedeutet „Abfahrt“ auf der M-Fläche.
Abgewinkelter Einfeldträger mit
Trapezlast
https://youtu.be/MKGm450z9hM
Die
Streckenlast wird zu zwei Resultierenden zusammengefasst, Summe MA =
0 ergibt B = 7/9 ql, Summe V =0 ergibt A = 11/9 ql.
Integrationsmethode ergibt Q und M als Funktion von x, wobei Qo die
Kraft A ist, Mo ist Null. Q = 0 setzen ergibt den Ort des
Maximalmomentes, x=L ergibt den Wert in der Ecke, der B mal L/2 sein
muss, Probe. Zeichnen der N, Q und M-Flächen.
Dreigelenkbogen mit 2 Streckenlasten
Kraft und Moment
https://youtu.be/LS3mFxJrhGA
Lagerkräfte mit Gleichgewicht ausrechnen
und mit gegebenen Werten vergleichen, N, Q und M-Fläche zeichnen, im
schrägen Bereich werden 3 Kräfte jeweils in die N und Q Richtung
zerlegt. Beim Moment links q L²/8. Dann Integrationsmethode mit
Maximalmoment beim Nulldurchgang der Querkraft. Am T-Knoten
Summe der Momente als Probe.
Wandkran mit zwei Seilen
und Umlenkrollen
https://youtu.be/WraljSufeeM
Zuerst wird der
Umgang mit Umlenkrollen erklärt: Auch bei grossen Rollen können die
Seilkräfte direkt im Gelenk angetragen werden, wenn man die Rolle
wegschneidet. Rechtes Teil mit Kräften einzeichnen, Summe M,H,V
ergibt Seilkraft und Gelenkkräfte in D, linkes Teil freischneiden
ergibt Einspannungsreaktionen. N-,Q- und M-Fläche zeichnen.
Vierteiliges System mit Dreieck- und
Rechtecklasten
https://youtu.be/XmtMEu7HTSs
Statische Bestimmtheit: Abzählen ergibt
mit 4 Teilen mal 3 Freiheitsgraden 12 Gleichungen für 4 Lager- und 8
Zwischenkräfte, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit
ist somit erfüllt, Aufbaukriterium liefert einen Dreigelenkbogen,
hinreichende Bedingung erfüllt. Gesamtsystem: Summe MA, V und H
ergibt die Lagerkräfte, dann Freikörperbild in der Dimension q a/36.
Dabei können viele Kräfte direkt im Kopf berechnet und mehrmals im
System eingezeichnet werden. N,Q und M-Fläche zeichnen, im Bereich
der Dreieckslast Funktionen aufstellen mit Integrationsmethofe.
Einfeldträger mit Recteck- und Sinuslast
https://youtu.be/5CPOLC7ytTg
Die
Integrationsmethode wird hergeleitet, q wird zweimal integriert, die
beiden Integrationskonstanten mit den Randbedingungen, Moment ist
links und rechte Null, bestimmt. Dann wird der Querkraft- und
Momentenverlauf gezeichnet, die Lagerkräfte sowie das Maximalmoment
bestimmt.
Dreiteiliges System mit Einzelkräften,
Dreiecks- und Rechtecklast
https://youtu.be/fiFrpLk_6tw
Statische
Bestimmtheit mit Abzähl- und Aufbaukriterium, Freikörperbilder mit
allen Gelenk und Lagerkräften, N, Q und M-Fläche, Maximalmoment der
Dreieckslast mit Integration.
Reese, WS 15/16, A3
https://youtu.be/bAo6aWE-JJI
Resultierende
einzeichnen, in B aufschneiden, C antragen, Summe Mc, H und V ergibt
die Gelenkkräfte Gz, Gx und die Lagerkraft C. Jetzt N, Q und
M-Flächen zeichnen. Mit der Integrationsmethode kann Q, M auch als
Funktion von x aufgestellt werden.
Reese WS 13/14 A2
https://youtu.be/IhVIhIS-faA
Gesamtsystem Summe MA=0, H=0 und V =0
ergibt die Lagerkräfte, Horizontalstab q a/2 auf beiden Seiten nach
oben antragen, diese Kräfte umdrehen ergibt alle Vertikalkräfte, und
mit Summe M für den Schrägstab ergibt sich eine und damit alle
Horizontalkräfte. N, Q und M-Flächen sind dann verhältnismäßig
einfach.
IAM Aufgabensammlung M1_SG_A047_T08_V001
Schnittgrößen mit Dreieckslast
https://youtu.be/CbvedQF_Gm0
A3 wird
nachgerechnet und stimmt, Streckenlast als Funktion aufstellen,
unter Vorzeichenwechsel zur Querkraft integrieren, ohne Vzw weiter
zum Moment integrieren, Integrationskonstanten Q0 = -A3 und M0 = -
A3 L einsetzen, alle Angaben des Institutes sind korrekt.
https://youtu.be/91Bao_n1tDc
Fehler in Aufgabenstellung berichtigen, q in Dimension n durch m, nicht mm. Dann Lagerkräfte nachrechnen, Integrationsmethode, Q0 und M0 bestimmen und gleich im Rechner eingeben, außerdem –q/2 beim x². Sonst keine Fehler in dieser Aufgabe.
M1 SG A142 T05 V001 https://youtu.be/9apxROwSf-c
Der rechte Teil ergibt die Gelenkkraft q L/2. Dann für den linken Teil Summe MA aufstellen und nach B auflösen. Der entstandene Term muss größer als
-F/10 und kleiner als +F/10 sein. Diese beiden Ungleichungen lassen sich leicht nach x auflösen und ergeben x min und x max, natürlich sollten diese zwischen 0 und 2L liegen. In der Endformel braucht nur das Vorzeichen geändert u werden, also:
Xmin = a q L²/F - L/5 und Xmax = a q L²/F + L/5
9) Schnittgrößen mit Föpplintegration
Schnittgrößen, Föpplintegration, 4mg https://youtu.be/r34iM-xOg4c
Mechanik1, Schnittgrößen, Föppl Integration
https://youtu.be/CB6ym9vfRcw
Streckenlast wird durch Föpplklammern
ausgedrückt, großes minus kleines Dreieck, dann Integration zu Q und
M, wobei die Lagerkräfte A, B in Q und das Lastmoment in M zugeführt
werden müssen, natürlich mit Föpplklammer. Randbedingungen M im
Gelenk und Q am rechten Ende ist Null ergeben die Lagerkräfte,
Freikörperbild dient nur der Illustration und evtl. der Probe. Q, M
werden an den Stellen 4a, 6a ausgerechnet, die Verläufe gezeichnet.
Mechanik1,Streckenlasten mit Föpplklammern
ausdrücken
https://youtu.be/yHczlLnAEho
Jeder Sprung bewirkt eine Föpplklammer hoch
Null, Einheit q, jeder Knick eine Föpplklammer hoch Eins, Einheit
q/a. Eine Änderung der Krümmumg bewirkt dann eine Föpplklammer hoch
2, Einheit q/a². Bei Integration zu Q, M gehen Kräfte nach oben und
Momente im Uhrzeigersinn positiv ein, negatives Schnittufer.
Mechanik1,Föpplintegration,Rechtecköast,Einzelkraft
https://youtu.be/pvk9JdG2VwY
Streckenlast mit Föpplklammern ausdrücken,
zweimal integrieren, 2 Integrationskonstanten, von q auf Q
Vorzeichenwechsel. Randbedingungen: Links und rechts ist das Moment
Null, da Gelenke, ergibt zwei Gleichungen für c1, c2. Querkraft- und
Momentenverlauf zeichnen, Av, Bv aus Q ablesen. Bei M Stellen L, 2L
einsetzen und Werte bestimmen. Kontrolle am Ende mit Gleichgewicht
ist möglich und sinnvoll - aber c1 mit Gleichgewicht bestimmen wäre
richtig, würde aber Punktverlust bewirken, da Föpplintegration
gefordert.
Schnittgrößen, Föpplintegration, 4mg
https://youtu.be/r34iM-xOg4c
Streckenlast aufstellen, am Anfang 6mg/6, dann
Steigung 8mg/l²x abziehen, dann mit Föpplklammer x-l/2 wieder
zuaddieren. An Stellen x=0, L/2 und L Streckenlast überprüfen, muss
6, 2, 2 rauskommen. Dann zweimal integrieren, Vorzeichenwechsel von
q auf Q, Randbedingungen Q = mg und M = 0 am freien Ende ergibt die
Integrationskonstanten, Q- und M-Fläche zeichnen und alles mit
normalem Gleichgewicht prüfen.
10) Reibung
Mechanik1, Reese, Aufgabe 103, Reibung
http://youtu.be/dtIlrtA6Gw4
Über eine lose Rolle wird eine Walze mit
zweimal F/2 gezogen, dahinter ist eine Kiste. Mit Summe der
Vertikalkräfte sind die Normalkräfte sofort bekammt, die
Reibungskraft der Walze ergibt sich aus Summe M um den Mittelpunkt
zu F/2, MüH =R/N ergibt F=5 kN, nicht maßgebend. Die Kiste wird mit
3/2 F gezogen aus Summe Fx für Walze, MüH =R/N für Kiste ergibt F =
4,167 kN als maßgebendes Ergebnis. Die Kiste rutscht also. Ersetzt
man den Haftreibungskoeffizient 1/4 durch den
Gleitreibungskoeffizient 1/5, erhält man F=3,333 kN zum
Aufrechterhalten der Bewegung. Kippnachweis war nicht verlangt, wird
aber trotzdem erklärt.
Mechanik1, Reese, Aufgabe 104. Reibung
http://youtu.be/Os2rcf-jtAo
Eine quadratische Kiste wird durch ein schräges
Seil gehalten, darunter wird eine Kiste mit einer Kraft F
weggezogen. DAs System ist einfach statisch unbestimmt: An beiden
Kontaktstellen R = Mü N entgegen der möglichen Bewegungsrichtung
ansetzen, dann Klotz oben freischneiden, Summe Fx, Fy sind zwei
Gleichungen für N1, S, Kippnachweis ist erfüllt, unten Summe Fy
ergibt N2, Summe Fx ergibt F = R1+R2=31,93 kN. Wann wird der
Kippnachweis oben maßgebend? Dazu oben außer Summe Fx, Fy noch Summe
M um Eckpunkt links unten bilden, ergibt S wegen h=b, mit Summe Fy
folgt N1, und aus Summe Fx dann Mü1=0,7029
Mechanik1, Klausur, Markert, A1
http://youtu.be/BmM5YQepF6k
Verständnisfragen zur Reibung:
a) f
Reibungskraft entgegen Bewegungsrichtung
b) w Reibungskraft
tangential zur Reibungsfläche
c) f richtigwäre: Betrag R/N = tan
rho ist kleiner gleich mü
d) w R= mü N ist eine eingeprägte
Kraft, N ist Zwangskraft
e) f Der max. Böschungswinkel hängt ab
von Rauheit der Körner, Körnung, d.h. verschiedene Korngrößen,
Verdichtung und Feuchte, Kohäsionskräfte. Darüber hinaus kann ich in
einer Zentrifuge jeden Böschungswinkel erzeugen, ohne innere
Reibung.
Mechanik1, Klausur, Markert, A8
http://youtu.be/0G34O-VSLHE
Zuerst Kräftegleichgewicht am Klotz: Die
Normalkraft ist m g cos al und verursacht die mük-fache
Reibungskraft, der Gewichtsanteil m g sin al kommt dazu, das ist
dann die Seilkraft S1 direkt am Klotz, die Seilkraft oben entsteht
durch Multiplikation mit e hoch müs mal al. Wegen der Drehrichtung
wird die Seilkraft nach rechts hin größer, also steht die e-Funktion
im Zähler, also hoch + müs al.
Mechanik1, Klausur, Markert, A9
http://youtu.be/zWFM8LTIVt8
Die Masse mit dem kleineren mü rutscht zuerst.
Dann die Normalkräfte = Gewichtskräfte mal cos al mit dem jeweiligen
mü malnehmen, aufaddieren und gleich der Hangabtriebskraft 3 m g sin
al setzen, durch cos al ergibt tan al = 17/60.
Kolben mit Druck, Reibung und Seilreibung
https://youtu.be/b4dmItmtTX8
Zuerst alle äußeren Kräfte antragen, Druck mal
pi r², Sigma M mal 2 Pi r b, das je nach Druckgröße die Richtung
ändert. Die Seilkraft kann nicht bestimmt werden, solange der Kolben
ruht, es kann nur bestimmt werden, innerhalb welcher Grenzen die
Seilkraft möglich ist. Und die Druckdifferenz darf nicht so groß
werden, dass der Kolben auch ohne Seil nach rechts rutschen würde, S
größer gleich 0 ist die Bedingung. Um F auszurechnen, nimmt man die
Gleitreibungskoeffizienten, rechnet über Summe Fx die Seilkraft aus
und nimmt mit der e-Funktion mal. Die Schaubilder: F(r) ist die
Addition von einer Parabel und einer Geraden, F(b) ist eine Gerade
mit Anfangswert, F(R) ist konstant, weil R nicht eingeht.
Reibung, Klotz mit Kippen und Rutschen
https://youtu.be/l3DbJNUxSsM
Der Klotz kippt gerade noch nicht, wenn der
Schwerpunkt genau über dem Auflagepunkt links sit, das heißt al + be
kleiner gleich 90°, wovei be = arctan von b/a = 67,38°, also Al max
= 22,62°. Tangential und Normalkraft ergeben sich als G mal sin bzw.
cos von diesem Winkel. Ist der Haftreibungskoeffizient mü kleiner
5/12, so tritt Rutschen vor Kippen ein, bei mü = 5/12 könnte beides
zuerst eintreten. Bei mü = 0,35 tritt Rutschen vor Kippen ein, bei
19,29°, wieder Ft, Fn ausrechnen.
Reibungsaufgabe mit zwei Stäben und einem Klotz https://youtu.be/QtVfkzBs5Z8
Gleichgewicht in B ergibt beide Stabkräfte,
danach sind drei Fälle zu untersuchen: Rutschen an Oberkante Klotz,
Rutschen an Unterkante Klotz und Kippen des Klotzes nach links, alle
drei Bedingungen sind einzuhalten.
Reibung, zwei Klötze mit Querstange
https://youtu.be/JgDtyTT22pY
Freikörperbilder zeichnen, linker Klotz, Summe
H, Summe V und Reibungsgesetrz ergibt S=N1=375n und R1 = 150N,
rechnet Masse freischneiden, gedrehtes x-y-Koordinatensystem
einfügen, Summe Fx ergibt R2, Summe Fy ergibt N2, Reibungsgesetz,
einsetzen und nach G2min auflösen.
Aufgabenteil b ist nicht
lösbar, da nur auf einer Seite R gleich mü mal N gilt, auf der
anderen Seite ist R kleiner als mü N. Man kann nun beide Fälle
durchspielen und feststellen, dass die Wirklichkeit zwischen diesen
Ergebnissen liegen muss.
Walze, Winkel und Gewicht bestimmen
https://youtu.be/Slb1LchBgW0
Graphische Statik, Dreikräftesatz: Die
Resultierende von N und R geht durch den Schnittpunkt der
Wirkungslinien G1 und Seilkraft, Mittelpunktswinkel ist zweimal so
groß wie der Umfangswinkel, Grenzfall mü = tan al/2 ergibt
al=22,62°. Mit Summe der Momente um Abrollpunkt G1 ausrechnen,
alternativ mit Culman: R,N und G2 können auch graphisch bestimmt
werden. Und mit Gleichgewicht kann auch eine "transzendente"
Gleichung für al erstellt und diese numerisch gelöst werden.
Seilreibung, Schnittgrößen, Freikörperbild
https://youtu.be/-ov90_ypBRI
F ergibt sich nach dem Seilreibungsgesetz zu mg
durch e hoch mü mal Umschlingungswinkel, der ist bei zwei
Umschlingungen 4 Pi. Balken mit 4 mal F zeichnen, wobei die Kräfte
gleich im Rollenmittelpunkt angesetzt werden können. Mit Summe Fx,
Fz und Summe MA Einspannreaktionen bestimmen, N,Q und M-Flächen
zeichnen, Seilreibungsgesetz herleiten.
Mechanik1, Reibung, Hufeisen, Seilzug,
Schwerpunkt
https://youtu.be/2Z-mDy0KIzA
Schwerpunkt Halbkreis 4 r /3 pi herleiten, in
drei Teile aufteilen, großen minus kleinen Halbkreis, Flächen und
Einzelschwerpunkte bestimmen, Gesamtschwerpunkt ausrechnen, Fläche,
Masse und Gewicht ausrechnen.
Fmax ist unendlich, weil Rutschen
ausgeschlossen werden kann bei mü=1,2. Der Wert mü min läst sich
jedoch ausrechnen, bei dem Rutschen eintreten würde. Und mit der
Summe der Momente um den linken Auflagepunkt lässt sich die
Mindestkraft F berechnen, so dass sich der Körper nicht dreht, nennt
man Kippnachweis.
Reibung, 3Massen, Seilreibung,
Temperaturspannung
https://youtu.be/AOVlc5iumAQ
S1=G1 wirkt über die Umlenkrolle bis G2. S3=G3
wird durch die Seilreibung mit Umschlingungswinkel pi/2 und
e-Funktion zu S2 abgemindert. G2 Freischneiden, N2=G2, R2=S3-S2 aus
Kräftegleichgewicht, wenn Betrag von R2 kleiner Mü N2 wäre, bliebe
das System im Gleichgewicht, so rutscht es nach rechts. In b
verursacht die Temperatur eine Normalkraft Spannung mal Fläche = 250
kN auf beiden Seiten, mal mü ergibt zwei abwärts gerichtete
Reibungskräfte R3. Kräftegleichgewicht ergibt S3, mal e-Funktion
ergibt S2, plus R2 = mu N2 ergibt S1 = G1.
