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Viele Lösungen zu aktuellen Übungen und Altklausuren sowie zu allgemeinen Lösungswegen findet ihr in meinem YouTube-Kanal. Viele der Videos kamen durch Anfragen von Studierenden zustande. Ist zum Beispiel eine Hausübung oder alte Klausuraufgabe unklar, kann ich ein Video dazu drehen, in dem alles erklärt wird.

Im folgenden eine Übersicht von allen meinen bisherigen Videos, nach Themengebieten sortiert. Innerhalb jeden Themengebietes sind die Videos dann chronologisch sortiert, die neuesten Videos also immer unten in jedem Abschnitt.

Videos können über facebook (z. B. Gruppe dischinger-repetitorium) oder E-Mail nachgefragt werden.

  YouTube-Kanal

 

Mathematik

 


1) Polynomdivision, Horner Schema

Mathe1, Polynomdivision mit dem Hornerschema, Beispiel http://youtu.be/h-TmBhsygIw
Ein Beispiel zum Hornerschema mit zwei Hornerfaktoren ohne jede weitere Schwierigkeit.

 

 


2) Ungleichungen:

Mathematik 1, Ungleichung
 http://youtu.be/1ShdWLilJds
Der linke Teil der Ungleichung ist einfach: x Betrag größer 1/4.
Der rechte Teil der Ungleichung wird in drei Fälle aufgeteilt:
1) Für x größer 2 sind die Betragszeichen weg, der Nenner positiv und wird hochmultipliziert. Kubische Gleichung, eine Nullstelle raten, Satz von Vieta, Hornerscheme, in drei Linearfaktoren aufspaltbar.
2) Für 0 kleiner x kleiner 2 dreht sich die Ungleichheitsrelation um, die kubische Gleichung ändert also nur ihr Vorzeichen.
3) Für x kleiner 0 drehen sich die Betragszeichen um, es entsteht eine neue kubische Gleichung, Vieta und Horner.
Am Ende müssen die drei Lösungsmengen der rechten Ungleichung vereinigt werden, das Ergebnis dann mit der ersten Lösungsmenge geschnitten.

Mathematik1, Ungleichung Nr.21
 http://youtu.be/Pd2nxmMX8HA
Eine verhältnismäßig einfache Ungleichung: Definitionsbereich ist ganz R, das erste Quadrieren ist unproblematisch, da beide Seiten positiv sind. Das nächste Quadrieren erfordert dann eine Fallunterscheidung, für positive x ist die Ungleichung immer wahr, da negativ kleiner als positiv. Für negatives x kann nochmal quadriert werden, x kleiner - Wurzel 6 oder x größer - Wurzel 2 ist dann die Lösungsmenge.

Mathematik1,Ungleichung:
 http://youtu.be/P1sVMiEaCSM
Definitionsbereich klären, für x größer 0 sofort mit x malnehmen, x größer gleich -11/8 führt auf L1: x größer Null.
Jetzt x kleiner Null, einfach Ungleichheitsrelation umdrehen, x kleiner -11/8 ist ebenfalls Lösung.

Mathe1,Klausur,Ungleichung:
 http://youtu.be/cJXjktpHbcY
Fallunterscheidung, x größer -1, Beträge weg, alles ausmultiplizieren, x-1 ausklammern, bleibt positiver quadratischer Term übrig, den man kürzen kann: L1 : X größergleich 1. Fall 2: x kleiner -1: Aufpassen, Betragszeichen liefert - links, Multiplikation mit x+1 dreht die Relation um, Rest analog eben, L2: x kleiner -3, L = L1 Union L2.

Ss16, A1c                                                                                                                                https://youtu.be/vP-4MpkHaAw
linke Seite Wurzek ziehen, Kreis um -4 mit Radius 5, also alle Zahlen außerhalb -1 und 9, diese Punkte inbegriffen. Rechte Seite dritte binomische Formel, dann Fallunterscheidung x+1 größer, gleich oder kleiner Null, im ersten Fall werden die Betragszeichen weggelassen und x+1 rausgekürzt, im zweiten Fall steht auf beiden Seiten Null, also wahr, im dritten Fall Minuszeichen bei Auflösen der Betragszeichen und Umkehr der Ungleichrelation bei Division mit x+1. Dann Zusammenfassen der Lösungsmengen.