Mechanik1, Reibung, Walze mit Kiste
https://youtu.be/NYldsT85XhQ
Normal- und Reibungskräfte einzeichnen, R1 = mü
N1 entgegen der Rutschrichtung, Summe Mg für linkes Teilsystem
ergibt Normalkraft N1 und damit R1, Summe der Kräfte in Richtung der
Ebene ergibt Mü erforderlich in Teil a), und nach Änderung der
Richtung von R1 ergibt die gleiche Rechnung F. Der Kippnachweis ist
zu führen, hab hier aber nur die Ideen angedeutet und den Nachweis
nicht zum Ende geführt.
Kegelkupplung
https://youtu.be/ORBN1Adietg
Summe der Kräfte horizontal mit einer
umlaufenden Normalkraft ergibt N = F/ sin al, F = Anpresskraft
horizontal. Reibungsgesetz R = mü N ergibt die tangential umlaufende
Reibungskraft mit dem Hebel d/2, also M = R d/2. Auflösen nach F
ergibt den notwendigen Anpressdruck. Die Fläche ist b mal
Kreisumfang 2 pi r = pi d, und N / Fläche ergibt die Normalspannung
zwischen den Kupplungsflächen.
Hamburg, Grätsch, 2.16, A4, Seilreibung, Fmin
https://youtu.be/6YnbEtDO6JY
Zunächst wird die Kiste freigeschnitten,
Gewichtskraft, Normalkraft, Seilkraft und Reibungskraft angetragen,
schiefes Koordinatensystem x-y: Summe Fy =0ergibt N, R = mü mal N
ergibt die Reibungskraft, und Summe Fx=0 ergibt die Seilkraft. Jetzt
wird die schlecht gezeichnete Walze freigeschnitten, sie ist starr
mit dem Untergrund verbunden und kann sich nicht um den
Rollenmittelpunkt drehen, ist also das genaue Gegenteil von dem, was
man als Umlenkrolle normalerweise bezeichnet. Der
Umschlingungswinkel ergibt sich aus der Stellung der Seile zu 45°
und kann nicht durch die inkorrekte Aufgabenstellung in 90° geändert
werden. Es ist aber wieder möglich, dass zum Umschlingungswinkel
Vielfache von n360° hinzuaddiert werden, wenn das Seil um den Poller
gewickelt wird. Mit S1 = F = S2 / e ^ müs pi/4 ergibt sich die
kleinstmögliche Kraft Fmin, um die Kiste im Gleichgewicht zu halten.
Kranbremse
https://youtu.be/Kuf4x4FUJoU
Drei Gleichungen aufstellen: Summe MA=0, Summe
MB = 0 und Seilreibungsgesetz ergibt drei Gleichungen für die
Unbekannten S1, S2 und F min. Ist F kleiner als Fmin, dann rutscht
die Welle unter dem Seil durch, die Last bekommt eine Beschleunigung
x°°, und die Kraft im Seil ist dann m (g – x°°). Mit den drei
Gleichungen erhält man bei bekanntem F die Beschleunigung x°° sowie
neue Seilkräfte S1, S2. S1 ist die größere Kraft, weil sie S2 und
der Last das Gleichgewicht halten muss, daher s1 = S2 mal e hoch mü
alpha. Der Umschlingungswinkel ist in rad einzugeben.
Mechanik 1, HÜ3 WS 16/17 Reibung, zwei Klötze
mit Horizontalkraft
https://youtu.be/nvQH5xU5yzg
Rutschnachweis oben, im
Grenzfall gilt R1/N1 = mü1, mit R1 = F aus Summe H=0 und N1 = ma g
aus Summe V= 0 lässt sich dies nach ma auflösen. Fuge unten genauso,
im Grenzfall R2/N2 = mü2, R2 = F-P. N2 = ma g + mb g, einsetzen und
nach ma auflösen. Mit den Strecken a, b kann noch der Kippnachweis
geführt werden, die obere Kiste darf sich nicht nach links drehen,
ist erfüllt.
Reibung A007 Aufgabensammlung IAM mit Ton
https://youtu.be/wuT5ovZrqiU
a) S2 = m2 g und
S1 = mü1 m1 g ins Seilreibungsgesetz einsetzen: S2 = S1 e ^ (mü2
phi), weil die linke Rolle mü=0 hat, also glatt ist, ist der
Umschlingungswinkel pi/4+pi/4+pi/4+pi/2 = 5 pi/4. Auflösen nach mü2
ergibt 4 / 5 / pi * ln 10/3.
b) Im zweiten
Aufgabenteil sind alle Walzen glatt, m2g ist die Seilkraft, diese
wird gleich der Reibungskraft m1 g mü1 gesetzt und nach mü1
aufgelöst.
Reibung A 031 Aufgabensammlung IAM mit Ton
https://youtu.be/RK4TkdcKn3o
müs sind gleich,
Seilreibungsgesetz S2 = s1 e ^ mü pi mit S1, S2 aus Summe M, dazu
Abstände x-a zwischen Seil 1 und m und b-x-a zwischen S2
und m . Zwischen den Seilen b – 2a. Einsetzen der Seilkräfte
ins Seilreibungsgesetz und Auflösen nach x. Das Ausrechnen der
Seilkräfte S1, S2 ist nicht mehr nötig, kann aber als Probe gemacht
werden.
A002 der IAM –Sammlung oder V001
https://youtu.be/72WMjHLxg_0
Der Umschlingungswinkel ist
30° + 90° = 2/3 pi, Seilreibungsgesetz: S2 = S1 mal e hoch mü phi,
S2 = Hangabtriebskraft m1 g sin 30° = 30N, S1 = m2 g = 15 N,
Einsetzen ergibt mü2 = 3 ln2 *2*pi = 0,3310.
Zweite Teilaufgabe,
Normalkraft = 60 N cos 30° = 30 N mal Wurzel3, Reibungskraft = m1 g
sin 30° - m2 g = 60 N / ½ - 15N = 15N, Einsetzen in R = mü N ergibt
mü1 = ½/ Wurzel 3 = 0,2887
Aufgabensammlung IAM_
M1_RE_A63_T001_V001 Selbsthemmung
https://youtu.be/TiPKfJzFEes
Klotz und Balken
freischneiden, Summe F für Klotz, Summe MA für Balken, Mü = R/N und
einsetzen. Zähler und Nenner durch mg teilen und Grenzwert für mg
gegen unendlich bilden ergibt die Selbsthemmung.
Reibung mit
Schwerpunktsberechnung
https://youtu.be/7b9b5FDIYUg
Aufteilen in A1, A2 und A3,
Koordinaten aufstellen, Xs= Summe A1 xi durch A, Summe Mb ergibt N,
Summe F ergibt R = mg sin al, mÜ = R/N, dasselbe für die zwei
anderen Systeme.
11) Seilstatik
IAM Aufgabensammlung SS
A10 T02 Seil mit zwei Rechtecklasten
https://youtu.be/MVN8YGAtRGc
Die DGL w´´=-q /H wird
zweimal integriert. Auf der linken Seite sind die Konstanten
einfach: c0 ist Null, c1 ergibt sich aus A/H, und A aus der Summe M
um B, c2 = -q1/2H. Am rechten Bereich ist es etwas schwerer, c2 =
-q2 / 2H kann sofort notiert werden, mit Summe MA=0 folgt B, mit
w´(2a) = - B/H ergibt sich c1, mit w (2a) = -h ergibt sich c0.
IAM Aufgabensammlung SS A17 T01 Seil mit
Eigengewicht
https://youtu.be/WCye9N_1Ghg
Herleitung der Seillinie,
Spiegelung der Aufgabe, horizontale Tangente und w=0 bei x=0
liefert die Integrationskonstanten, w´(L) H ergibt dann den Betrag
der Vertikalkraft, und Pythagoras liefert die Seilkraft F. Das
Lehrstuhlergebnis kann ich nicht bestätigen.
11) Virtuelle Arbeit
Vorrechenübung 13, A1, Markert, RWTH-Aachen
https://www.youtube.com/watch?v=_Ldda8C9wZ4
Ein Gerberträger, die Auflager werden
nacheinander gelöst, die Balken drehen sich um ihren jeweiligen Pol.
Die virtuelle Arbeit ist die Summe der Momente um diesen Pol,
multipliziert mit dem zugehörigen Winkel. Mit der Kinematik werden
die beiden Winkel ins Verhältnis gesetzt, so dass sich die
infinitesimalen Winkel wegkürzen. Die Gleichung wird dann nach der
gesuchten Lagerkraft aufgelöst.
Vorrechenübung13, A3, Markert, Mechanik1,
RWTH-Aachen, IAM
https://www.youtube.com/watch?v=ed0h5c061K4
Wieder das Schema des Variationsprinzips
1)
Arbeitsgleichung
2) Geometrie aufstellen
3) Geometrie ableiten
4) Einsetzen
Auf die Vorzeichen ist zu achten, und weil zwei
kinematisch abhängige Winkel vorkommen, muss wieder eine
Zusammenhangsbedingung xc=konstant aufgestellt und abgeleitet
werden, damit sich am Ende alle infinitesimalen Winkel rauskürzen
lassen.
Selbstrechenübung13, A1, Mechanik 1,Markert
https://www.youtube.com/watch?v=WJktVHmxy1M
virtuelle Arbeit,
Variationsprizip: Die 4 Schritte rollen schematisch ab:
1)
Arbeitsgleichung aufstellen
2) Geometrie aufstellen
3)
Geometrie ableiten
4) Einsetzen in die Arbeitsgleichung
Auf
welche Feinheiten man hier achten und wie die Vorzeichen
Zustandekommen, wird hier erklärt.
Selbstrechenübung 13, A2, Markert, RWTH-Aachen
https://www.youtube.com/watch?v=aLZMQ1bbbMI
Variationsprinzip
nach Schema:
1) Arbeitsgleichung
2) Geometrie aufstellen
3)
Geometrie ableiten
4) Einsetzen
Wieder muss man auf einige
Vorzeichen achten. Wichtiger ist jedoch, dass 2 Freiheitsgrade, phi
und xsi, kinematisch gekoppelt sind. Deswegen muss eine
Zusammenhangsbedingung hergestellt und abgeleitet werden, damit sich
der Winkel Delta xsi herauskürzt.
Mechanik 1, virtuelle Arbeit und Schnittgrößen
http://youtu.be/OfJ8vh5xQWU
Ein geschlossener Rahmen mit einer Streckenlast
und einer Einzelkraft. Zuerst bekommt man keine einzige Kraft raus,
weder eine Gelenkkraft noch eine Lagerkraft. Man schneidet das
System an einer Stelle auf und macht es beweglich, Arbeitsgleichung
ist die Summe der Momente um die Eckpunkte mal den zugehörenden
Winkel. Mit der Kinematik kann man die Winkel ins Verhältnis
zueinander setzen und alle Delta phi rauskürzen. Man erhält eine
Gelenkkraft. Durch Summe der Momente um die Eckpunkte erhält man nun
alle Gelenkquerkräfte, mit Kräftegleichgewicht die Lagerkräfte und
die Normalkräfte in den Gelenken. N,Q,M zeichnen ist dann zunächst
einfach, jedoch erfordert das Maximalmoment unter der Streckenlast
noch die Integrationsmethode, wobei die Integrationskonstanten von
Anfang an bekannt sind.
Mechanik1, Reese, virtuelle Arbeit
http://youtu.be/vPYrgJ3DATM
Ein System besteht aus zwei abgewinkelten
Balken und zwei Stäben, wird durch zwei Festlager gehalten und durch
eine Kraft und ein Moment belastet. Zur Ermittlung der horizontalen
Lagerkraft Ah wird ein Gleitlager eingeführt, das System besteht aus
zwei Teilen, die sich um ihren Pol drehen, das rechte Teil dreht
sich doppelt so stark wie der obere Balken. Ah=f ist das Ergebnis.
Dann Stab S schneiden, das System besteht jetzt aus drei Teilen,
Drehungen um A und B sowie eine Translation.
Mechanik1, Klausur, Markert, A13
http://youtu.be/FDG9W0vNaWo
Aufgebe zur virtuellen Arbeit: Statt des
Variationsprinzips, dass am Ende auch durchgeführt wird, ist es
wesentlich schneller, den Pol des rechten Teiles einzuzeichnen, alle
Strecken zu vermaßen, Delta phi = 3 Delta Xsi als Kinematik zu
notieren, die Summe der Momente um den Pol zu bilden und nach C
aufzulösen. Die Verschiebungen von Gelenk und Gleitlager erhält man
so ebenfalls sofort.
Mechanik1, Stab 2 mit virtueller Arbeit
https://youtu.be/J_H13ifzb68
Stab 2 wird geschnitten, die Teile oben zu
starren Scheiben zusammengefasst. Stab 2 wird geschnitten, die
Winkel berechnet, wobei ein Winkel frei gewählt wird. Dann die
virtuelle Arbeit aufstellen und nach S2 auflösen.
Mechanik1 virtuelleVerrückung Dreigelenkbogenk
https://youtu.be/JpzYWdUXDps
Gleitlager B einführen, Pole einzeichnen,
Kinematik aufstellen, virtuelle Arbeit aufstellen, nach Bx auflösen.
-f ist das Ergebnis, Verschiebungsfigur einzeichnen, dann noch
Freikörperbilder gezeichnet und Schnittgrößen N,Q und M gezeichnet,
nicht verlangt, aber gute Übung.
Mechanik1, virtuelle Arbeit, Stromabnehmer
https://youtu.be/_o0q7_YGGcA
Die Geometrie muss zunächst geklärt werden,
Breite oben ist B=L sin al, damit Restbreite unten C=b-a, damit
Länge unterer Dreharm = c/sin be und h1 = c/tan be, h2 = L cos al.
Jetzt Kinematik aufstellen, h1 Delta be = h2 Delta al, und virtuelle
Arbeit P Delta z + 2 F s Delta al = 0, Höhe s der Feder ist h1-l cos
be = s = 34,1 cm. Dann einsetzen, Delta be kürzen und F=788 N
ausrechnen.
virtuelleArbeit,Dreigelenkbogen
https://youtu.be/RK79YwUHElA
Zunächst B in horizontal verschiebliches
Gleitlager mit Bh verwandeln, linkes Teil dreht um A, rechtes Teil
horizontale Translation, Delta x = 6m Delta phi, Arbeit aufstellen,
Kinematik einsetzen, Bh = -2,5 kN.
Jetzt vertikal verschiebliches
Gleitlager mit Bv, linler Teil dreht wieder um A, rechter Pol ergibt
sich durch senkrechte auf den Bewegungsrichtungen in G und B, der
Pol liegt 2m über A. Kinematik, Verschiebung des Gelenkes ist 4m
Delta phi2 = 6m Delta phi1, Arbeitsgleichung aufstellen, Bv =5kN
ausrechnen. Probe durch Summe MA, wobei BH, BV aus der virtuellen
Arbeit. ton
Virtuelle Arbeit, Träger mit vier Lagern
https://youtu.be/zr3m23l17Dc
Jeweils ein Lager wird gelöst, die Kinematik
aufgestellt, die virtuelle Arbeit aufgestellt und nach der
Lagerkraft aufgelöst. Am Ende zeichne ich noch die Freikörperbilder
und kontrolliere alles durch normales Gleichgewicht auf
Rechenfehler.
Mechanik1, virtuelleArbeit, Lagerkräfte und
Biegemoment
https://youtu.be/vungpLIyyxc
Lager in Gleitlager verwandeln, System
auslenken, Arbeit und Kinematik aufstellen und nach Ah, Av auflösen,
Gelenk bei B mit Momentenpaar einführen, rechte Seite auslenken,
Kinematik, nach Mb auflösen.
Virtuelle Arbeit, Klausur Reese
https://youtu.be/AnFfhEApj4g
Lager B in Gleitlager verwandeln, Pole
einzeichnen, Kinematik: Beziehung zwischen den Winkeln aufstellen,
virtuelle Arbeit aufstellen, Kinematik einsetzen, Ergebnis
ausrechnen.
Virtuelle Arbeit, Ah, Av am Dreigelenkbogen
https://youtu.be/LuuIy0cszBU
Lager A in horizontal verschiebliches
Gleitlager mit Kraft AH verwandeln, Senkrechten zu den
Bewegungsrichtungen in A und Gelenk ergibt den pol des linken
Balkens, Summe M um diesen Pol und jeden Term mit Delta phi
malnehmen ist die virtuelle Arbeit, Winkel rauskürzen, nach Ah
auflösen, Verschiebungsfigur zeichnen und dann das gleiche für Av.
Hamburg; 2.16, A4, Lager und Querkraft
bestimmen mit vA
https://youtu.be/og6pJgmMHC4
Lager entfernen und durch Kraft ersetzen,
Streckenlasten zu Resultierenden zusammenfassen, System um Winkel
delta phi 1,2 auslenken, Kinematik aufstellen, delta phi1 = 2 delta
phi 2, virtuelle Arbeit aufstellen, zum Beispiel das Moment um die
Pole bilden mal delta phi, gleich Null setzen, Kinematik einsetzen
und auflösen. Bei der Querkraft am Q-Mechanismus eine Querkraft so
ansetzen, dass sie auf der linken Seite nach unten, auf der rechten
nach oben wirkt, Winkel müssen auf beiden Seiten des Mechanismus
gleich groß sein, wir haben jetzt drei Teile, die sich um ihre Pole
drehen, das rechte Teil um das rechte Auflager. Am Ende kann zu zu
Kontrollzwecken noch ein Freikörperbild von allen Teilen gezeichnet
und mit Gleichgewicht geprüft werden.
Aufgabe 4, Ah mit virtueller Arbeit
https://youtu.be/7Wj1ai9Ix70
Lager A in Gleitlager mit Ah verwandeln,
Resultierende bilden, Kinematik aufstellen, virtuelle Arbeit
aufstellen, zweimal Summe M mal Delta phi, zweimal Summe Fx mal
Delta x, Kinematik einsetzen und auflösen.
Einspannmoment mit virtueller Arbeit
https://youtu.be/O_9dtGWRH8g
Einspannung durch Festlager mit MB ersetzen,
Pole finden, Kinematik aufstellen, Arbeitsgleichung aufstellen,
Kinematik einsetzen, Auflösen nach MB. Zur Probe noch Freikörperbild
mit bormalen Gleichgewicht aufstellen und schauen, ob das Ergebnis
stimmt.
VA A64 Markert
https://youtu.be/w_ISY93xjD8
Das Potential wird aufgestellt als F 2L sin phi
und abgeleitet zu delta PI = F 2L cos phi delta phi = - delta A, der
Zahlenwert ist -987,3 Nm. Das Vorzeichen bei der Arbeit ist negativ,
da der Winkel um elta phi größer wird als 30°, womit die Kraft F
nach oben verschoben wird und somit negative Arbeit leistet. Dagegen
nimmt das Potential PI oder Epot zu, da die Höhe über dem Lager
größer wird. Weil es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt,
beträgt der Winkel zwischen Seil und Horizontalen al = 15°, die
Seilkraft wird am Balken angetragen, in Horizontal- und
Vertikalanteil zerlegt und einfach die Summe der Momente um das
Lager gebildet, S= 1272 N ist das korrekte Ergebnis.
IAM Aufgabensammlung M1_VA_A001_T02_V001 Winkel
stabiles Gleichgewicht
https://youtu.be/MK8PLQWrygQ
Potential mgh aufstellen,
einmal ableiten, zu Null setzen und nach phi auflösen, auf Ergebnis
180° aufaddieren und in rad umrechnen, also mal pi durch 180°.
Stabiles Gleichgewicht ist dann, wenn der Schwerpunkt unterhalb des
Lagers, Ergebnis auf Plausibilität überprüfen.
M1_VA_A011_T11_V001 Arbeit, starrer Winkel mit
Feder
https://youtu.be/t-4rRBXIzDc
Potential pi = Epot =
mgh + ½ c delta L² aufstellen, ableiten, Vorzeichen umdrehen und
fertig. Oder Summe der Momente um das Festlager bilden, alles, was
in phi Richtung dreht, ist dann immer positiv. Bei Drehfedern ½ D
phi² abgeleitet ergibt D phi, phi in rad angeben. Weil pi = -A, sind
die Federn bei delta A immer negativ.
13) Stabilität
Mechanik1, Potential, Feder, Masse, Kraft
https://youtu.be/cPA-yrT2BFE
Potential aufstellen, Pi = mgh cos phi + F a
cos phi + 1/2 c Delta L² mit Delta L nach Pythagoras, Wurzel aus 2 a
(1-cos phi), Potential zweimal ableiten, erste Ableitung Null setzen
ergibt GG für Winkel Null und Pi, zweite Ableitung muss größer Null
sein, ergibt c größer als (m g h + F a) / 2a.
Mechanik1,Stabilität,ZweiBalken,Feder
https://youtu.be/P3E5ezNoM3o
Potential U = m g h + 1/2 c Delta L² bilden,
einmal ableiten, gleich Null setzen, ist Bedingung für
Gleichgewicht, einmal wenn cos phi = 0, weiter, wenn phi = arcsin
... ist. Untersuchung auf Stabilität mit der zweiten Ableitung.
Bedingung: sin phi kann höchstens 1 werden, bei zu weicher Feder ist
eine GG-Lage ungleich +- pi/2 nicht möglich.
Mechanik 2 Festigkeitslehre
1) Mohrscher Spannungskreis, Hooksches Gesetz,
Dehnung, Vergleichsspannung
Mechanik 2, Hohlrohr, Mohrkreis,
Vergleichsspannung
https://youtu.be/IFKVdjrALHs
Schnittgrößen N, Qy, Qz, Mt, My, Mz bestimmen.
Si = N/A+ My z/Iy-Mz y/Iz, Schubspannung aus Querkraft und Torsion
aufaddieren, Mohrkreis zeichnen, Hauptspannungen und Richtungen
ablesen, Treska Vergleichsspannung ausrechnen, Spannungstensor
herstellen.
Verschiebungsfeld, Volumendehnung, bilinearer
Ansatz
https://youtu.be/pl1Tm4mw6VI
Mit den Verschiebungen der 4
Eckpunkte lassen sich die 8 Koeffizienten des bilinearen Ansatzes
bestimmen, also:
u = a0 + a1x +a2y +a3 xy, v analog.
Jetzt den
Verzerrungstensor Epsilon aufstellen,
Epsilon xx ist die
partielle Ableitung u nach x,
Epsilon yy ist die partielle
Ableitung v nach y,
Epsilon xy ist die partielle Ableitung (u
nach y + v nach x)/2
Dann die Volumendehnung epsilon xx+ epsilon
yy + epsilon zz,
das ganze durch 3 geteilt ergibt den
hydrostatischen Anteil, und damit lässt sich der Verzerrungstensor
in einen Kompressor für die Volumenänderung und einen Deviator für
die Gestaltsänderung zerlegen.
A3,28.9.2012,Mohrscher
Spannungskreis
https://youtu.be/zZ5rs2rbLGo
Mit den gegebenen Werten den Mohrschen
Apannungskreis zeichnen, um den doppelten Winkel, also 2 mal 29°, im
Mohrkreis drehen und dort Sigma und Tau ablesen, dieses in der Fuge
einzeichnen. Die Konstruktion mit Zirkel und Winkelmesser reicht
aus, es braucht nicht gerechnet zu werden. Ist Tau im Mohrkreis
oben, so dreht der Pfeil im Uhrzeigersinn.
Hooksches Gesetz in drei Richtungen
https://youtu.be/v6xBzlsFxdA
Aus der Aufgabenstellung folgt: Epsilon 1 ist
Null, Epsilon 2 = -dL/L, Sigma3 =0, Temperatur ist Null. Da wir drei
Angaben in jeder Richtung haben, liefert das Hooksche Gesetz die
fehlenden Angaben, es wird in den Richtungen 1, 2 und 3 angesetzt,
die 1-Richtung liefert Sigma 1 = - nü q, die 2 Richtung liefert q
und damit Sigma 1, die 3-Richtung liefert die Dehnung in dieser
Richtung.
Lampe mit Nylonseil
https://youtu.be/OCgm_ChlffE
Die Seilkraft wird mit Summe MA berechnet, die
Seillänge setzt sich aus dem schrägen Stück und dem Vertikalstück
zusammen, die Längenänderung bekommt man über Umrechnung von 1° in
Bogenmaß, mal L, mal Sin 30°, Hooke ergibt dann die Seilfläche, die
man in den Durchmesser umrechnen kann.
Ohne Kleinwinkelnäherung
rechnet man die Diagonale neu über Pythagoras aus, die
Längenänderung ist dann neue minus alter Länge, aber weil sich der
Winkel auf 30,75° vergrößert hat, sist die Seilkraft nur noch 48,9N.
So kann ebenfalls der Durchmesser bestimmt werden, er ist dann etwas
kleiner als bei der Näherung. Weil das System statisch bestimmt ist,
gibt es keine Vorspannungen, S kann immer nur über Gleichgewicht
berechnet werden.
Mohrscher Spannungskreis
https://youtu.be/LmlUOJp6h34
Zunächst Korrektur der
falschen Zeichnung in der Aufgabenstellung, Sigma xx zeigt nach
links, Sigma yy nach unten. Mit Sigma xx, Txy wird ein Punkt des
Mohrkreises eingezeichnet, mit Siga xsixsi, Tau ethaetha der andere
Punkt, der zufällig eine Hauptspannung ist, da die Schubspannung
Null ist. Punkte verbinden und Mittelsenkrechet ergibt den
Mittelpunkt des Mohrschen Spannungskreises.
Bonuspunktaufgabe
https://youtu.be/96DBB4uKNBM
Es ist nur der linke
Zapfen relevant, die Spannung oben ist Kraft pro Fläche, wird gleich
Sigma zul gesetzt und nach L aufgelöst, die Kraft ist P + rho g L A.
Dann die Spannung an der Stelle x ausrechnen. P/A + rho L g, durch E
geteilt ergibt die Dehnung und dann von 0 bis L integrieren ergibt
die Längenänderung.
Die letzte Aufgabe: Summe MA = 0 ergibt eine
Gleichung für S1, S2, und weil die Längenänderung rechts dreimal so
groß ist wie links, kann man für delta L noch S L / EA + al
delta Teta L einsetzen, und man erhält die zweite Gleichung
2) Fachwerke
Mechanik2 ,Selbstrechenübung 4, Aufgabe 2
http://youtu.be/NVV3mpaSjM8
Es werden drei Verfahren gezeigt, ein
grafisches, der Williot Verschiebungsplan, bei dem zuerst mit
Gleichgewicht die Stabkräfte berechnet werden, dann mit dem
Hookschen Gesetz die Längenänderungen der Stäbe, und dann werden im
Prinzip Kreise mit den neuen Stablängen geschlagen, die aber wegen
delta L viel kleiner als L durch Tangenten ersetzt werden müssen,
arbeiten mit zwei verschiedenen Maßstäben. Dann ein Verfahren mit
Steifigkeitsmatrix und Last + Verformungsvektor, und dann noch der
Arbeitssatz mit virtuellen Kräften. Ich kann diese
Lösungsmöglichkeiten für Stabwerke gerne nochmal allgemein erklären,
zu 2 habe ich ein Skript in Dischinger Repetitorien hochgeladen.
Auch den Lösungsweg 2 gibt es als pdf Datei in der Aufgabensammlung
als Aufgabe 3 in Tusche, also besserer Qualität zum Ausdrucken.
Mechanik2,Stabwerk,virt.Kräfte
https://youtu.be/aSdPcmHFpSU
Ersatzsystem: Lager C wegnehmen, So und S1
Kräfte ausrechnen, Überlagern in Tabelle, delta10,delta11 und
x1=c=-delta10/delta11 ausrechnen. Alle weiteren Kräfte durch
Addition, So + x1 S1 Werte aufaddieren, geht auch für Lagerkräfte,
und auch für S3.
Mechanik2, Stabwerk, virtuelleKräfte
https://youtu.be/swuwQMyjwUc
Ersatzsystem: S6 schneiden, für Lasten S0
Kräfte berechnen, für X1=1 S1 Kräfte, für gesuchte Verschiebung S2
Kräfte, Tabelle mit Stabnummer, Länge, S0,S1 S2 anfertigen, X1 = -
Delta 10 / Delta 11, Knotenverschiebung = Delta 20, Delta 10
bedeutet: jeweils Stablänge mit Stabkraft aus Null und Stabkraft aus
Ein"fläche" malnehmen und aufaddieren.
Mechanik2, Fachwerk, Seilzug, Einzelkraft
https://youtu.be/-bumREv1hSY
Aufbaukriterium zeigt die statische
Bestimmtheit hinreichend und schnell, und gibt gleichzeitig die
Reihenfolge des Kontenabbaus zur Bestimmung der Stabkräfte vor. Den
Abzählvers 12=12 führe ich auch vor und bestimme alle Stabkräfte mit
6 Knotenschnitten und die Lagerkräfte. Stabkräfte in Tabelle
eintragen. Einskraft am Lager c ansetzen und Delta 10 bilden ergibt
uc. Hätte man hier mit Hooke (Längenänderungen 4+5 aufaddieren)
einfacher haben können, aber Verschiebungen von F kann man so dann
nicht bekommen. Dann noch gezeigt, wie man die Lagerkräfte direkt
bekommt, virtuelle Arbeit der Statik.
Starrer Balken mit drei Federn
https://youtu.be/dXEUgDf2Fpo
Rechts Serienschaltung, Feder mit c/2.
Resultierende qL bilden, Balken um Winkel phi drehen, Federkräfte c1
L/2 phi, c2 L phi, c3 3L/2 phi antragenn mit c1 = EA/L. c2 = 2 EA/L
und c3 = c/2. Dann Summe MA = 0, Nach Winkel auflösen, ergibt alle
Stab- und Federkräfte, Summe der Vertikalkräfte ergibt
Festlagerkraft, Verschiebung des Endpunktes ist 3L/2 phi.
Starrer Balken mit zwei Stäben und zwei Federn
https://youtu.be/uJvaG2tseJU
System um Winkel phi auslenken, alle Stabkräfte
antragen mit EA/L Stab mal dL, Federkräfte antragen, Summe Ma ergibt
phi. Gleichsetzen von Stab- und Federkraft ergibt dann c.
Mechanik 2 Hausübung Markert, Aufgabe 1/3
https://youtu.be/fdR0IsNUwMk
Die Angabe der Fläche ist grober Unfug, bei einem
Kreisquerschnitt des Stabes würde sich ein Durchmesser von 178 mm
ergeben, man versuche mal, sich einen solchen Stab mit 200 mm Länge
vorzustellen.
Ansonsten Schema Verschiebungsmethode.
1)
Verschiebung u ansetzen
2) Geometrie: Längenänderung dL = u sin
al
3) Hooke: Stabkräfte Si = EA/L dLi
4) Gleichgewicht: Summe
Fx1 aufstellen und Stabkräfte einsetzen
5) Gleichung: (EA/L
sin²al) *2*u =-F
ergibt u = -9,187 * 10 (5) mm, das Ergebnis ist
natürlich irrsinnig klein bei den unsinnigen Vorgaben. Probe durch
Einsetzen in Hooke, liefert Stabkräfte, und dann ins Gleichgewicht,
prüfen, ob Summe F noch Null ist.
Mechanil 2, MArkert, Hausübung, Aufgabe 3.3
https://youtu.be/L3nKlqf9g-0
Die Angaben machen wieder keinen Sinn. Gegeben
ist ein Balken mit EA = Unendlich, gemeint ist aber EI = unendlich,
und diese Angabe ist bei einer Balkenlänge von 4*8 m nicht gerade
sinnvill, auch die Stäbe aus Aluminium hätten einen Durchmesser von
11,3 cm, wenn sie einen Vollkreisquerschnitt hätten, und G ist ein
Blumentopf.
Wenn man mit den voööig unsinnigen Angaben
weiterrechnet, ergibt sich eine Stabkraft S1 von 8 399 910 N und S2
= -25 200 030 N, man vergleiche mit der Kraft G. Aufgabenstellung
und Ergebnisse sind fern jeglicher Realität.
1) Balken als starr
annehmen, um Winkel phi drehen
2) Geometrie: Längenänderungen dL1
= 3 a phi, dL2 = a phi,
3) Hooke: Si = EA/L dL - E A al dT
4)
Gleichgewicht, Summe Ma = 0 und Hooke einsetzen ergibt
Winkel phi
= 0,00700 und oben erwähnte Stabkräfte.
Zwei starre Platten, zwei Zylinder,zwei Federn
https://youtu.be/21D3Pn9cIxo
Zuerst Lösung mit Verschiebungsmethode:
1)
Teile durchnummerieren, Verschiebungen u1, u2 ansetzen
2)
Geometrie: Längenänderungen durch u1,u2 ausdrücken
3) Hooke: F1 =
E A1/L1 u1 - E A1al dT1, F2 = E A2/L2 (u2-u1) - E A al dT2F3 = c u2
- l al dT3
4) Gleichgewicht: F2-F1 =0, -F2-2 F3
=0
5) Einsetzen, Gleichungssystem nach u1, u2 auflösen
6) ui
in Hokke einsetzen ergibt alle Kräfte, F3 = 34,52 kN
Lösung mit
Verträglichkeitsbedingung:
dL1+dL2 = dL3
Kraft in Feder sei
F, dann in beiden Zylindern - 2 F, Hooke in Verträglichkeit
einsetzen und nach F auflösen. Problem: Anzahl der Federn ist
unklar, ich habe 2 Federn angesetzt.
Querbalken,Abkühlung, Verschiebungsmethode und
Verträglichkeitsbedingung
https://youtu.be/TKgruCHqW-Y
In diesem Video wird die Aufgabe nochmal mit
beiden Methoden gelöst, Verschiebungsmethode und
Verträglichkeitsbedingung, die Ergebnisse stimmen miteinander
überein, wie nicht anders zu erwarten.
Längenänderung eines
Schwarz weißen Stahlhohlträgers mit Feder
https://youtu.be/nlDyIo2XNWk
Lösung mit
Verträglichkeitsbedingung:
In der Symmetrieachse ist die
Verschiebung Null
Teile durchnumerieren
Verträglichkeitsbedingung: dL1+dL2+dL3+dL4 =0
Statisch
unbestimmte Kraft F ansetzen (Richtung beliebig)
Gleichgewicht:
N1=N2=N3 = Federkraft = -F
Hooke: Längenänderungen formulieren
und aufaddieren
Auflösen nach F ergibt Federkraft
-F/c =
Längenänderung der Federn
dL Stahlblock = 2F/c
Probe: Alle dLi
ausrechnen mit der bekannten Kraft F und sehen, ob die Summe noch
Null ist, erspart dumme Rechenfehler.
Hü4,A1,dreiteiliges System mit Längenänderung
https://youtu.be/uXCNzFoo5Tk
Normalkraft F einführen, die drei Teile werden
um dL = Summe F Li/Ei Ai länger, Gleichung nach F auflösen. Dann
Spannungen F/Ai ausrechnen, die Verschiebung von P ist die
Längenänderung von Teil 3 + die Hälfte der Längenänderung von Teil 2
HÜ4,A3,zweiteiliges System mit Temperatur,
Verschiebungsverlauf
https://youtu.be/SQixCGR6S6s
Kraft F einführen, Gesamtlängenänderung ist
Null, Hooke, dL1, dL2 ausrechnen, addieren und zu Null setzen ergibt
F.