3) Analytische Geometrie, Gleichungssysteme:

Höma1 H1:
 https://youtu.be/CBx814bW45A
a) zwei parallele Ebenen schneiden sich nicht
b) die Normalenvektoren sind linear abhängig, je zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, die drei Schnittgeraden sind aber alle parallel, also schließen die drei ebenen ein unendlich langen, dreieckförmigen Gang ein.

Höma2, H2:
 http://youtu.be/6UAbpjbniw0
3 Gleichungen mit drei Unbekannten, Lösungsmenge ist die Leermenge. Schnitt dreier Ebenen, die Normalenvektoren sind linear abhängig, liegen in einer Ebene, sind also komplanar. Schneidet man nun E1 mit E2, erhält man die Gerade G1, E2 mit E3 ergibt G2, E3 mit E1 ergibt G3. Die Geraden G1,G2,G3 sind parallel und bilden die Ecken eines unendlich langen, dreieckigen Ganges. Man kann auch noch dessen Fläche bestimmen. Es gibt also keinen Punkt, der zu allen drei Ebenen gleichzeitig gehört.

Mathe2, 1.Hausaufgabe, 1.1 und 1.2:
 http://youtu.be/2jf49KHXBEA
mit Gauß auf Diagonalenform bringen, für be ungleich 3, -3 eindeutig lösbar, für be = 3 ga = 0 komme eine Gerade raus, für andere Ga unlösbar, füt be =-3 kommt eine andere Gerade raus, wenn ga -12 ist.
Mathe 2, 1.Hausaufgabe 1.3 http://youtu.be/mYIK8ro2vx4
Geraden gleichsetzen ergibt s=1 und t=-2, einsetzen ergibt Schnittpunkt, dann Ebene in Parameterform hinschreiben, G1 mit Differenzvektor als zweiten Richtungsvektor, Kreuzprodukt bilden ergibt Normalenvektor, normieren und Gleichung malnehmen ergibt Hesseform der gesuchten Ebene.

 


4) Vollständige Induktion;

Höma1, vollständige Induktion:
 http://youtu.be/QmU6bYvgJqA
Eine typische Aufgabe zur vollständigen Induktion: Zerst mal den formalen Aufbau der Induktion mit Induktionsanfang, Induktionsvorraussetzung und Induktionsschluss ordentlich aufschreiben. Den Induktionsschluss umformen mit Umkehrfolgerungen, also Vergrößern der kleineren oder Verkleinern der größeren Seite. Zunächst die Induktionsvorraussetzung einsetzen. Dann die Terme zu
(1+1/m)^m zusammenfassen, Term geht übrigens gegen die Eulerzahl e. Dann Binominalkoeffizienten des pascaldreiecks einführen und ausmultiplizieren, die ersten beiden Terme liefern die erforderliche 2, der Rest wird weggeschätzt.

n! größer 2 hoch n-1 mal n-2 zum Quadrat                                                                                      https://youtu.be/s8VcLhDrHu4
Induktionsanfang klappt erst für n=6, 720 größer 512, IV, IS und dann solange umformen, bis eine wahre Aussage entsteht. Umkehrfolgerung bedeutet Verkleinern der größeren Seite.

 


5) Komplexe Zahlen:

komplexe Zahlen, Aufgabe9
 https://www.youtube.com/watch?v=TkO0J-C9BQI 
Zwei Gleichungen, die linke Gleichung ist einfach, mit der quadratischen Ergänzung ergibt sich das innere eines Kreises, Mittelpunkt x=0, y=1 Radius r=1. Der rechte Teil wird auf den Hauptnenner gebracht und konjugiert erweitert, die Gleichung quadriert, viele Terme heben sich raus, dann kann der Term x²+y² ausgeklammert und weggekürzt werden, übrig bleibt x größer gleich 1/2.