Jetzt u1´ = Dehnung Teil 1 = al Delta Teta - F/EA einmal
integrieren, dasselbe für u2, drei Randbedingungen aufstellen:
Verschiebung oben und unten ist Null, in der Mitte gleich, ergibt
drei Gleichungen für die Kraft und die beiden
Integrationskonstanten, da die Kraft schon anderweitig berechnet
wurde, braucht man nur noch 2 dieser Gleichungen auszuwerten, die
dritte ist Probe.
HÜ4,A2,zweiteilige Säule mit schwerem Deckel
https://youtu.be/tB4BUsp2j1Q
Hooksches Gesetz auflösen
nach F, ergibt F = EA/L dL - E A al Delta Teta, Temperatur hier
Null. Gleichgewicht G = F1+F2,
Hooke einsetze, nach Delta h
auflösen, dieses wieder in Hooke einsetzen ergibt F1, F2. Spannungen
= Fi/Ai.
Stabwerk mit drei Stäben, einer sei starr
https://youtu.be/L5N6HndrxRg
Zwei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen für
die 3 unbekannten Stabkräfte. Verschiebung u senkrecht des Stabes
mit EA = Unendlich aufstellen, u zerlegen ergibt Delta L2 = U sin
al, Delta L1 = u sin 2 al, u aus den Gleichungen rauswerfen ergibt
die Verträglichkeitsbedingung, in die das Hooksche Gesetz
einzusetzen ist.
3) Differentialgleichung der Biegelinie
Mechanik2, Klausur Reese, Datum
9.8.2014,Aufgabe1,DGL der Biegelinie
http://youtu.be/HNjdWMSx_lQ
Ein abgewinkelter Balken, Festlager,
Gleitlager, Einzelkraft und Feder: An jedem Endpunkt zwei, an jedem
Übergangspunkt 4 Bedingungen aufstellen, geometrische Bedingungen,
also w und w´, ohne EI, statische Bedingungen, also w´´ und
w´´´, mit EI. Bei Schnitten Q in -EIw´´´ und M in -EI w´´ umwandeln,
also Pfeilrichtungen wegen des Minuszeichen gegenüber dem
Normkästchen umdrehen.
Mechanik2, Klausur Reese,
A1, DGL
http://youtu.be/EecjAgtaZs8
M wird mit Integration von q und Q aufgestellt,
in w´´ eingesetzt, nochmals zweimal integriert, c1,c2 sind Null
wegen w´(0)=0 und w(0)=0, Av ist Null wegen Summe Vertikalkräfte,
dann Moment an Stelle L ausrechnen und auf w´(L)= M/cm schließen.
Mechanik2, Träger mit Dreieckslast
https://youtu.be/70JUgsXbphU
Ein Balken auf zwei Stützen wird durch eine
Dreieckslast belastet. Die DGL w""=q/EI wird 4 mal integriert und
die Integrationskonstanten bestimmt. Die Verformung in Feldmitte
wird ausgerechnet,. Der Träger wird durch einen identischen Träger
in der Mitte verstärkt. Die Kontaktkraft wird ausgerechnet, 5/32 ql.
Durch diesen Träger wird die Verformung halbiert.
Dann war noch
gefragt, an welcher Stelle beim unverstärkten Träger das
Maximalmoment auftritt: Dort, wo M´=Q=0 wird, es ergibt sich x = L
durch Wurzel 3, das Moment Mmax ist dann q L²/9 Wurzel3.
Mechanik2, Träger mit Dreieckslast
https://youtu.be/70JUgsXbphU
Ein Balken auf zwei Stützen wird durch eine
Dreieckslast belastet. Die DGL w""=q/EI wird 4 mal integriert und
die Integrationskonstanten bestimmt. Die Verformung in Feldmitte
wird ausgerechnet,. Der Träger wird durch einen identischen Träger
in der Mitte verstärkt. Die Kontaktkraft wird ausgerechnet, 5/32 ql.
Durch diesen Träger wird die Verformung halbiert.
Dann war noch
gefragt, an welcher Stelle beim unverstärkten Träger das
Maximalmoment auftritt: Dort, wo M´=Q=0 wird, es ergibt sich x = L
durch Wurzel 3, das Moment Mmax ist dann q L²/9 Wurzel3.
Mechanik2,DGLderBiegelinie,KatzeamTrägerende
https://youtu.be/3q_Mf2fih2k
Die DGL w´´´´=q/EI, q=0, wird viermal
integriert, ergibt 4 Integrationskonstanten, die mit den
Randbedingungen:
1) links Verschiebung Null
2) links
Verdrehwinkel Null
3) rechts Verdrehwinkel Null
4) rechts
Verschiebung h
bestimmt werden können. Aus Q = - EI w´´´ und M =
- EI w´´ am rechten Ende werden M und Q bestimmt und umgekehrt auf
die Katze losgelassen.
Jetzt Katze freischneiden, C=0, Summe MD
ergibt F, Summe V ergibt D.
DGL,Biegelinie,Dreieckslast,Einfeldträger mit
Kragarm
https://youtu.be/djptaAtCwO8
EI ausrechnen, auf Dimensionen achten,
Gleichgewicht am Gesamtsystem ergibt Lagerkräfte, Schnitt an Stelle
x zwischen 0 und L führen, M bestimmen, DGL zweimal integrieren und
RAndbedingungen W bei A und B ist Null einsetzen ergibt c1 und c2.
Weiterhin ergibt w´(0) den Verdrehwinkel am linken Ende, aus w´=0
ergibt sich der Ort von w min als L/ Wurzel 3, der in w eingesetzt
den Betrag von w min ergibt.
Jetzt den rechten Bereich integrieren, das
Moment aufstellen, zweimal integrieren, Integrationskonstanten c3,
c4 bestimmen, da w an Stelle B Null und w´ an Stelle B aus dem
ersten Bereich berechenbar ist. Dann Durchbiegung und Verdrehwinkel
am freien Ende ausrechnen.
DGL Biegelinie,abgewinkelter Träger mit zwei
Kräften
https://youtu.be/Zj6Xfaz9Sqo
Gesamtsystem, Vertikalkraft in A ist Null, AH,
B bestimmen, M1=0, M2 = F- F (x-L) , zweimal integrieren, vier Rand-
und Übergangsbedingungen, W´ an beiden Enden und w min ausrechnen,
dann Kragarm rechts ansehen, wieder M aufstellen und zweimal
integrieren, zwei weitere Randbedingungen angeben.
A2 vom 28.9.2012,DLD,Symmetrieausnutzung
https://youtu.be/igV9lFd8Jok
System in Mitte aufschneiden, verschiebliche
Einspannung einführen, Gleichgewicht ergibt Lagerkrafr qL/2 und
Moment - Q L²/6 = konst im mittleren Bereich. Das Moment im Bereich
der Dreieckslast bestimmen, die DGL in zwei Bereichen zweimal
integrieren, 4 Rand- und Übergangsbedingungen angeben und ggf. die 4
Integrationskonstanten bestimmen.
In Symmetrieachse ist w´=0, am
Lager w=0 auf beiden Seiten, und w´ ist am Lager gleich groß.
Aufgabe2,DGL Biegelinie
https://youtu.be/l-EcSCCj9qs
System ist statisch bestimmt, Lagerkräfte mit
Gleichgewicht ausrechnen. Jetzt eine Koordinate x vom Lager A aus
einführen, wird vorgeführt, oder zwei Koordinaten x1, x2 von A und F
aus, wäre eine Alternative.
Kragarm mit Gleichstreckenlast und Stab am Ende
https://youtu.be/L_5_-bvjtBo
Die Stabkraft wird als statisch unbestimmte
eingeführt, das System an der Stelle x geschnitten, das
Schnittmoment in die DGL der Biegelinie eingesetzt und zweimal
integriert. Die Formänderungsbedingung sagt aus, dass sich Balken-
und Stabendpunkt um den gleichen Betrag verschieben müssen, dies
ergibt die Stabkraft. Die Klammer (L-x)2 kann auf zwei
verschiedene Weise integriert werden, einmal als – (L-x)³/3 usw.,
dann werden aber die Integrationskonstanten nicht Null, oder
ausmultipliziert mit der binomischen Formel, dann sind beide
Integrationskonstanten Null.
Kragarm mit Einzellast und unterschiedlichen
Steifigkeiten
https://youtu.be/9mpZ4rOToKk
1) Arbeitssatz: M0 und M1
Fläche aufstellen und abschnittweise überlagern, also Dreieck rechts
und Trapez links.
2) Superposition: w und w´ in der Mitte
ausrechnen, der linke Kragarm wird mit F und M = Fa belastet, dann
den rechten Kragarm:
w= Fa³/3EI + wm + wm´ a
3) DGL
Biegelinie: Moment ist Kraft mal Hebel, also f mal 2a-x und negativ,
zweimal integrieren ergibt 4 Integrationskonstanten, x einmal von 0
bis a, einmal von a bis 2a. Randbedingungen w, w´ links sind
Null, c1, c2 fallen weg, Übergangsbedingungen: w und w´ in der Mitte
sind gleich, ergibt wc3 und c4, und jetzt x=2a ergibt Verschiebung
rechts.
4) Mohrsche Analogie
Federkonstanten an statisch bestimmten Systemen
mit Überlagerung
https://youtu.be/D6kmJRIM8Q8
Die Überlagerungstafel wird erklärt. Anwendung
auf einen Kragarm mit Streckenlast. Ein Kragarm mit Einzelkraft wird
in eine Feder verwandelt. An dem Beispiel wird die Formel zur
Berechnung der Federkonstanten für statisch bestimmte Systeme
hergeleitet, 1-Kraft ansetzen, M1 Fläche zeichnen, c = 1/delta11 =
Ei / Tafelwert / Maximalmoment²/Länge.
Die Formel wird auf
verschiedene Träger angewendet, auch die Umwandlung in Drehfedern
wird gezeigt.
5) Superposition
Kragarm mit Feder und Streckenlast https://youtu.be/x7N8u0lxPHc
Es handelt sich um eine Parallelschaltung, weil
die Verformungen von Kragarm und Stab gleich sind und sich die
Kräfte addieren. Die Verformung des Kragarmendes beträgt q L^4/ 8EI
- S L³/ 3EI = S/c
Auflösen nach der Stabkraft ergibt S, w ist
einfach S/c.
I = Flächenträgheitsmoment des Kreisquerschnittes =
pi r^4/4
Querkraft und Momentenfläche zeichnen, Qo, Mo umd Mmax
ausrechnen.
Herleiten der Formeln q L^4/8 EI, S L³/3EI
a)
mit dem Arbeitssatz, Überlagerungstafel
b) mit der
Differentialgleichung der Biegelinie
Herleitung des
Flächenträgheitsmomentes über Integration.
Mechanik2, Feder und Drehfeder
https://youtu.be/oLLg3WME-Rw
Lagerkräfte A,B ansetzen, Gesamtsystem, Summe
Ma ergibt B = 7/8 P, idt Druckkraft in Feder, Summe Fy ergibt A =
P/8, linkes Teilsystem, Summe MG, ergibt Drehfedermoment p a/8.
Winkel phi1, phi 2 einführen, a phi1 + a Phi 2 = Längenänderung der
Feder, also 7/8 P/c.
Winkeldifferenz phi1-phi2 = M/Cm ergibt
zweite Gleichung, Auflösen, Phi1=P / 2ac, Phi 2 = 3P / 8ac
Mechanik2, Temperatur, Cu, Al.
https://youtu.be/b28iym6HCIE
rechte Wand entfernen, Verschiebung um 1/2 al
Dt L1, erzeugt statisch unbestimmte Kraft, die um F L1/E1/A1+F
L2/E2/A2 zurückdrückt, Gesamtlängenänderung bleibt Null, nach F
auflösen, Spannungen sind Kraft durch Fläche, Verschiebung ist F2
L2/E2/A2
Mechanik2,Superposition,
Streckenlast,Einzellast,zwei Kragarme, Stab
https://youtu.be/tofpFkNNVo0
Stab in B aufschneiden, w oben und unten
berechnen und gleichsetzen ergibt S. Dazu unten mit Kraft F
"Verlängern eines Kragarms", also Winkel mal Restlänge für F
dazuaddieren. Dann Wa ausrechnen, dann WB zu Null setzen, gibt zwei
bereits bekannte Gleichungen, die erste ergibt S in Abhängigkeit von
q, die zweite dann F in Abhängigkeit von q.
Superposition,Balken,Stab,Knicke
https://youtu.be/9JRmehjRbF0
Der Kragarm von A bis zur biegesteifen Ecke
wird freigeschnitten, Belastung: F, FL, BL, und nun w´ und w
ausgerechnet. Dann der Horizontal Balken: w´L - BL³/3EI ist die
Verformung w im Gelenk, diese ist aber auch BL/EA, Gleichsetzen.
Dann B noch mit Euler Knickkraft ausrechnen, Lo =2L. Am Ende
Horizontalverschiebung des Kraftangriffspunktes durch "Verlängern"
des Kragarms von der biegesteifen Ecke nach oben.
Superposition,Balken,4L,Gleichstreckenlast
https://youtu.be/eqZiff9QH0Y
Balkon absägen, Kraft qL, Moment qL²/2
ansetzen, von unten Kraft B. Streckenlast auf voller Länge 3L
ansetzen und im linken Bereich wieder abziehen.
Vormänderungsaussage: Vertikalverschiebung oberhalb und unterhalb
des Gelenkpunktes in C ist gleich. Damit B ausrechnen, und dann
Verformung in D bestimmen. Die Angabe, der Vertikalbalken besitzt
das gleiche EI wie oben und außerdem noch EA, ist fragwürdig, ÈA ist
in diesem Fall in guter Näherung unendlich groß, oder die Stütze hat
einen wesentlich kleineren Querschnitt als der Horizontalbalken.
Abgewinkelter Balken mit Einzelkraft,
Deieckslast und elastischem Stab
https://youtu.be/5EAeYWMCAm0
Lösung mit Superposition: Man lerne ein paar
einfache Lastfälle auswendig, die man mit der DLG leicht herleite
kann. Dann stelle man eine Formänderungsaussage w1 = w2 aus, Säge
den Kragarm oberhalb des Stabangriffspunktes ab und trage die
Schnittgrößen an. Dann berechnet man die Horizontalverschiebung
dieses Punktes und setzt sie gleich dL des Stabes, womit man S hat.
Dann kann man mit dem gleichen verfahren oben die
Horizontalverschiebung berechnen. Ich lade auch das
Superpositionsskript hoch, und rate, zuerst die Grundtechniken
Verlängern und Absägen eines Kragarms zu verstehen und dann erst
diese Aufgabe zu lösen.
6) Schiefe Biegung, Flächenträgheitsmomente
Trägheitsmoment Rohr
http://youtu.be/DDZRe4fZtTQ
Ein Rohr wird dünn- und dickwandig
durchgerechnet. Weil die Rohrhälften durch einen Spalt getrennt
sind, muss der Doppelsteiner angewendet werden.
Flächenträgheitsmomente des Viertelkreises und
der Viertelellipse
http://youtu.be/P4wsRETI8Y4
Zuerst wird ein Viertelkreis genommen, r, dr,
phi und dphi eingezeichnet, der Umgang mit Doppelintegralen erklärt,
Fläche und Schwerpunkt zur Übung herheleitet, sind bekannt. Dann das
Flächenträgheitsmoment in y und y Richtung sowie das
Deviationsmoment Integral y z dA berechnet, zuerst bezüglich des
Kreismittelpunktes P, dann mit Hilfe des Steinerschen Satzes bezogen
auf den Schwerpunkt. Zum Schluß wird erklärt, wie aus dem
Viertelkreis durch eine einfache Verzerrung mit den Faktoren a/R und
b/R auf die Ellipse geschlossen werden kann.
Mechanik2, Klausur Reese, A2: Schiefe Biegung
http://youtu.be/KC-aemkY23g
Berechnung von Iy, Iz, Iyz,
Hauptachsentransformation, dann neutrale Faser und
Spannungsverteilung mit und ohne Hauptachsentransformation.
Mechanik2, Schweißnaht
https://youtu.be/cFz2cpEBsYk
Eine Schweißnaht, aufzuteilen in drei Flächen,
Schwerpunkt und I bestimmen, Moment und Spannung bestimmen,
Schubspannung nach Q S / (I B) berechnen, zulässiger Wert bei weitem
überschritten.
Zweiachsige Biegung, Rechteckträger mit Loch
https://youtu.be/AK_HAKtoA6E
Flächenträgheitsmomente ausrechnen, Lagerkräfte
bestimmen, Freikörperbild, Q- und M-Fläche, in der anderen Richtung
nur zweimal q L Quadrat/8 einzeichnen. Größte Zugspannung oben
links, Spannungsverteilung einzeichnen.
Deviationsmoment eines rechtwinkligen Dreiecks
mit Hilfe des Satzes von Steiner
https://youtu.be/i-rlS5JTx8Q
Koordinatensystem im Eckpunkt, infinitesimale
Fläche dA einzeichnen, dA, y und z zu dessen Schwerpunkt berechnen,
b²h²/8 für das Deviaionsmoment bzgl. Ecke rausbekommen. Mit Satz von
Steiner in S dann b²h²/72. Auf Definition achten, hier Iyz=+
Integral y z dA.