 



6) Folgen


Mathe1, Folge mit epsilon-delta Nachweis
 http://youtu.be/yWIfPTgbk_s
Zuerst wird der Grenzwert gebildet und Betrag von an-g hingeschrieben. Term auf Hauptnenner bringen, Betragszeichen im Zähler können hier sofort entfallen, alles in höchste Potenz umwandeln. Im Nenner Vorzeichen in den Betragszeichen rumdrehen und Hälfte der führenden Potenz abziehen. Dann Term großzügig noch weiter vergrößern und Vereinfachen, ergibt N von Epsilon. Schlusssatz nicht vergessen - und eine genaue Begründung, warum die Betragszeichen im Nenner entfallen, bitte diese hier noch einmal gut ansehen, ohne diese Begründung sind die Punkte weg in der Klausur.

Mathematik1,Folge,epsilon-n-Nachweis
 http://youtu.be/6sybP4KM1FA
Folge, Grenzwert bestimmen durch weglassen der kleinen Terme, Betrag von an-g bilden, auf Hauptnenner bringen, oben kürzt sich höchste Potenz weg, oben Dreiecksungleichung, dann alles auf höchste Potenz bringen und aufaddieren, unten Teil der höchsten Potenz abziehen, dabei Nebenrechnung und erklären, warum die Betragsstriche weg sind, dann zusammenfassen und nach n auflösen, Schlusssatz hinschreiben.

Mathe1,Aufgabensammlung1,Seite5,Nr3:
 http://youtu.be/26AQVBEqxGs
Nullfolge: sin x wird durch sein Argument vergrößert, gilt für alle positiven x. Danach n³ kürzen, im Nenner Hälfte der höchsten Potenz abziehen, die übliche Nebenrechnung mit Begründung, warum Betrag auch im Nenner entfällt, Auflösen nach n und Schlusssatz.

Mathe1,Aufgabensammlung,Seite6,Nr19
 http://youtu.be/fVKawbISbS4
ln n+1 wird zu n vergrößert, der tanh ist kleiner 1 und kann leicht weggeschätzt werden. Die Abschätzung des ln wird mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung nachgewiesen. Dann wieder im Nenner Hälfte der höchsten Potenz abziehen, übliche Nebenrechnung und Begründung, warum Betragsstriche im Nenner entfallen. Nach n auflösen, Schlusssatz.

Mathe1,Aufgabensammlung1,Seite7,Nr10:
 http://youtu.be/4sPYAQTMCH0
Mit ln Gesetzen einen ln mit einem großen Bruch dahinter erzeugen, konjugiert erweitern, Bruch durch n² kürzen, Ergebnis ln2. Zweiter Teil wird nachgereicht.

Mathe1,Aufgabensammlung,1,Seite7,Nr.10f:
 http://youtu.be/4uQ7DKlm8uk
konjugiert Erweitern, durch n hoch 5/2 kürzen, Wurzel betha² = betha Betrag, Zähler geht gegen - betha², Nenner gegen 2 mal betha betrag+1

Mathe1, Aufgabensammlung, Seite8, Nr.14:
 http://youtu.be/jhvTsYBd2Ls
rekursiv definierte Folge, als Grenzwerte kommen 0, 1 oder 2 in frage, wegen a1=1/2 eigentlich nur 0 und 1, weil a2 kleiner a1, setzen wir auf monoton fallend und untere Schranke Null, zeigen ersteres durch äquivalente Umformung, für 0 kleiner an kleiner 1 wahr, und letzteres zeigen wir mit vollständiger Induktion. Ist eine rekursiv definierte Folge eine Nullfolge, liefert das Quotientenkriterium häufig eine sehr bequeme Alternative, die hier zwar geht, aber kaum Arbeit einspart, da 0 kleiner an kleiner 1 auch dann noch gezeigt werden muss.

Mathe1, Klausur, rekursiv definierte Folge:
 http://youtu.be/yw5z0FtaRfY
Normale rekursiv definierte Folge, Grenzwert ist -5, beweisen, dass an monoton fällt und dass -5 untere Schranke ist, Schlusssatz schreiben, keine Fallen, Haken oder sonst was.

Mathe1, Klausur, Folge mit Betha:
 http://youtu.be/g8I71flOh0c
Die 2 in die erste Wurzel reinmultiplizieren. 4 betha muss dann 1 sein, damit sich die führenden Potenzen wegheben. Also betha = ¼. Konjugiert erweitern ergibt den Grenzwert 8.

Mathe1,Klausur, Folge mit epsilon-N-Nachweis
 http://youtu.be/vPeTimbD3kc
Den Betrag von an-g = an+3 auf Hauptnenner bringen, Im Nenner Hälfte der führenden Potenz abziehen, in Nebenrechnung zeigen, warum n²/2 größer als 10 ist, Begründung, warum Betragszeichen wegfallen, hier unbedingt erforderlich, im Zähler ist dies hier trivial. Dann weiter vergrößern und nach n auflösen, N von Epsilon ist dann das Maximum aus 3 und dem Ergebnis der Rechnung. Beim Schlusssatz, hier nicht gefragt, wichtig, dass es für jedes Epsilon größer 0 gelten muss.


SS16, A2c, Folge mit Fallunterscheidung für k                                                                                   https://youtu.be/xVLPsa7SMMM
Zähler und Nenner durch Wurzel n teilen, im Zähler bleibt Wurzel 2 übrig, für k größer gleich 3 geht der Nenner gegen unendlich, a=0, für n=2 geht der Nenner gegen 2, a = ½ Wurzel2, für k=1 geht der Nenner gegen Null, die Folge divergiert.

 


7) Reihen:

Mathe1, Klausur, Reihe mit Sinus
 http://youtu.be/Kve8qZqw24I
Für Betrag x größer 1 konvergent, Sinus gegen 1 abschätzen, für betrag x kleiner 1 konvergent, Sinus gegen Argument abschätzen, für x=1 konvergent nach Leibniz, Nullfolge, Monotonie zeigen, für x = -1 heben sich Minuszeichen weg, Reihe 1/k mit Minorantenkriterium erzeugen, divergent. Auf viele kleine formale Kleinigkeiten achten, lim beim Wurzelkriterium, die ganzen Betragszeichen usw., hier kann man trotz richtiger Idee schnell alle Punkte einbüßen durch kleine Fehler beim Aufschrieb.

Mathe1, Klausur, Reihe mit x hoch 2k:
 http://youtu.be/6mndzOUVD-I
Quotientenkriterium, x Betrag muss kleiner Wurzel 3 sein, +- Wurzel 3 mit dem notwendigen Kriterium nachweisen, weil dass Quotientenkriterium hier nicht greift.

Mathe1klausur,Reihe,konjugirt erweitern:
 http://youtu.be/hv5sUSRG5_c
konjugiertes Erweitern ergibt die Reihe 1/k hoch 1,5, die entweder aus der Vorlesung als konvergent bekannt oder mit dem Integralkriterium als konvergent nachgewiesen wird. Wie Urde das im Übungsbetrieb gezeigt, da Integrale zum Zeitpunkt der Reihen noch nicht behandelt waren, gibt es einen dritten Weg, die Konvergenz zu zeigen?

 

Reihe mit Partialbruchzerlegung                                                                                                     https://youtu.be/LKX32iSMdDI
Die Hauptschwierigkeit, den Term 4 n² + 8n +3 zu faktorisieren in  2n+1 mal 2n+3 , danach Partialbruchzerlegung, A, B durch Zuhalten ermitteln und Summe ausschreiben, ergibt den Wert  ½, wie in der Musterlösung angegeben.


Geometrische Reihe                                                                                                                    https://youtu.be/xZhj35O2x8Y
2 nach vorne ziehen, 3 hoch 2n ist 9 hoch n, 3 hoch 3n ist 27 hoch n. Weil die Reihe bei 1 losgeht, muss ein x vor die Reihe gezogen werden, danach erhält man 1 durch 1-x. Die Terme nachher wieder zusammenfassen.



8) Stetigkeit mit Epsilon-Delta-Nachweis


Mathematik1, Aufgabe zur Stetigkeit:
 http://youtu.be/twR0KG5eXF8
Mit Grenzwert: Ist der Grenzwert einer Funktion Null, so ist auch der Grenzwert von f Betrag Null, dann kann man ihn vergrößern und zeigen, dass er immer noch Null ist - was ohne die Betragsstriche nicht geht, er könnte negativ sein. Der cos wird dann gegen 1 abgeschätzt, die e-Funktion geht gegen e hoch Null = 1, der erste Term geht gegen Null, damit ist f stetig.
Mit dem Epsilon kann der cos auch gegen 1 abgeschätzt werden, aber die e-Funktion muss in einem beliebig gewählten Intervall um Null, x Betrag kleiner 1 z. B., gegen den ungünstigsten Wert abgeschätzt werden, das wäre e². Der Exponent von x kann kleiner gemacht werden, weil der Term dadurch größer wird, wenn x betraglich kleiner 1.