Schiefe Biegung, Berechnung der Flächenmomente,
Nulllinie und Spannungsverteilung
https://youtu.be/cFwiQUFEjPA
Querschnitt aus drei Rechtecken, Schwerpunkt,
Iy, Iz und Iyz werden berechnet, die Nulllinie eingezeichnet und die
maximale und minimale Spannung berechnet. Dann wird die
Spannungsverteilung so eingezeichnet, dass man die Spannung jedes
Punktes sofort graphisch abgreifen kann.
schiefe Biegung, z-Profil, Kragarm, nur My
https://youtu.be/2Nd_cQOnrq0
Berechnung der Querschnittswerte Iy, Iz, Iyz,
Schnittgröße nur My = -FL, Spannungsformel, Koordinaten von A, B
einsetzen ergibt die Spannungen, Nulllinie durch z = iyz/Iz y, ist
um 54° gegen die Horizontale geneigt, jetzt Spannungsverteilung
einzeichnen. Horizontale und vertikale Verschiebung mit F L³/3EI, I
widr für vertikal und horizontal ausgerechnet mit Iy Iz-iyz² geteilt
durch Iz bzw. Iyz.
Mechanik2, zweiU-Profile, Dreieck,
Lochhalbkreis
https://youtu.be/D-pWxI2GoGI
Profilwerte aus Tabelle nachschlagen, Tabelle
mit 4 Flächen und 4 Einzelschwerpunkten machen, vom Mittelpunkt des
Halbkreises aus gerechnet. A, ys und zs ausrechnen. Dann Iy, Iz und
Iyz für das Gesamtteil ausrechnen, Mohrschen Trägheitskreis schlagen
und Hautträgheitswerte ablesen oder besser ausrechnen.
Mechanik2 schiefe Biegung 2U-Profile, ein
L-Profil, ein Blech
https://youtu.be/isfGTZroeFs
Querschnittswerte aus Tabellenwerken
raussuchen. Tabelle zur Schwerpunktsberechnung mit Ai, yi und zi von
einem frei wählbaren Bezugspunkt anfertigen, ys, zs ausrechnen, Iy,
Iz, Iyz ausrechnen, bei Iyz einige Gedanken machen zu den
Vorzeichen: Ich benutze die Definition Iyz =+ Integral y z dA,
je nach Lage des L-Profils kann Iyz positiv oder negativ sein.
Mohrscher Trägheitskreis, Hauptträgheitsmomente,
Hauptträgheitsachsen einzeichnen, Spannungsverteilung für N=0, Mz=0,
My = 100 kNm zeichnen, dazu neutrale Achse. Spannungsumrechnung:
Umrechnung: 1kN/cm² = 10 N/mm²
Mechanik2, Flächenträgheitsmomente, Halbkreis,
3 Rechtecke
https://youtu.be/5jb8BfS6GQ4
Schwerpunkt vom Halbkreismittelpunkt berechnen,
dazu Tabelle mit Ai, yi, zi anfertigen. Dann Iy, Iz und iyz = +
Integral y z dA ausrechnen, zuerst auf Punkt P bezogen, dann den
Steineranteil abziehen.
Mechanik2, Rechteckkasten mit schrägem Blech
https://youtu.be/82nizLMi4IU
Schwerpunkt bestimmen, wahlweise mit 5 oder mit
zwei Flächen, Formeln für Flächenträgheitsmomente, Iy, Iz und Iyz
ausrechnen, einmal schnell über Punkt P, einmal umständlich mit 5
Steineranteilen, Hauptachsentransformation, Mohrscher Trägheitskreis
odr Transformationsformeln
A1, 28.9.2012,Schiefe
Biegung,Punktsymmetrie,Quadrat mit Löchern
https://youtu.be/lvYmW3cynzA
Wegen Punktsymmetrie liegt der Schwerpunkt in
der Mitte, Fläche, Iy, Iz und Iyz ausrechnen, Schnittgrößen My, Mz
und N, Mz ist hier Null, Spannung zu Null setzen, zwei Punkte y, z
bestimmen, indem man einmal y, einmal z zu Null setzt, und Nulllinie
einzeichnen. Punkte mit Sigma max, min bestimmen und Spannungen
ausrechnen. Spannungsverteilung einzeichnen. Dies ist die Lösung
ohne Hauptachsentransformation, die wesentlich schneller geht als
die mit Transformation.
Flächenmomente zu y = Wurzel x
https://youtu.be/0l2xMnoXFwY
Da y und x ausdrücklich die Einheit Meter
haben, ist die Gleichung y gleich Wurzel x dimensionsmäßiger Unsinn,
und damit wäre eine Klausuraufgabe bereits beendet.
Ich ergänze
in der Wurzel hinter dem x noch m, also ein Meter, teile die
Gesamtfläche in unendlich viele unendlich kleine Rechtecke der
Breite dx und der Höhe Wurzel x auf und integriere die drei
Flächenträgheitsmomente. Beim "Deviationsmoment" Ixy ist noch die
Definition zu beachten, bei mit + Integral x y dA.
Wurzelfunktion, Flächenmomente mit
Doppelintegral
https://youtu.be/U_NHXqnpvSI
Die Fläche sei dx dy. zuerst wird über y
integriert, von 0 bis Wurzel x. Dann wird über x integriert, von 0
bis L, L =4m. Das die Aufgabe dimensionsmäßig falsch gestellt wurde,
hat sich nicht geändert.
Flächenträgheitsmoment aus Dreiecken
und Rechtecken
https://youtu.be/7xBTcJPuQP4
Aufteilen der Fläche, Schwerpunkt ausrechnen, Iy bzgl. P
ausrechnen und Steineranteil abziehen oder direkt Iy ausrechnen, Iz
ist unproblematisch. Die wichtigsten Formeln für Rechteck und
Dreieck.
7) Torsion
Räumliches System
https://youtu.be/4hNgnxdDyxg
Statische Bestimmtheit mit Abzählkriterium,
alle Lagerkräfte mit Gleichgewicht, Schnittgrößenflächen, Formel für
Innenradius aufstellen, Mt zu hoch, Außenradius muss größer gewählt
werden, dann r1 und r2-r1 ausrechnen.
Mechanik2, Torsion und Normalspannung am
Kranbahnträger
https://youtu.be/Ai505TYTfs8
Mit der ersten Bredtschen Formel wird die
Schubspannung aus Torsion bestimmt, mit der zweiten Bredtformel der
Torsionswinkel am freien Ende. Die Normalspannung ist Kraft durch
Fläche, und mit der Mieses Gestaltsänderungshypothese wird dann eine
Vergleichsspannung berechnet.
8) Spannungsnachweis
Mechanik2, Spannungsnachweis, zwei Balken und
Stab
https://youtu.be/Rmbgrxd7-MA
Gesamtsystem, Summe MA,Fx,Fy ergibt
Lagerkräfte, Unterer Balken, Summe Mg, ergibt Stabkraft,
Freikörperbilder zeichnen, Gelenkkräfte mit Kräftegleichgewicht,
überprüfen, ob alle Teile im Gleichgewicht sind.
N,Q und
M-Flächen zeichnen, Spannung ausrechnen und nach Radius r auflösen,
dazu Normalkraftanteil einfach weglassen und Ergebnis etwas
aufrunden.
Mechanik2, Biegung, Torsion, Querkraftschub,
Mieses
https://youtu.be/G4g4GpvdWwc
Flächenträgheitsmoment und My ausrechnen ergibt
Zugspannung oben, Bredtsche Formel und Querkraftschubspannung ergibt
Tau, Mohrscher Spannungskreis, al, Hauptspannungen ausrechnen,
Spannungen skizzieren, Vergleichsspannung nach Mises.
9) Schubspannungen
Mechanik 2, Hohlrohr, Mohrkreis,
Vergleichsspannung
https://youtu.be/IFKVdjrALHs
Schnittgrößen N, Qy, Qz, Mt, My, Mz bestimmen.
Si = N/A+ My z/Iy-Mz y/Iz, Schubspannung aus Querkraft und Torsion
aufaddieren, Mohrkreis zeichnen, Hauptspannungen und Richtungen
ablesen, Treska Vergleichsspannung ausrechnen, Spannungstensor
herstellen.
Mechanik2, Schweißnaht
https://youtu.be/cFz2cpEBsYk
Eine Schweißnaht, aufzuteilen in drei Flächen,
Schwerpunkt und I bestimmen, Moment und Spannung bestimmen,
Schubspannung nach Q S / (I B) berechnen, zulässiger Wert bei weitem
überschritten.
Schubmittelpunkt, Tau aus Q und Mt
https://youtu.be/g2WlV9aa4rA
Der Schwerpunkt wird
berechnet und stimmt nicht mit der in der Aufgabenstellung gegebenen
überein, Dicke mal z Fläche, aufintegriert zur S Fläche,
aufintegriert zu virtuellen Kräften, I aus Summe der Vertikalkräfte
mit normal berechnetem I vergleichen, über Summe MP den
Schubmittelpunkt ausrechnen, It ist Summe Länge mal Blechdicke³/3,
Mt ist Q mal (Ys + ySMP) und Tau = Mt t/It. Dann Schubspannung aus
Querkraft ausrechnen, beide Werte sind aufzuaddieren.
10) Satz von Castigliano
Castigliano, Balken mit Feder und schräger
Einzelkraft
https://youtu.be/4iVUiUnTIeQ
Zuerst wird das dyadische Produkt der zwei
gegebenen Vektoren gebildet. Es entsteht eine 3x3 Matrix, korrekt
ein Tensor 2.Stufe. Durch das Bilden der Divergenz wird die Stufe
wieder um 1 zurückgesetzt, es entsteht ein Vektor. Nach der
Definition:
div Tensor a = ain,n ei in der Einsteinschen
Summenvereinbarung, wobei das Komma wieder ableiten nach bedeutet,
dies schreibe man aus, dann erhält man die zweite Komponente des
gesuchten Vektors a2 durch a21,1 e2 +a22,2 e2 + a23,3 e2 oder in
Worten: Die zweite Zeile wird abgeleitet, der erste Term nach x1,
der zweite nach x2, der dritte nach x3, und die Ergebnisse
aufaddiert.
11) Arbeitssatz, Überlagerungstafel, virtuelle
Kräfte
Mechanik2, Reese, Klausur, 9.8.2014,
Arbeitssatz
http://youtu.be/yukyvgzKhng
Das System ist einfach unbestimmt, Schneiden
der Feder ergibt das Ersatzsystem, M0 Fläche mit Kraft 2F, M1 Fläche
mit Federkraft 1, Überlagerung: delta10, und delta11 bilden und
X1=Federkraft=- delta10/delta11 ausrechnen. B ist doppelt so groß
wie die Federkraft X1, Momentenfläche aus Addition M0 + X1 mal M1.
Federkonstanten an statisch bestimmten Systemen
mit Überlagerung
https://youtu.be/D6kmJRIM8Q8
Die Überlagerungstafel wird erklärt. Anwendung
auf einen Kragarm mit Streckenlast. Ein Kragarm mit Einzelkraft wird
in eine Feder verwandelt. An dem Beispiel wird die Formel zur
Berechnung der Federkonstanten für statisch bestimmte Systeme
hergeleitet, 1-Kraft ansetzen, M1 Fläche zeichnen, c = 1/delta11 =
Ei / Tafelwert / Maximalmoment²/Länge.
Die Formel wird auf
verschiedene Träger angewendet, auch die Umwandlung in Drehfedern
wird gezeigt.
Mechanik2,Balken,Stabwerk,Überlagerung,GAQ
https://youtu.be/79z71kAWGIM
Stabkräfte und Lagerkräfte mit Gleichgewicht
ausrechnen, Freikörperbild, N0, Q0, M0-Flächen zeichnen, Einskraft
ansetzen, wieder Stab- und Lagerkräfte bestimmen, N1,Q1,M1 Fläche
zeichnen. GAQ ist grober Dimensionsfehler, Faktor 100 oder 1000,
Kreisprofil so angenommen, dass EI stimmt, GAQ ausgerechnet, Fehler
300 rausbekommen. Überlagerung w = Delta 10 gezeigt. Lagersenkung
bewirkt vertikale Translation.
Mechanik2,Stabwerk,virt.Kräfte
https://youtu.be/aSdPcmHFpSU
Ersatzsystem: Lager C wegnehmen, So und S1
Kräfte ausrechnen, Überlagern in Tabelle, delta10,delta11 und
x1=c=-delta10/delta11 ausrechnen. Alle weiteren Kräfte durch
Addition, So + x1 S1 Werte aufaddieren, geht auch für Lagerkräfte,
und auch für S3.
Mechanik2, Stabwerk, virtuelleKräfte
https://youtu.be/swuwQMyjwUc
Ersatzsystem: S6 schneiden, für Lasten S0
Kräfte berechnen, für X1=1 S1 Kräfte, für gesuchte Verschiebung S2
Kräfte, Tabelle mit Stabnummer, Länge, S0,S1 S2 anfertigen, X1 = -
Delta 10 / Delta 11, Knotenverschiebung = Delta 20, Delta 10
bedeutet: jeweils Stablänge mit Stabkraft aus Null und Stabkraft aus
Ein"fläche" malnehmen und aufaddieren.
starrer,abgewinkelter Balken, Stabwerk,
Dreieckslast, virtuelle Kräfte
https://youtu.be/b2Oiif5hIhI
System einfach unbestimmt, S5 wird geschnitten,
S0-Fläche für Last qa, S1 Fläche für statisch Unbestimmte S5=1,
S2-Fläche für gesuchte Verformung. X1 = - Delta 10 / Delta 11,
Nullfläche plus X1-Facher Einsfläche ergibt alle Stab- und
Lagerkräfte. Verformung durch Delta 20 + X1 Delta 21.
Fortsetzung 3.13
https://youtu.be/j7qxdJC_Yj8
Die Geometrie wird rechnerisch mit Pythagoras,
Cosinus- und Sinussatz aufgestellt, die Winkel ph12, phi3 bestimmt
und b1,b2,b3,h1,h2,h3 angegeben. Dann wird die Kistenregel
eingeführt, in x- und y- Richtung eine Geschwindigkeitsgleichung
aufgestellt und die Winkelgeschwindigkeiten bestimmt. Jetzt das
gleiche für die Beschleunigungen, und zum Abschluss Berechnung des
Beschleunigungspols der mittleren Stange.
Abgewinkelter räumlicher Kragarm mit
Rechtecklast
https://youtu.be/ximsyvR9DvQ
Die M0 und M1 Flächen werden für die Last und
die virtuelle Einskraft am Ende gezeichnet und überlagert. Optional
können noch die Querkräfte überlagert werden, man sieht dann, warum
es der Praktiker nicht macht, kommt fast nichts bei raus.
Vergleichsspannung nach Mieses in der Einspannung aus Biegung und
Torsion wird berechnet.
Gerberträger mit Rechteck- und Einzellast
https://youtu.be/mMIj0ytYm_c
Mo-Fläche für Last zeichnen,
Parabel q L²/8, Gelenkkraft F + qL/2 mal 2 m, dann M1-Fläche für
gesuchte Verformung am Kragarmende, und die Flächen überlagern.
12) Tensorrechnung
MechanikII,HÜ1,Aufgabe 2/4
https://youUkuJtu.be/s1z03dE
Das Skalarprodukt zweier Tensoren ist ein
Skalar, in Einsteinscher Summenvereinbarung aik bik, 9 Produkte
aufaddieren, Ergebnis -11 ankreuzen.
Wegen dem Punkt ist C ein
Skalar, ohne den Punkt dazwischen wäre C = A B ein Tensorprodukt und
damit wieder ein Tensor, vereinfacht gesagt die Multiplikation
zweier matritzen, die wir aus Mathematik kennen, gibt dann wieder
eine Matrix.
MechanikII,HÜ1,Aufgabe1/4
https://youtu.be/UFgRT6RXEa8
Die Ableitung eines Vektors ergibt einen
Tensor, also grad V ist eine "Matrix" (korrekt halt Tensor), wobei
oben die erste Komponente V1 nach x1, x2 und x3 abgeleitet wird.
Dadrunter die zweite Komponente, v2, wieder nach x1,x2 und x3
abgeleitet.
Das Ergebnis wird wieder mit der Einsteinschen
Summenvereinbarung und dem dyadischen Produkt abgekürzt.
MechaniII, HÜ1, Aufgabe3,4
https://youtu.be/3br3bD6WArs
Zuerst wird das dyadische Produkt der zwei
gegebenen Vektoren gebildet. Es entsteht eine 3x3 Matrix, korrekt
ein Tensor 2.Stufe. Durch das bilden der Divergenz wird die Stufe
wieder um 1 zurückgesetzt, es entsteht ein Vektor. Nach der
Definition:
div Tensor a = ain,n ei in der Einsteinschen
Summenvereinbarung, dies schreibe man aus, dann erhält man die
zweite Komponente des gesuchten Vektors a2 durch a21,1+a22,2+a23,3
oder in Worten: Die zweite Zeile wird abgeleitet, der erste Term
nach x1, der zweite nach x2, der dritte nach x3, und die Ergebnisse
aufaddiert.
Aufgabe1,divergenz eines dyadischen Produkte
https://youtu.be/rJxsycAMLCI
Zwei Vektoren sind gegeben, wir bilden das
dyadische Produkt, Ergebnis ist eine 3x3-Matrix, von der nur die
zweite Zeile berechnet werden soll. Jetzt die Definition der
Divergenz einer Matrix nachschlagen, Uni Stuttgart, Prof. Sändig:
http://agsaendig.ians.uni-stuttgart.de/lehre/archiv/ws0506/pdgl-ue/archive/blatt2.pdf,
erster Term nach x1, zweiter nach x2, dritter Term nach x3 ableiten,
Ergebnis mit Lösungsvorschlägen vergleichen.
Aufgabe3, gradv mit Einsteinscher
Summationsvereinbarung
https://youtu.be/bFXTOQbt64Y
Vektor als v1,v2,v3 ausschreiben, grad v als
Matrix aufschreiben, dann als Summe von 9 Termen mit den dyadischen
Produkten, und diese Summe mit der Einsteinschen
Summationsvereinbarung abkürzen.