Stetigkeit der Funktion 1/x³ an beliebiger Stelle Xo:
 http://youtu.be/Q2uA3hKhROw
Hauptnenner, im Zähler X-Xo zum Betrag ausklammern und dann x abschätzen, im Zähler nach oben, im Nenner nach unten, dazu Intervall auswählen, zum Beispiel der Breite Xo Betrag halbe um Xo.

 

 


9) Differentialrechnung:

E-Test Ableitung von tan x:
 https://www.youtube.com/watch?v=osWtdrn2ph8 
tan x = sin x / cos x wird mit der Quotientenregel (z´n-n´z)/n² abgeleitet zu 1/cos²x oder 1+tan²x. Dann wird die Eulersche Identität der komplexen Zahlen erklärt und die Quotientenregel nochmal angewendet, bis wieder 1/cos²x entsteht.

Mathematik1,AufgabezurDiferenzierbarkeit.
 http://youtu.be/TQivQ8vKVXg
Nur der Nullpunkt ist kritisch, linksseitiger limes ist Null wegen Päckchen packen, rechtsseitiger auch Null, eine Runde mit L´Hospital, Form 0 durch 0. f(x) durch f(0)=0 stetig ergänzbar, die neue Funktion ist nicht differenzierbar: Links lim Differenzenquotient ergibt 1 über Päckchen packen, rechts einmal L´Hospital, durch x kürzen, ergibt 1/2, damit in Null nicht differenzierbar, sonst aber im gesamten Definitionsbereich schon als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen.

Mathe1,Aufgabe zur Differenzierbarkeit:
 http://youtu.be/fiYoBVwUvjM 
Funktion durch f(0) =0 stetig ergänzbar, linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten ist 4, für betha = +- Wurzel 8 ist auch links die Steigung 4. Einfaches Übungsbeispiel zum Päckchen packen, der ln von Wurzel e + x geht einfach gegen 1/2.

Mathe1,Klausur,Umkehrfunktion:
 http://youtu.be/CkX93HBOSKg
Zuerst mal Aufgabenstellung verbessern: da ist y = g, also entweder überall g oder überall y. Ich stelle erst mal fest, dass y streng monoton steigt, Injektiv ist und damit die Umkehrfunktion existiert, löse die Gleichung einfach nach x auf, erhalte e hoch Wurzel x und leite dann ganz normal mit Kettenregel ab. Ich zeige aber auch die Alternative: Satz über die Differenzierbarkeit der umkehrfunktion anwenden. Dann y=1 und x=e einsetzen.

 



10) Integralrechnung:

Mathe1 Steffensen, 4.Hausaufgabe, Aufgabe 4.2a:
 https://www.youtube.com/watch?v=XnMQemUPFjc 
Ein Integral aus zwei sich reproduzierenden Funktionen wird zweimal mit der partiellen Integration (=Produktintegration) behandelt, das Ursprungsintegral entsteht dann wieder auf der rechten Seite, und die Gleichung kann nach I aufgelöst werden. Welcher Term integriert wird, ist frei wählbar. Beachte das Video zur partiellen Integration. Es sind insgesamt drei Minuszeichen, eins aus der ersten partiellen Integration, eins aus der zweiten partiellen Integration und eins aus der Ableitung des cos 2x, also steht hinten insgesamt - 1/4 IntegralEs sind insgesamt drei Minuszeichen, eins aus der ersten partiellen Integration, eins aus der zweiten partiellen Integration und eins aus der Ableitung des cos 2x, also steht hinten insgesamt - 1/4 Integral.

Mathe1, Steffensen, 4.Hausübung, Aufgabe 4.2:
 https://www.youtube.com/watch?v=EB1OMHEJ_K4 
Substitution und partielle Integration: Zuerst wird der arsinh wegsubstituiert, dann eine partielle Runde und resubstituieren.