13) Knicken
Dokumentahalle
https://youtu.be/1tEzdAfC9oA
Bei der Halle können die Querschnittswerte I, A
der Stütze und des Horizontalträgers berechnet werden, ebenso die
vertikale Auflagerkraft. Ansonsten versagt die Halle durch Knicken
der Stützen, das heißt beim Aufbringen der Belastung bricht die
Konstruktion schlagartig in sich zusammen, es kommt zu einer
Katastrophe mit hohem Sach- wenn nicht Personenschaden, für den der
Ingenieur die volle Verantwortung trägt.
Unsinn wäre es, bei
einer zusammenbrechenden Konstruktion Q, N, M und Verformungen
ausrechnen zu wollen.
Parabolspiegel
https://youtu.be/h84PDhzAPDI
Zuerst mit Pythagoras die Stablängen bestimmen,
dann Sinus und Cosinus der beteiligten Winkel. Den Knoten
freischneiden, beide Stäbe als Zug antragen, Summe Fx, Fy = 0 ergibt
2 Gleichungen für die Stabkräfte S1, S2. Mit Sigma zul kann man die
Flächen der Stäbe ausrechnen, mit Hooke die Längenänderungen, wobei
beide Stäbe die Spannung Sigma zulässig haben, oben als Zug, unten
als Druck. Dann kann auch die Längenänderung aus Temperatur
aufaddiert werden.
Knicken ist Eulerfall 2, Knicklast E I pi² /
L² kann nach I auggelöst werden, mit A = 2 pi s r und I = pi s r³
entstehen zwei Gleichungen für den Radius r und die Wandstärke s.
Gleichungen durcheinander dividieren ergint r = Wurzel aus 2 I / A1
= 17,4 mm, die Wandstärke ist dann 1,008 mm, gewählt 1mm.
Mechanik 3 Dynamik
1) Kinematik
Mechanik3, Klausur, Stuttgart, A8
http://youtu.be/Nv35n8KPZTY
v(x) ist gegeben, wird als
dx/dt geschrieben, Variablen x, t trennen, Integration,
Integrationskonstante ist Null wegen der Anfangsbedingung, Auflösen
nach x(t), ableiten ergibt dann v(t) und a(t)
Dynamik,Kurbeltrieb,Kinematik
https://youtu.be/yX-ajmuBGpw
Geometrie in x- und y-Richtung aufstellen,
ergibt zwei Gleichungen für r und al, Ableiten ergibt zwei
Gleichungen für r° und al°, weiteres Ableiten zwei Gleichungen für
r°° und al °°. Das Auflösen der Gleichungen ist möglich, aber
umständlich, daher Geschwindigkeit und Beschleunigung in
Polarkoordinaten ausdrücken, erst von B zu P, ergibt Geschwindigkeit
und Beschleunigung des Verbindungspunktes, und dann diese in er,
ephi zerlegen, ergibt zuerst r°, al°, und dann, weil diese schon
bekannt, r°° und al°°.
Kinematik, Kistenregel, Geschwindigkeit,
Beschleunigung.
https://youtu.be/aaPDAWvvxSs
Geschwindigkeit und Beschleunigung werden
allgemein erklärt und die "Kistenregel" eingeführt, Mit dieser Regel
die Geschwindigkeit in C ausrechnen, Bindungsgleichung aufstellen
und nach Omega 2 auflösen. Dann das gleiche für die
Beschleunigungen, Winkel- und Zentripetalbeschleunigungen nach
Kistenregel aufstellen und aufaddieren, Bindungsgleichung, ergibt
Winkelbeschleunigung links.
Maltesergetriebe
https://youtu.be/MCednY-Z4FU
Der Bolzen wird auf der linken Scheibe
allgemein mit r und phi angesetzt, Geometrie in horizontal- und
Vertikalrichtung aufgestellt ergibt zwei Gleichungen für r und phi.
Nun wird die Geschwindigkeit des Bolzens für die linke Scheibe
aufgestellt mit r° und phi°, und in er und ephi Richtung mit der
tatsächlichen Geschwindigkeit R Omega verglichen, ergibt R° und
phi°. Dann dasselbe für die Beschleunigung:
In er-Richtung r°°-r
p°² und in ephi Richtung 2 r° phi° + r phi°° gleichsetzen mit der
bekannten Zentripetalbeschleunigung der rechten Scheibe.
Aufgabe 3.14, kinematik, 3 Stangen
https://youtu.be/u9SKEnBkRD0
Graphische Konstruktion: Strecke a und L1 unter
45° antragen, Kreise mit L2 und L3 zeichnen ergeben rechtes Gelenk.
Jetzt entweder M2 einzeichnen und a, b messen, L1 omega1 = a omega2,
b Omega 2 = l3 Omega 3 ergeben die Winkelgeschwindigkeiten. Besser:
Geschwindigkeitsplan zeichnen, L1 Om1 einzeichnen, 2 Wirkungslinien
einzeichnen, ergibt Om2 und Om3, jetzt das gleiche für die
Beschleunigung, ergibt O1° und O2°. Dann die Geometrie rechnerisch
herstellen und rechnerisch alle Winkelgeschwindigkeiten und
Beschleunigungen aufstellen. Leider ist die Technik abgestürzt.
Stange mit Masse, Geschwindigkeit und
Beschleunigung
https://youtu.be/lqTOFUyi5xU
Wir drehen den Einheitsvektor er um einen
kleinen Winkel dphi und erhalten die Ableitungsregeln: er abgeleitet
ergibt Phi° Ephi, analog ephi° = - phi° er. Der ° steht für die
Zeitableitung d/dt. Jetzt leiten wir den Ortsvektor r er mit Hilfe
obiger Regel und der Produktregel zweimal ab und bekommen zwei
Pfeile für die Geschwindigkeit und vier Pfeile für die
Beschleunigung, die man auch einfach ohne Verständnis auswendig
lernen kann. Jetzt nur noch Zahlen einsetzen und Rechner bedienen,
die radiale Beschleunigung ar = R°°-r p°² ausrechnen, die senkrecht
zur Stange stehende Beschleunigung aphi = 2 r° phi° + r phi°° ,
Pythagoras gibt den Betrag der Gesamtbeschleunigung.
kinematischer Zusammenhang zwischen Rollen,
Seilen und Geschwindigkeiten
https://youtu.be/xgB7Pcatdsc
https://youtu.be/AixyuKm-uqM
Das linke Seil geht mit v nach unten, wegen der
Rolle links an der Decke geht das Seil in der Mitte mit v nach oben.
Der Rollenmittelpunkt der mittleren Rolle geht mit v nach unten.
Linker und mittlerer Punkt verbinden, rechter Rollenpunkt geht mit 3
v nach unten, also 3 v = Omega mal r.
Allgemein: Alle Seile
wegschneiden, läßt man die mittlere Rolle mit der Kiste zusammen,
dann hat man 4 Freiheitsgrade Omega 1,2,3 und v. Jetzt die
Geschwindigkeiten des oberen und des unteren Punktes jeden Seiles
aufstellen und gleichsetzen ergibt drei Gleichungen, so dass
insgesamt ein kinematischer Freiheitsgrad übrigbleibt. Gibt man also
eine Bewegung vor, kann man mit diesen Gleichungen die anderen drei
Geschwindigkeiten bestimmen.
Zwei Stäbe mit 45°Gleitlager am Ende
https://youtu.be/ZFpyIc3wFwI
Die Kistenregel wird für Geschwindgigkeit und
Beschleunigung gezeigt und auf die Aufgae angewendet: Alle Pfeile in
x- und y-Richtung aufaddieren, X°+Y°=0 ergibt Winkelgeschwindigkeit
im rechten Teil, das gleiche für Beschleunigung ergibt
Winkelbeschleunigung im rechten Teil und damit die Beschleunigung
von E in x- und y-Richtung.
Kurbelschwinge
https://youtu.be/gjb07sQMQgo
Am einfachsten ermittelt man die
Winkelgeschwindigkeiten mit der Kistenregel, indem man von A nach B,
C und D geht und dort die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung zu
Null setzt, die zwei Gleichungen ergeben Omega 2 und Omega 1 - dies
lässt sich in ähnlicher Form auch auf die Beschleunigungen anwenden.
Der Momentanpol der mittleren Stange findet sich im Schnittpunkt der
Stangen 1 und 3. Auch damit lassen sich Omega 2,1 ermitteln.
Zwei rotierende Scheiben
https://youtu.be/epf-ZbOsvKc
Die Strecke a bewirkt die
Geschwindigkeit omega a nach oben, die Strecke r die Geschwindigkeit
r (omega + Omega) nach links, omega ist Führung, Omega ist relativ.
Die Strecke a bewirkt die Zentripetalbeschleunigung a omega² nach
links, die Strecke r die Beschleunigung r (omega + Omega)² nach
unten, die nach der ersten binomischen Formel ausmultipliziert wird.
Dann kann sie in Führungs- Relativ- und Coriolisterme aufgespalten
werden.
Man kann auch die Ableitung rotierender Koordinaten
erklären, ein x,y System mit omega und ein er, ephi System mit omega
+ Omega rotieren lassen, dann bekommt man mit Winkelbeschleunigungen
die allgemeine Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes P in
beliebiger Lage. Auch die lässt sich leicht in x- und y-Richtung
aufteilen, oder in Führungs-, Relativ- und Coriolisanteile zerlegen.
Zwei rotierende Scheiben, P bei 60°
https://youtu.be/HSZiedPnONU
Die Strecke a bewirkt die
Geschwindigkeit omega a nach oben, die Strecke r die Geschwindigkeit
r (omega + Omega) nach links oben, omega ist Führung, Omega ist
relativ. Die Strecke a bewirkt die Zentripetalbeschleunigung a
omega² nach links, die Strecke r die Beschleunigung r (omega +
Omega)² nach links unten, die nach der ersten binomischen Formel
ausmultipliziert wird. Dann kann sie in Führungs- Relativ- und
Coriolisterme aufgespalten werden. Der sinus von 30° ist ½, der cos
30° ist Wurzel3/2, die schrägen Pfeile werden in Horizontal- und
Vertikalrichtung aufgeteilt.
Mit Winkelgeschwindigkeit und
Winkelbeschleunigung abrollende Kreisscheibe
https://youtu.be/nAaij120TtE
Der Momentanpol ist im
Abrollpunkt, der Schwerpunkt hat die Geschwindigkeit r om in
e1-Richtung. Von diesem Punkt addiert man nun die
Relativgeschwindigkeit r om für die Punkte B, C, D und E hinzu und
erhält die Absolutgeschwindigkeiten dieser Punkte.
Bei den
Beschleunigungen trägt man auch zunächst im Schwerpunkt S die
Beschleunigung r om° in 1-Richtung an, in 2-Richtung ist die
Beschleunigung Null, da der Punkt seine e2-Koordinate immer
beibehält. Von S aus werden wieder die Relativbeschleunigungen r
om°, die Winkelbeschleunigung, und r om² , die
Zentripetalbeschleunigung, dazu addiert, und man erhält die
Absolutbeschleunigungen der Punkte A, B, C, D, E. Zum
Beschleunigungspol braucht man eine Formel für den Winkel und eine
Formel für den Abstand, dann kann er von S ausgehend eingezeichnet
werden. Beide Formeln werden hier hergeleitet.
2) Schiefer Wurf
Energieerhaltung,
teilplastischer Stoß und schiefer Wurf
https://youtu.be/AYNKmz1lm8A
Energieerhaltungssatz
liefert die Auftreffgeschwindigkeit der Masse 2m vor dem Stoß.
Impulserhaltung und Stoßzahl liefern die Geschwindigkeiten der
Massen nach dem Teilplastischen Stoß. Integration der Beschleunigung
liefert die Geschwindigkeit und den Ort zu jedem Zeitpunkt t,
Auftreffbedingung y=0 liefert die Zeit des schiefen Wurfes,
einsetzen in x die Wurfweite.
3) Dynamik, gedämpfte Bewegung
Dynamik, gedämpfte Bewegung im Wasser
https://youtu.be/PORUrRNcvJY
Masse zu beliebigen Zeitpunkt betrachten, F =
ma, Kräfte sind mg, die Auftriebskraft, also das Gewicht der
verdrängten Flüssigkeit und der geschwindigkeitsproportionale
Wasserwiderstand kv. Dies kann man nun entweder mit dem Ansatz A mal
e hoch Lambda t in der homogenen DGL lösen, oder durch Integration.
Der Aufgabensteller favorisiert anscheinend die Integration, ich die
Lösung von Leonard Euler, weil ich dann auch DGLs lösen kann, die
höherer Ordnung sind. Vorgeführt wird beides.
4)Stoß
Speeraufgabe
https://youtu.be/CPIgkzNOsvA
Herleitung des Winkels be i
al zwischen v und Speer. Drallerhaltung um Auftreffpunkt ergibt om
nach dem Stoß, ist dieses Null, ergibt sich om vor dem Stoß, und die
Komponente von m v in Stabrichtung wird durch das
Stoßkraftintegral aufgehoben, ist also die Impulsänderung. Mal cos
be ergibt x-, mal sin be ergibt y-Komponente.
D3: Stoß Punktmasse gegen V-Balken mit
Drehfeder
https://youtu.be/0EFcInRja8A
Bild vor und nach dem Stoß
zeichnen, Drallerhaltungssatz und Stoßzahl aufstellen und nach V und
Omega nach dem Stoß auflösen. Federn gehen beim Stoß grundsätzlich
nicht ein, das Massenträgheitsmoment ist J = 2/3 m1 L², L=4m. Nach
dem Stoß schiefen Wurd durchrechnen, nach t = Wurzel L durch g =
0,6386 s landet die Masse, mal v ergibt die Wurfweite 1,262 m. Die
Frage, ob der Balken sich um 90° dreht und A gegen die Wand stößt,
ist zu bejahen. Mit dem Energieerhaltungssatz kann man feststellen,
dass die Winkelgeschwindigkeit trotz der Feder noch zunimmt, und man
kann auch für Pi/2 die Winkelgeschwindigkeit ausrechnen. Für den
Mathematiker wäre das aber kein Beweis, dass er nicht schon vorher
stehenbleibt und wieder zurückschwingt. Numerisch ist die Aufgabe
einfach, wenn man viele Zwischenwerte einsetzt, eine mathematisch
saubere Begründung ist weit schwerer.
5) D´Alembert
Dynamik, D´Alembert, zwei Kreisscheiben mit
Einzelmasse
https://youtu.be/TG2CteKDrDs
Das Massenträgheitsmoment einer Kreisscheibe
wird in der Aufgabenstellung berichtigt und beträgt m r²/2,
Herleitung ist dabei. Jetzt alle Teile Freischneiden,
Gewichtskräfte, Lagerkräfte, Seilkräfte, bei m2 und m3
Trägheitskräfte, bei m1 und m2 Trägheitsmomente und das
Antriebsmoment eintragen.
Kinematik klären, alle
Winkelbeschleunigungen sind gleich, alle Beschleunigungen sind
gleich und Winkelbeschleunigung mal r.
Jetzt das Prinzip der
virtuellen Arbeit anwenden, oben Summe M mal delte phi, bei m2 Summe
F mal delta x + Summe M mal delta phi, unten Summe F mal delta x,
dabei Führungskräfte, also Seile, weglassen. Nach Beschleunigung
auflösen. Jetzt unten Summe der Kräfte ergibt S3, Summe der Momente
um den Pol rechts ergibt S1, Summe der Kräfte ergibt S2, oben Summe
M zur Probe und Summe H, Summe V für die Lagerkräfte.
Beschleunigung zu Null setzen ergibt das Antriebsmoment für
konstante Geschwindigkeit, der Weg von M3 ist a t²/2.
Dynamik, D´Alembert, Zwei Kreisscheiben mit Einzelmasse https://youtu.be/pS5wQRn2vfo
Koordinatenrichtungen festlegen, Systemteile
freischneiden, D´Alembertsche Trägheitskräfte gegen die
Koordinatenrichtung, Kinematik aufstellen, virtuelle Arbeit
aufstellen und zu Null setzen, Kinematik einsetzen ergibt eine
Gleichung für die Beschleunigung. Gleichgewicht ergibt die Seilkraft
und die Zahnradkraft, Kinematik die Winkelbeschleunigungen der
Scheiben. Das letzte Teil ist die Probe, man kann also seine
Rechnung auch ohne Lehrstuhlergebnisse überprüfen. Beschleunigung
Null setzen ergibt das Moment für konstante Geschwindigkeit,
Zweimalige Integration der Beschleunigung ergibt Zeit und
Geschwindigkeit, wo die Masse wieder am selben Ort ist, t=1,590 s, v
wieder 3m/s, diesmal nach oben.
Dynamik, D´Alembert, Rollen, Masse, Seilkräfte
https://youtu.be/pzwnHErqT8o
Eintragen der D´Alembertschen Trägheitskräfte,
Ma und mg, virtuelle Arbeit, eine Gleichung für die
Winkelbeschleunigung, Führungs- und Seilkräfte treten nicht auf.
Drei Schnitte führen, untere Rolle, Summe M, Summe F ergibt S2,S3,
Einzelmasse, Summe F, ergibt S1, obere Rolle, ergibt Festlagerkraft
und Probe.
Dynamik, D´Alembert,Reibung,4Seile,Zeit https://youtu.be/5DPTWg6_RWg
Kinematik: Rechts x°° als Beschleunigung
ansetzen, geht über Umlenkrolle bis S3, S1 ist in Ruhe, damit
Winkelbeschleunigung gleich x°°/2/r, Beschleunigung m1,m2 mit x°°/2
nach oben. D´Alembertsche Trägheitskräfte und Momente ansetzen,
Gewichtskraft m4g in Normalkraft und Hangabtrieb zerlegen, virtuelle
Arbeit aufstellen, ergibt Beschleunigung a = X°° von Masse 4, mit L
= a t²/2 wird die Zeit bestimmt. Dann können noch die Seilkräfte
S1,S2,S3,S4 bestimmt und eine Probe durchgeführt werden.
Fahrstuhlaufgabe
https://youtu.be/YpKwC5lyELc
Fahrstuhl mit Gegengewicht,
Beschleunigungsphase, dann konstante Geschwindigkeit und
Abbremsvorgang: Seilkräfte, Antriebsmoment, Leistung und Arbeit sind
gesucht.
Seiltrommel mit schräger Kraft
https://youtu.be/zitv-SDHRrU
Eine Seiltrommel, m, g, J, F und phi gegeben,
unter welchem Winkel rollt sie nach rechts, nach links oder hebt ab?
´D´Alembertsche Hilfskräfte ansetzen, Summe Ma, Summe H und Summe V
bilden.
Welle
https://youtu.be/3GGfAmTS7cc
Eine Welle mit zwei Kräften, Spannungsnachweis,
dann eine Bohrung berücksichtigen, dann den Abstand so ausrechnen,
dass Verschiebungen in Mitte und Ende gleich sind oder dass die
Durchbiegung in der Mitte beschränkt ist. Dann eine Hohwelle zum
Vergleich rechnen.
Mechanik2, Wiederholer, A1
https://youtu.be/w_vuz3tIVwo
Koordinatensystem einführen, Kräfte F, N, R=mü
N, mg einzeichnen, ma = 0, da v = konstant, Summe F1, F2 =0 ergibt
zwei Gleichungen für N und F.
Dann Arbeit der Reibungskraft ist
minus R mal L, Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit, also bei F
der Cosinusanteil.
Mechanik3,Wiederholer,A3
https://youtu.be/A6T3Ybu8Ji4
Jetzt wieder EES
aufstellen, 1 ist wieder horizontale Lage, 2 allgemeine Lage phi mit
Geschwindigkeit. Ableiten des EES nach der Zeit ergibt die DGL der
Bewegung.
D´Alembert mit zwei Massen und einem Seil
https://youtu.be/imVIoGZxTOw
Beide Massen werden freigeschnitten, mg,
Seilkräfte und Trägheitskräfte werden eingetragen, zweimal Summe F
in Bewegungsrichtung ergibt zwei Gleichungen für die Seilkraft und
die Beschleunigung.
Rutschende oder rollende Kreisscheibe auf
schiefer Ebene
https://youtu.be/qCmo_fzZTEg
Zuerst wird das Massenträgheitsmoment der
Kreisscheibe hergeleitet, die D´Alembertschen Hilfsgrößen M
x°° sowie m r²/2 phi°° eingetragen, außerdem mg, N und R. Jetzt
Summe M um den Schwerpunkt bilden, Summe der Kräfte in beiden
Richtungen und das Reibungsgesetzt R = mü N einsetzen, und wir
erhalten x°°, phi°°, Reibungs- und Normalkraft. Das System hat zwei
Freiheitsgrade, und mü muss kleiner sein als tan al/3.
Ist mü >=
tan al/3, tritt Rollen auf, das System hat nur noch einen
Freiheitsgrad, und anstelle des Reibungsgesetzes ist die
Abrollbedingung x°° = r phi°° zu verwenden. Wieder lassen sich mit
den drei Gleichgewichtsbedingungen R, N, x°° und phi°° ausrechnen.
Integration der Beschleunigung ergibt die Geschwindigkeit und den
Weg als Funktion der Zeit.
Aufzug: Masse mit Seil, 2 Scheiben und Moment
https://youtu.be/-_af2OMNKIA
Die gegebenen Größen werden in Basiseinheiten
m, N umgerechnet. Die Teile freigeschnitten, die äußeren Kräfte und
die Trägheitskräfte sowie die „Führungskräfte“ Seil und Zahnkraft
angetragen. Mit Summe F, Summe Ma, Summe MB und der Kinematik
entstehen 4 Gleichungen für die beiden Winkelbeschleunigungen, die
Zahnkraft und die Seilkraft. Die Führungskräfte eleminieren, wir
erhalten die Beschleunigungen und danach auch die Führungskräfte.
Wäre die Geschwindigkeit konstant, würden wir alle D´Alembertschen
Terme weglassen und wieder nach Seil- und Zahnkraft sowie dem
Antriebsmoment auflösen. Integration der Beschleunigung mit den
Anfangsbedingungen –vo und xo=0 ergibt Weg und Geschwindigkeit als
Funktion der Zeit, mit x=0 erhält man die Zeit, Einsetzen in x°
ergibt die Geschwindigkeit.
Zum Schluss wird noch erklärt, wie
das Massenträgheitsmoment der Hohlkreisscheibe berechnet wird:
r2²+r1² mal m/2.
Kiste mit Reibung sowie zwei Kreisscheiben
mit Antriebsmoment
https://youtu.be/3YsvJeFu0m0
Kinematik: x = r1 phi1 = r2
phi 2, Freikörperbilder mit Gewichtskraft, Normal- und
Reibungskraft, Seilkraft und D´Alembertscher Trägheitskraft,
Kreisscheiben mit Massenträgheitsmoment, tangentialer Zahnkraft F
und Antriebsmoment, die Lager müssen nicht durch Kräfte ersetzt
werden. Nun Summe Fx=0, MA=0 und MB=0 bilden, positiv immer in
positive Koordinatenrichtung, Summe Mi durch ri teilen und alle drei
Gleichungen aufaddieren, womit die Führungskräfte S und F
entfallen. Nach Einsetzen der Kinematik kann man nach der gesuchten
Beschleunigung x°° auflösen. Integration der Beschleunigung würde
auf v, x als Funktion von t führen, x=s nach t auflösen und in
Geschwindigkeit einsetzen ergibt v als Funktion von S. Hier soll
dies mit dem Arbeitssatz geschehen, M phi 3 ist die vom Motor zur
Verfügung gestellte Arbeit, die Reibungsarbeit mü m3 g s geht
verloren, die kinetische Energie von Kiste und Walzen bleibt übrig,
nach Einsetzen der kinematik auflösen nach der Geschwindigkeit x°.
Mechanik 3 HÜ
https://youtu.be/1XW9YLgWau8
Drei Massen werden durch
eine Kraft F angeschoben, drei D´Alembertsche Trägheitskräfte
ansetzen, Summe Fx =0 für das Gesamtsystem ergibt die Beschleunigung
x°°, einsetzen ins Gleichgewicht für die rechte Masse ergibt F23.
Beschleunigung g zweimal integrieren ergibt x=ho, auflösen nach t
ergibt die Zeit, Stoßzahl in Energierehaltungssatz einsetzen ergibt
h1 = ho ep².
Scheine, Jp°°, mx°° und mg eintragen, Kinematik x°°
= r phi°° und Summe MA=0 ergibt x°° = 2/3 g sin al, bei 30° also 1/3
g.
Zwei Kreisscheiben und Kiste
https://youtu.be/H8J_NRGpq5Y
Körper freischneiden,
D´Alembertsche Trägheitskräfte eintragen, Seilkräfte und mg
eintragen, Massenträgheitsmomente ausrechnen, J1 = 5 m r², Kinematik
aufstellen, Summe MA=0, MB=0 und Summe F=0 bilden, Gleichung 1 durch
3r, Gleichung 2 durch r teilen und alle drei Gleichungen
aufaddieren, Kinematik einsetzen und nach der Beschleunigung
auflösen.
6) Rotierende Systeme
Dynamik, rotierendes Rohr mit Einzelmasse
https://youtu.be/KSG-qgxjVxo
Lösungsweg1: Energieerhaltungssatz: 1/2 M v² =
Integral Kraft dr, wobei die Kraft die Fliehkraft m omega² r ist.
Auflösen ergibt die Relativgeschwindigkeit, Fahrzeuggeschwindigkeit
ist Omega a, Pythagoras liefert Absolutgeschwindigkeit Wurzel 7 a
omega /2.
Lösungsweg 2: Alle Beschleunigungen ansetzen,
D´Alembert. Summe Fx=0, DGL der Bewegung aufstellen und Lösen,
Anfangsbedingungen einsetzten, ergibt r = a/2 cosh omega t.
Randbedingung r=a ergibt Zeit und Relativgeschwindigkeit,
Corioliskraft ergibt das Antriebsmoment des Rohres.
Dynamit, rotierende Welle mit Antriebsmoment
https://youtu.be/1X_qVbcC7vU
Massenträgheitsmoment hergeleitet und
ausgerechnet, DGL für Winkelbeschleunigung aufgestellt und zweimal
integriert, Integrationskonstanten mit Anfangsbedingungen
ausgerechnet. M so ausgerechnet, dass bei gegebener Endzeit
Winkelgeschwindigkeit 2 Omega ist, und Winkel bestimmt.
Aufgabenstellung scheint inkorrekt und nicht durchdacht zu sein,
fehlende Angaben.
Bonuspunktaufgabe
https://youtu.be/TnpvyszNNsE
Dreht sich ein Balken um ein Festlager, so
gilt. M = m L^2/3 mal Winkelbeschleunigung.Dreht sich eine Scheibe
mit Omega F und omega r, so beträgt das Kreiselmoment m r^2/2 mal
Omega F mal omega r. Es tritt als Torsionsmoment in der vertikalen
Stange auf. Die horizontale Stange hat kein Torsionsmoment.
7) Schwingungen
Dynamik, IPE 120 mit Erregerkraft https://youtu.be/FMmtetyGlg8
Eine Aufgabenstellung, die vor Fehlern wimmelt:
Die Erregerkraft Fo ist nicht gegeben, die Erregerfrequenz ist so
gering, dass es praktisch mit einer statischen Last belastet wird,
und die Annahme der Masse m dürfte auf einem Fehler beruhen, müssten
10kg und nicht 20kg sein, dürfte in Wirklichkeit die Trägermasse
sein. Vermutlich hat der Aufgabensteller weiterhin Probleme bei der
Umrechnung von Dimensionen. Die Federsteifigkeit des Balkens wird
hergeleitet, die Differentialgleichung der Bewegung aufgestellt und
gelöst, die Konstante der partikuläre Lösung durch Einsetzen in dei
DGL bestimmt, die Konstanten der homogenen Lösung durch
Anfangsbedingungen, die ebenfalls in der Aufgabenstellung fehlen.
Danach wird die maximale Durchbiegung ausgerechnet, die wegen
quasistatischer Lastaufbringung (Erregerfrequenz viel kleiner als
Eigenfrequenz) ca. 1 Prozent höher ist als die statische Auslenkung.
Dynamik, Berechnung der Eigenfrequenz
massenbehafteter Träger
https://youtu.be/3K666R3HicM
Ein Träger auf zwei Stützen führe
Eigenschwingungen aus, EI und m/L sind gegeben, L ebenfalls. Die
Differentialgleichung der Bewegung wird hergeleitet, mit dem
Seperationsansatz bearbeitet und dei Randbedingungen für die
Systemhälfte eingesetzt. Es entsteht eine Formel zur Berechnung der
Eigenfrequenz massenbehafteter Einfeldträger.
Dann wird gezeigt,
dass man praktisch genau das gleiche Ergebnis bekommen würde, wenn
man die Hälfte der Trägermasse zu einer Punktmasse in der
Trägermitte kondensieren würde.
Wiederhsem Termin08 Aufg4
Wagen mit Kurbel, Dämpfer und Feder
https://youtu.be/vH1ny6uzbAs
x Koordinate nach rechts,
D´Alembertsche Trägheitskräfte M+m mal x°°, Dämpferkraft Dx°
und Federkraft cx nach links ansetzen, xr = -2r cos omega t
ableiten und D xr°, m xr°° nach rechts ansetzen, Summe F =0 ergibt
DGL, die noch ein wenig sortiert werden kann. Aus delta = omega0
ergibt sich die Bedingung zum apreriodischen Grenzfall.
8) Lagrange
Mechanik3, Markert, Lagrangeaufgabe
http://youtu.be/tFnPB92h7zk
Balken mit Punktmasse und drehbarer
Kreisscheibe, verbunden mit Drehfeder. Lagrange vom Schema, ohne
besondere Schwierigkeiten.
Baustatik
1) Kraftgrößenverfahren, Überlagerung
Baustatik, Schnittgrößen, Verschiebung und
Verdrehwinkel mit Überlagerung
https://youtu.be/uZNpSd7h_ZY
Horizontalbalken: Summe Mg ergibt horizontale
Stabkraft, mal 1,5 vertikale, Pythagoras S0, Summe F Gelenkkräfte.
Vertikalbalken freischneiden, Lagerkräfte bestimmen, No,Qo,Mo
Flächen zeichnen, Virtuelle 1 Kraft in P ergibt M1, virtuelles
Einsmoment in Q ergibt M2 Fläche. Querschnittswerte ausrechnen: Stab
EA, Balken 2+3 EI, und überlagern.
Baustatik,
Kraftgrößen, Lagerverschiebung
https://youtu.be/4dFrXu_dyFw
Ersatzsystem: Drehfeder schneiden, rechts oben
vertikal verschiebliches Gleitlager, M0.M1, M2 Flächen zeichnen, Mt
= EI al dT/h ist ein Scheinmoment, beim Überlagern berücksichtigen,
bei der M-Fläche weglassen. X1, X2 ausrechnen, wobei d20+x1
delta21+x2 delta22 = w sein muss, der vorgegebenen Lagersenkung.
Addition M0 + X1 M1 + X2 M2 ergibt die fertige Momentenfläche.
Stahlbau II, Hausübung, Theorie 2.Ordnung
https://youtu.be/Lee_BG03qU0
Es ist ein abgewinkelter Träger mit Rectecklast
und Horizontalkraft gegeben, durch Fest- und Gleitlager gehalten,
Längen sind gegeben, EI läßt sich bestimmen. Mit Summe MA, V und H
erhält man die Lagerkräfte und kann die N, Q und M-Flächen nach
Theorie erster Ordnung zeichnen. Für die gesuchte
Horizontalverschiebung zeichne man eine M1 Fläche mit der
Horizontalkraft 1 und bekommt u durch Überlagerung raus, als delta
10. Diese Verschiebung bewirkt eine Stützenschiefstellung u/L1, mal
der Normalkraft in dieser Stütze Av ergibt die Abtriebskraft. Zu
dieser können wieder N, Q und M-Flächen gezeichnet werden. Addiert
man diese auf die Schnittgrößen aus Theorie 1.Ordnung, ergeben sich
die Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung. Weitere Iterationen
würden keine signifikanten Änderungen bringen, da Av sehr klein ist.
Tutorium
Baustatik
https://youtu.be/4rJtWFbgHsM
In einen statisch
bestimmten System wird gezeigt, wie man schnell alle Gelenk- und
Lagerkräfte bestimmen und in einem Freikörperbild einzeichnen kann.
Es geht also einmal darum, dies in einer Klausur mit möglichst wenig
Zeit zu erledigen, zum zweiten wird gezeigt, dass man für jedes
Teilsystem die Summe Fx, Fy und Summe M bildet und dann sicher ist,
dass die Kräfte so stimmen.
Tutorium Baustatik, Teil
2
https://youtu.be/9h7vUSi65Cs
Ausgehend vom
Freikörperbild wird gezeigt, wie man die Schnittgrößenflächen No, Qo
und Mo zeichnet.
Tutorium Baustatik, Teil
3
https://youtu.be/jCKOEZPLlfw
Zur Berechnung der
Verschiebung wird die virtuelle Kraft 1 angesetzt, das
Freikörperbild und die Schnittgrößen Diagramme N1, Q1 und M1
gezeichnet
Tutorium Baustatik,
Teil4
https://youtu.be/eqPBDr4ec8A
Die Verformung der
Kragarmspitze durch Überlagerung der N, Q und M-Flächen wird
gezeigt. Dabei wird der offensichtliche Dimensionsfehler des
Lehrstuhls durch sinnvolle Werte für EA verbessert und für n und GA
werden ebenfalls sinnvolle Werte angenommen.
https://youtu.be/aL3_5-wFhv4
Das System ist statisch bestimmt, E, I, A haben keinen Einfluss auf
Lagerkräfte und Schnittgrößen. Die Lagerkräfte werden entgegen der
globalen Koordinatenrichtung eingezeichnet. Jeder Baölen bekommt
außerdem ein lokales Koordinatensystem, wobei doe Xi-Achsen immer
die Balkenlängsrichtungen sind und die Yi, Zi Achsen so wenig
springen sollten wie möglich. Durch diese Festlegung haben alle
Löser immer die gleichen Vorzeichen, was den Vergleich zwischen den
Studierenden, aber auch die Korrektur, wesentlich erleichtert. Mit
der Summe der Momente um die x-, y- und z-Achse um A erhalten wir
die Lagerkräfte in B und C, mit den drei
Kräftegleichgewichtsbedingungen die Kräfte in A.
Hausübung FH-Aachen Prof. Moorkamp Teil
2
https://youtu.be/jO_8e6gGsVY
Sechs Schnittgrößendiagramme sind zu zeichnen, alle Kräfte
wurden in Teil 1 bestimmt, die lokalen Koordinatensysteme sind
festgelegt. Bei der Normalkraft N ist n Zug positiv, Druck negativ,
es zählen nur die Kräfte in Balkenlängsrichtung. Bei Qy zeichne man
Q am positiven Schnittufer in Richtung der positiven yi-Koordinate
an, am negativen Schnittufer umgekehrt, und betrachte immer die
kleinere Systemhälfte, im linken Teil also vergleiche man die
Lagerkräfte A mit Qy am negativen Schnittufer, am rechten Balken die
Kraft C mit Q am positiven Schnittufer. N, Qy. Qz, Mt, Mby, Mbz
werden gezeichnet.