Mathe1, 4.Hausübung, Aufgabe 4.1:
 https://www.youtube.com/watch?v=DTuku7M1LPY 
Partialbruchzerlegung mit Integration: Multiplizieren mit dem Nenner ergibt ein Gleichungssystem, 4 Gleichungen für A,B,C,D, dann Lösen der Grundintegrale.

E-Test Mathe 1 Integration:
 https://www.youtube.com/watch?v=IpWVDx1UMxI 
Hier werden drei Aufgaben gelöst:
1) Integral ln²x dx
2) Integral lnx/x dx
3) Integral 1/Wurzel (-x²-4x-3)dx

Mathe1, Integral x hoch n mal lnx dx:
 http://youtu.be/zxlFKzRt0QM
Einmal partielle Integration und fertig, alternativ mit Substitution, auch danach 1 mal partielle Integration.

Mathe1, Integral mit partieller Integration:
 http://youtu.be/Xv_60QLy2Jw
Die e-Funktionen in 1/2 sinh x umwandeln, zwei partielle Runden in beliebiger, aber gleicher Richtung, es entsteht wieder das Ausgangsintegral, nach dem die Gleichung dann aufgelöst werden kann.

Mathe1,Klausur,Vater-Sohn:
 http://youtu.be/h-fFBoJWJTM
sin³x = sin x (1-cos²x), es entsteht das Integral –cos x hoch -5 + cos x hoch -3 mal – sin x, was durch scharfes hinsehen als Vater Sohn Integral integriert werden kann, Grenzen einsetzen, Plausibilitätskontrolle, Ergebnis muss zwischen 0 und Pi/4 liegen, da 0 kleiner f(x) kleiner 1.

Mathe1, Integral 1 durch 2 sinx cosx:
 https://youtu.be/8S0Kwz_RdR8
Zähler in cos² + sin² umformen, zwei Vater Sohn Integrale erzeugen, LN-Gesetze anwenden, oder die vorgeschlagene Substitution vornehmen, u = tan x, du = dx / cos²x.
Integral cosx dx durch sinx + sin³x https://youtu.be/GeL8cXNOlz4
Substitution sin x = z führt sofort zu einer Partialbruchzerlegung, A durch Zuhalten bestimmen, nach links rüber und auf Hauptnenner bringen, Grundintegrale hinschreiben, Logarithmen Gesetze anwenden und resubstituieren, Integrationskonstante nicht vergessen.

Flächenberechnung,Integration mit Schnittpunkten:
 https://youtu.be/V4bbAEftuX0
Zuerst eine Skizze mit den drei Funktionen machen und die zu berechnende Fläche schraffieren. Dann durch Gleichsetzung der jeweiligen Funktionen die Schnittpunkte x1, x2 ausrechnen. Bei Gleichsetzung der Wurzel mit der Hyperbel ist Quadrieren eine Folgerung, keine äquivalente Umformung, wodurch eine Lösung dazukommt. Diese kann einmal an Hand der Skizze als irreführend erkannt werden, einmal durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung, die dann wegen unterschiedlicher Vorzeichen nicht erfüllt wird. Jetzt die beiden Integrale von 0 bis 1 und von 1 bis 2 aufschreiben, neu zusammenfassen, integrieren und Grenzen einsetzen.

Partialbruch mit irreduziblem Polynom zum Qaudrat                                                           https://youtu.be/2AOXNkvoAnA
Da der Grad im Nenner höher ist als der Grad im Zähler, kann sofort mit der Polynomdivision begonnen werden. A durch Linearfaktor², B durch Linearfakror, Cx+D durch Irreduzibel² + Ex+F durch Irreduzibel, A wird durch Zuhalten bestimmt, ist ½, und links rüber gefahren, Hauptnenner, binomische Formeln, Linearfaktor läßt sich gleich zweimal wegkürzen, heißt B=0. Danach erste binomische Formel anwenden, und man ist sofort mit der Partialbruchzerlegung fertig, alternativ Koeffizientenvergleich, 4 Gleichungen, C01, D=0,  F=1/2 und E=0. Der Term mit dem Irreduziblen zum Quadrat ist ein Vater Sohn Integral wegen x² im Nenner und 2x im Zähler.