2) Einflusslinien
Herleitung: Was ist die Einflußlinie für ein
Moment?
https://www.youtube.com/watch?v=CkRsmcz_peU
Ein einfacher Träger wird betrachtet, und mit
den Sätzen von Betti und Maxwell sowie der Verformungsaussage
(Winkel an Einspannung ist Null) wird gezeigt, warum der Winkel an
der betrachteten Stelle -1 sein muss. Es ist nicht unbeding
erforderlich, diese Herleitung zu verstehen, um Einflußlinien zu
zeichnen, für den reinen Anwender ist also das 2.Video das
wichtigere.
Baustatik: Einflußlinie Moment, Arbeitsschema
https://www.youtube.com/watch?v=BkiDBiESL-w
Am Vierfeldträger soll eine Einflußlinie für
das Moment am zweiten Lager berechnet werden. Dort ist der Knick -1,
an allen anderen Lagern Null. Überlagerung ergibt das für EL
charakteristische Gleichungssystem, die Unbestimmten X1,X2,X3 und
die fertige Momentenfläche. Mit den Omegazahlen wird jetzt die
Biegelinie in den Viertelspunkten berechnet. Dabei werden die
Omegazahlen hergeleitet und ihre Anwendung allgemein beschrieben.
Dann kommt die Auswertung der Einflusslinie mit numerischer
Integration und zum Abschluss eine Kontrolle, ob das Ergebnis
stimmt. Dieses Video ist sozusagen Pflicht, wenn man weitere El mit
dem Kraftgrößenverfahren berechnen will.
Einflusslinie: 5.Hausübung Baustatik
https://www.youtube.com/watch?v=ALZ1mZCNCTM
Böser Fehler: Bis zu den w - Werten habe ich
heute Morgen das gleiche raus, der Verlauf der Einflusslinie scheint
also zu stimmen. Dann hatte ich aber in w2 nicht den Wert Null
gespeichert, im Rechner war noch ein anderer Wert, daher ist die
Auswertung danach fehlerhaft. Die Last im linken Bereich liefert M2=
+20.8, der Bereich von 2 bis 3 liefert M2=-145.8 und der Bereich
rechts, das Dreieck, war mit M2= -166.7 wieder richtig. Also
insgesamt: M2 = -291,7, die Einheit von allen Werten ist q L²/1000.
Baustatik, kinematische Einflusslinie für Moment und Auswertung https://youtu.be/Xa_aSqI_rYk
Gelenk an Stelle I einführen, System wird
dadurch verschieblich, Haupt- und Nebenpole festlegen und vermaßen,
Beziehungen zwischen den 4 Winkeln herstellen, bei I ist ein Knick
von 1 entgegen der Wirkung eines positiven Momentes. Winkel
ausrechnen, Eilflusslinie zeichnen, Fläche unter Streckenlast
bestimmen und mit q malnehmen ergibt MI. Dann mit Gleichgewicht
Kräfte ausrechnen und M-Fläche zeichnen, bei I ergibt sich der
korrekte Wert von 33,75 kNm. Einheiten überprüfen, EL hat Dimension
Meter.
Zwei Einflusslinien auf einen Streich
https://youtu.be/VqHnRg3Bxdg
Kragarm mit Feder, EL MA, F
Feder sind gesucht, dort die Unbestimmten einführen, M1, M2 Flächen
zeichnen und delta 11,12 und 22 bilden, bei 22 die Feder mitnehmen.
Gleichungssystem Matrix delta = -1,0 ergibt X1 und X2 und damit MA =
X1 und Mc = 2/3 X1 – 12/5 X2, dann wc = Zusammendrückung der Feder =
X2/c und mit Omega-Zahlen die Einflusslinie zeichnen. Bei EL
Federkraft alles analog wiederholen mit Matrix delta = 0,-1,
aber bei wc beachten, dass sich der Federfußpunkt um 1 nach unten
bewegt hat, also wc = 1 + X2/c. Im Video vergessen: Die
Dimension der EL MA ist Meter, die EL Federkraft ist dimensionslos.
EL für Einspannmoment, Klinkel, 12.8.14
https://youtu.be/P0slnX7u2wE
Die Einspannung wird durch
ein Festlager ersetzt, X1=1 angesetzt, delta 11 gebildet und aus X1
delta 11 = -1 wird X1=-18 000 kNm bestimmt. Die Verformung bei B
ergibt sich aus delta 12 X1, dann wird für die Zwischenwerte mit
Omega Dreick interpoliert. Die Auswertung für eine Streckenlast
erfolgt mit dem modifizierten Simpson für Drittelspunkte, also
w1 + 3 W2 + 3 w3 + w4 geteilt durch 8 mal Länge. Die ungünstigste
Aufstellung einer Einzellast ergibt sich aus der Ableitung der
Einflußlinie, mit F = 100 kN läßt sich dann MA max und MA min
ausrechnen.
EL BST1 Klinkel 23.03.2016-A4
https://youtu.be/kt3ERuCnq-0
Das System ist links
statisch unbestimmt, rechts statisch bestimmt. Die EL J ist eine
kinematische Einflusslinie und kann mit dem Lineal gezeichnet
werden. Die EL K: Kraft 1 ansetzen, M1 Fläche zeichnen, delta 11
ausrechnen und mit delta 11 X1 =-1 die Unbestimmte Kraft X1
bestimmen. Dann eine M2 und M3 Fläche zeichnen für die
Einzelverformungen wC = X1 delta 12 und wF = X1 delta 13. Dann mit
den Omega Zahlen in den Mittelpunkten die Durchbiegung bestimmen und
die EL K zeichnen, dabei auf die Krümmung achten, A-C Linkskrümmung,
C-E Rechtskrümmung, rechts von E gerade wegen M=0. Auswertung der
Einflusslinie Kmax 2xSimpson + Trapezforel + Dreiecksfläche, Kmin
zweimal Simpson.
Klinkel, 16_8_16 A3 Einflusslinie Wd
mit Spalt bei Feder
https://youtu.be/wL52Xw8Sgck
Zuerst ist die rechte Feder
weg, das System ist statisch bestimmt. Ich setze die Last 1 bei D an
und zeichne die Mo Fläche. Weil ich die Verformung in D suche,
zeichne ich die gleiche Fläche nochmal und bekomme wd = delta 10.
Die Verformung in C bekomme ich als Zusammendrückung der Feder, für
die Verformung in B setze ich nochmal die Last 1 an und überlagere
die M2 Fläche mit Mo. Weil ich mit Simpson bei der Auswertung nicht
über das Gelenk oder die Feder wegintegrieren kann, berechne ich mit
Omegazahlen noch die Verformungen in den Mittelpunkten w1,w2 und w3.
Zur Auswertung berechnet man die Fläche der Einflusslinie mit
Simpson und nimmt mit q mal, ergibt dann die Verformung in D. Weil
diese hier bekannt und u, läßt sich die Gleichung nach der Last
auflösen: Bei q1 = 3,6 kN/m setzt der Balken aud der Feder auf, die
verbleibende Last q2= 11,4 kN/m wird dann auf das System mit Feder
aufgebracht.
Nun ist das System einfach unbestimmt, Feder rechts
wird geschnitten, Last 1 ergibt die bekannte Mo-Fläche, X1=1 ergibt
die gleiche Fläche M1, nur ist die feder jetzt mit 1 dabei. X1 =
-d10/d11 ergibt -0,9, also gehen von der Last 1 90% in die Feder und
nur 10% in den Balken. Dadurch erhält man die gleiche Einflusslinie
wie vorher, nur durch 10 geteilt. Die Restverformung ergibt sich
jetzt mit dem Dreisatz aus der Grundschule zu u q2/q1 /10, sie ist
auf u aufzuaddieren.
Tutorium Baustatik 1 EL M an zweifach
unbestimmten System
https://youtu.be/hjemWYr5zY8
Gelenk in m und darunter
eingeführt, M1 und M2 Fläche gezeichnet, für die Verformungen
in B und D noch M3, M4 Flächen zeichnen, Gleichungssystem
Deltamatrix x1 x2 = - 1, 0 ergibt X1 und X2, M = x1 M1 + x2 M2,
Stabkraft links ausrechnen gibt Wa = - S L/EA, WB= X1 D31 + X2 D32,
am Ende analog, dann noch mit omega Dreieck in den Drittelspunkten
interpolieren.
Kinematische EL mit Hilfe der Kistenregel
https://youtu.be/-u1PH2EL1Zs
EL Mp gesucht, in P Gelenk
einführen, Blatt so drehen, dass gestrichelte Faser unten, der
rechte Winkel ist dann um eins größer als der linke. Vom Festlager
zum Gleitlager gehen, dann den geschlossenen Rahmen einmal in x- und
einmal in z-Richtung durchlaufen, Anfangspunkt beliebig, ergibt 4
Gleichungen für 4 Winkel. Dann von den Lagern aus alle interessanten
Punkte ansteuern und deren Vertikalverschiebung bestimmen. Die
Winkel rechts und links außen könnten mit der Kistenregel bestimmt
werden, der Aufwand lohnt sich nicht, weil die EL mit dem
Strahlensatz schon fertig ist.
BST1, Klinkel, A4, 22.3.17,
kinematische EL
https://youtu.be/YpjfMKL3zXE
Weil delta C gesucht ist,
Horizontalkraft dort als Last ansetzen und Mo-Fläche zeichnen. Weil
nur der Untere Teil AC Monmente bekommt, verhalten sich die anderen
Bauteile wie starre Körper. Mit Polplan oder Kistenregel lässt sich
die EL sofort zeichnen, wobei EFGHDC den starren Körper 1 bilden.
WF=0, also kann man den Punkt beliebig belasten, ohne dass in C eine
Horizontalverformung auftritt, bis man die Eulersche Knicklast des
Stabes AC = EI pi² / (2L)² = 1371 Kn erreicht, hier
Flüchtigkeitsfehler im Video. Bei dieser Last dürfte aber der
Obergurt durch Überschreiten der Festigkeit schlichtweg brechen. Im
weiteren wird noch erklärt, wie man vorgeht, wenn man die
kinematische EL nicht erkennt und Einskräfte in E, F uznd G ansetzt,
um deren Verschiebungen über delta 10,20,30 zu berechnen.
3) Weggrößenverfahren
Baudynamik Hausübung Teil 1
http://youtu.be/8Nt5aGx8A4M
Woher kommt die gegebene Steifigkeitsmatrix?
Wie wird diese von drei auf die zwei wesentlichen Freiheitsgrade
kondensiert? Inverse 3 mal 3 Nachgiebigkeitsmatrix bilden, diese auf
2 mal 2 zusammenstreichen und wieder deren Inverse bilden ergibt die
kondensierte 2mal 2 Steifigkeitsmatrix.
Stahlbau, Hausübung, Probe mit dem
Weggrößenverfahren
https://youtu.be/LpBqp73bm1E
Einführen der Freiheitsgrade u1, phi2 ergibt
bei Theorie erster Ordnung 2 sofort aufstellbate Gleichungen, die
Die Horizontalverschiebung der Ecke sowie den Verdrehwinkel liefern.
Daraus lassen sich die Schnittgrößen und Lagerkräfte zurückrechnen,
was ich aber nicht durchführe, weil sie bekannt sind aus
Gleichgewicht. Nun wird die Steifigkeit des linken Vertikalstabes
abgemindert, und wir bekommen ohne Abtriebskraft die gleichen
Ergebnisse wie nach der letzten Iteration. Da aber die weiteren
Iterationen nichts bringen, stimmen die Ergebnisse überein.
Vorbereitung zur Hausübung: Drehwinkelverfahren
mit zwei kinematischen Ketten
https://youtu.be/0jmVG8OrYX8
Beliebiges System vorgegeben
mit Rechtecklast, drei Knotendrehwinkeln, vier Stabdrehwinkeln, die
durch zwei Bindungsgleichungen miteinander verknüpft sind, einen
Winkel 1 setzen, den nächsten Null, und die beiden verbleibenden
ausrechnen gibt zwei Ketten, a und b. Jetzt Steifigkeitsmatrix
aufstellen, den Lastvektor, die drei Knotendrehwinkel und die
Unbekannten X4, X5 ausrechnen, und die Kette a mal X4 + die Kette b
mal X5 ergibt die tatsächlichen Stabdrehwinkel Xsi1 bis Xsi4. Jetzt
noch die Stabendmomente mit einfacher Formel ausrechnen, die
Querkräfte aus der Steigung der M-Fläche und die Normalkräfte aus
Knotengleichgewicht in x- und z-Richtung ergibt alle Quer- und
Normalkräfte. Bei den Momenten drei Proben, weil M in den Punkten b,
c und d stetig, und bei den Normalkräften nochmal zwei Proben, denn
6 Gleichungen hat man, und nur 4 Normalkräfte sucht man, alle Proben
passen.
Hausübung
https://youtu.be/7yq3cabf0KM
Ein Knotendrehwinkel, 4 Stabdrehwinkel, 2
Bindungsgleichungen ergeben wieder zwei kinematische Ketten.
Steifigkeitsmatrix und Lastvektor aufstellen, ph11, X2 und X3
ausrechnen und die Ketten a mal X2 plus b mal X3 ergeben alle 4
Stabdrehwinkel. Jetzt die Momente aufstellen, daraus die
Querkraftfläche ermitteln und zum Schluss durch Kräftegleichgewicht
in den knoten auf die Normalkräfte schließen.
einfaches
Beispiel zum Weggrößenverfahren mit Hintergründen
https://youtu.be/YAX1bMljR5A
Zwei Knotendrehwinkel und drei Stabdrehwinkel,
zwei Bindungsgleichungen ergibt eine kinematische Kette, xsi1=1
wählen, xsi2, xsi3 ausrechnen, und nachher alle mit dem Faktor X3
malnehmen. Steifigkeitsmatrix aufstellen, Lastvektor aufstellen,
Gleichungssystem lösen, phi1, phi2 ausrechnen und Kette mit X3
malnehmen, jetzt Stabendmomente ausrechnen, aus diesen die
Querkräfte bestimmen und durch Knotengleichgewicht die drei
Normalkräfte bestimmen. Drei Proben, Moment in b und c ist stetig,
und vier Gleichungen für drei Normalkräfte.
Das System wird
aufgeteilt in ein unverformbares System mit Lasten, ein System, bei
der nur Knoten a um phi1 dreht, eins, wo nur Knoten b um phi2 dreht
und eine kinematische Kette, alle zusammenaddiert ergibt die
Realität. Die Bedeutung der kij wird erklärt.
4) Theorie 2.Ordnung
Baustatik, Theorie 2.Ordnung, Spannungsnachweis
http://youtu.be/HxwdZyVEKOU
Ein Balken auf zwei Stützen ist mit einer
Gleichstreckenlast und einer Normalkraft belastet, die kleiner als
die Knicklast ist, aber deren Größenordnung hat. Ziel:
Spannungsnachweis in Feldmitte und Verformung. 1) M8x) aufstellen 2)
DGL der Biegelinie 3) homogene und partikuläre Lösung der DGL 4)
Randbedingungen 5) Spannungsnachweis nach Theorie 2.Ordnung
Stahlbau, Hausübung, Probe mit dem
Weggrößenverfahren
https://youtu.be/LpBqp73bm1E
Einführen der Freiheitsgrade u1, phi2 ergibt
bei Theorie erster Ordnung 2 sofort aufstellbate Gleichungen, die
Die Horizontalverschiebung der Ecke sowie den Verdrehwinkel liefern.
Daraus lassen sich die Schnittgrößen und Lagerkräfte zurückrechnen,
was ich aber nicht durchführe, weil sie bekannt sind aus
Gleichgewicht. Nun wird die Steifigkeit des linken Vertikalstabes
abgemindert, und wir bekommen ohne Abtriebskraft die gleichen
Ergebnisse wie nach der letzten Iteration. Da aber die weiteren
Iterationen nichts bringen, stimmen die Ergebnisse überein.
5) Baudynamik, kondensieren von Freiheitsgraden
Baudynamik Hausübung Teil 1
http://youtu.be/8Nt5aGx8A4M
Woher kommt die gegebene Steifigkeitsmatrix?
Wie wird diese von drei auf die zwei wesentlichen Freiheitsgrade
kondensiert? Inverse 3 mal 3 Nachgiebigkeitsmatrix bilden, diese auf
2 mal 2 zusammenstreichen und wieder deren Inverse bilden ergibt die
kondensierte 2mal 2 Steifigkeitsmatrix.
Baudynamik, Hausübung, Teil2
http://youtu.be/XEQEh8ssKlc
Der massenbehaftete Balken wird in 3
Punktmassen zerlegt, zwei werden wieder zu einem
zusammenkondensiert. Das System der DGLs wird hingeschrieben und die
Eigenfrequenzen und Eigenformen bestimmt. Da es sich in Wirklichkeit
um eine kontinuierliche Masse handelt, ist die Genauigkeit des
Ergebnisses als dürftig abzuschätzen - sie könnte verbessert werden,
indem man zumindest in der Mitte des Horizontalbalkens eine weitere
Punktmasse einführt oder die DGL für massenbehaftete Balken
herleitet und Randbedingungen einsetzt, das wäre die exakte Lösung.
Natürlich mit entsprechendem Mehraufwand.
Strömungslehre
1) Hydrostatik
Strömi, Ölbarriere
Konstruktiver Unsinn:
Schläuche sind aufblasbar, innen Luft, so Materialverschwendung.
https://youtu.be/2OsAtXQRO9E
Fallunterscheidung:
1) rho Öl
zwischen rho W und rho w/2, realsitisch, Öl läuft unter dem Ring
durch.
2) rho Öl = rho w/2, "Trivialfall", Ölfilm hat Höhe 2r und
läuft gleichzeitig über und unter der Barriere durch.
3)
Leichtöl: Öl läuft über der Barriere durch.
Es sind zwei
Gleichungen aufzustellen:
1) Hydrostatische Grundgleichung
2)
Kontrollsystem + Summe Fy
ergibt zwei Gleichungen für die
unbekannten Winkel phi1, phi2.