Partialbruch mit quadr. Linearfaktor plus irreduziblen Polynom                                              https://youtu.be/ddtdynNrBmk
Grad im Nenner höher als im Zähler, Nenner faktorisieren in x-1 zum Quadrat plus x²+2, A durch Zuhalten bestimmen, links rüberbringen und auf Haupnenner, durch x-1 kürzen, B durch Zuhalten bestimmen und Vorgang wiederholen. Cx+D fällt einem entgegen, dann noch das Integral lösen.


 

 


11) Volumenintegrale:

Halbkugel, Volumen und Schwerpunkt mit Dreifachintegral:
 https://youtu.be/9z4SjW4S4Og
Die Fläche r dr dtheta legt bei Rotation um die Vertikalachse den Weh r sin theta dphi zurück, somit erhält man Dv, Integration ergibt das Volumen, Multiplikation mit y = r cos theta ergibt den Schwerpunkt über Integral y dV / V. Ich kenne das als Kugelkoordinaten, nicht Zylinderkoordinaten.

 

 


12) Stetigkeit zweidimensionaler Funktionen

Mathematik2, Stetigkeit zweidimensionaler Funktion, Beispiel1:
 http://youtu.be/rbyvS8yLoWY
Mit einer Substitution wird das Problem in den Nullpunkt verlegt. Dann wird gezeigt, dass Betrag der Funktion kleiner als Wurzel aus x²+y² ist, danach kann die Stetigkeit einfach durch den lim für x,y gegen 0,0 gezeigt werden oder mit der Epsilon Delta Definition. Mit Polarkoordinaten ist der Nachweis der Stetigkeit dagegen grundsätzlich nicht möglich.

Standardbeispiel einer nicht stetigen Funktion:
 http://youtu.be/J1P9S_UnWp0
Die Funktion ist in jeder Richtung stetig, d.h. man kann alle Geraden in der x,y-Ebene untersuchen, die durch den Nullpunkt gehen, und immer ist der Grenzwert Null. Dies scheint schlüssig die Stetigkeit nachzuweisen. Geht man jedoch auf einer Parabel zum Ursprung, so stellt man fest, dass der Grenzwert 1/2 ist und die Funktion nicht stetig sein kann. Daraus folgt:
1) Mit Polarkoordinaten läßt sich niemals die Stetigkeit beweisen, wohl aber die Unstetigkeit, wenn die Grenzwerte für unterschiedliche Winkel differieren.
2) Das in den Übungen so gerne angewendete Folgenkriterium ist völlig überflüssig, weil der Grenzwert x gegen Null mit y = Funktion von x das selbe Resultat schneller bringt.

Vorrechenübung 8.1, Stetigkeit:
 http://youtu.be/ylc0ivkjaxg
Die Funktion ist stetig außerhalb des Nullpunktes. Es werden dann die Schnitte x=0, y=0 und x=y untersucht, die ersten beiden sind trivial Null, der 45 Grad Schnitt ist schwierig und erfordert eine Abschätzung mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Dann wird mit der gleichen Abschätzung der Stetigkeitsbeweis allgemein geführt, Epsilon - Delta.

Mathe2, Vortragsübung 8.2:
 http://youtu.be/uF4n5DWpcSQ
einfach y=0 setzen, f wird zu 1 durch x², geht bei Null gegen Unendlich, also kann f im Nullpunkt nicht stetig ergänzbar sein.
 
Mathe2, Vorrechenübung 8.3:
 http://youtu.be/w2fp965meag
y=0 setzen, Steigung ist 1, Funktion ist x, dann x = 0 ergibt Null, also partiell difbar, grad f = 1,0 . Dann Definition der Difbarkeit im Nullpunkt, y=x setzen, Grenzwert ist nicht Null, also nicht difbar.

Mathe 2, Differenzierbarkeit:
 http://youtu.be/xN9DrcDQYmQ
Eine Funktion wird auf Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit untersucht. X hoch 10 wird im Nenner weggelassen, y hoch 8 rausgekürzt, im Zähler bleiben x und y hoch 2 übrig, geht gegen Null, stetig, differenzierbar ebenfalls, dabei wird noch die Wurzel aus x hoch 2 + y hoch 2 einmal weggekürzt. grad ist 0,0 .

Garadient einer zweidimensionalen Funktion:
 https://youtu.be/euYAXr1ivTc
Einmal x einmal y als konstant ansehen und nach der anderen Größe ableiten. Ein Problem ist im Video noch verschwiegen - wenn ich so mit der Ableitungsfunktion argumentiere, dann muss ich vorher die Stetigkeit zeigen, weil die Funktion ja im Nullpunkt separat gegeben ist. Dieses Problem entfällt, wenn man statt der Ableitungsfunktion den Grenzwert des Differenzenquotienten bildet.

Differenzierbarkeit:
 https://youtu.be/x94hs3ps63o

 


13) Differentialgleichungen

E-Test zum Bernoulli:
 http://youtu.be/xptRBiaE5yc
Bernoulli: Als Kochrezept ohne Herleitung DGL mit y´, y und y hoch n, Faktor 1-n bilden, y = y hoch 1/ Faktor, rechte Seite mal Faktor, y´ wird zu z´, y zu z, und z hoch n fällt weg. Lineare DGL in z lösen, homogene DGL durch Trennung der Variablen, partikuläre DGL mit Variation der Konstanten. Aufgaben 3+4 sind einfache seperable DGLs.

Mathe2,4.HÜ, A4.1:
 http://youtu.be/77MAR0gO6yU

Mathe2, A4.2:
 http://youtu.be/nKT6yqiKppU
Seperable DGL, Definitionsbereich t€R, y betrag kleiner gleich 5, f stetig, Peano, Existenz, für y0ungleich 5,-5 eindeutig, Picard-Lindelöf, lipschitz-stetig, da partielle Ableitung nach y beschränkt, für y0 = 5 oder - 5 evtl. mehrdeutig. Trennung der Variablen, zwei Integrale lösen, Anfangsbedingungen einsetzen.

Mathe2,BernoulliDGL,n=0,5:
 https://youtu.be/z41NoGM0dXM
Bernoulli DGL, Definitionsbereich für x und y festlegen, Existenz nach Satz von Peano feststellen, mit Satz von Lindelöff-Picard ergibt sich eine eindeutige Lösung bei yo ungleich 0, für Anfangswerte yo=0 dagegen müßte man mit mehr als einer Lösung rechnen, da die partielle Ableitung der Funktion f (y,x) nach y nicht beschränkt ist, also nicht Lipschitzstetig.
Die Bernoulli Substitution ergibt eine lineare DGL in z, homogene Lösung durch Trennung der Variablen, partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten, Aufaddieren, y = x² ergibt y als Funktion von x, Randbedingung einsetzen ergibt die Integrationskonstante.

Lineare DGL mit Trennung der Variablen:
 https://youtu.be/F3L9bya-m0w
Definitionsbereich festlegen, y,t Element R ohne Einschränkung. Typ seperable DGL erkennen, Lösung durch Trennung der Variablen y und t. Integration, bei ln Betragszeichen, Integrationskonstante c Element R. e-Funktion auf beide Seiten loslassen, Vorzeichen der Betragszeichen zu e hoch c schlagen und +- e hoch c als k definieren, k ungleich Null. Dabei wurde Exponentialgesetz e hoch (a+b) = e hoch a mal e hoch b angewendet. Nach y auflösen und Anfangsbedingung einsetzen ergibt die Konstante k=1. Auf Äquivalenzzeichen achten.

Eulerverfahren, explizit, implizit, an wenig geeignetem Trivialbeispiel:
 https://youtu.be/CAFyCCnLz4s
Explizit: Startwert yo,to, Steigung ausrechnen, Gerade bis t1=to+h zeichnen, dort wieder Steigung ausrechnen. Formel also:          y1 = yo + h f (yo,to) usw.
Beim impliziten lautet die Formel:    y1 = yo + h f (y1,t1) ,
 wobei t1 bekannt ist, wieder to+h, aber y1 ist unbekannt und steht jetzt auf beiden Seiten der Gleichung.
Das Beispiel ist schlecht gewählt: y´ = y² sin t , Anfangsbedingungen yo=0, to=-3, Schrittweite h = 3+pi. Wegen yo = 0 ist die Steigung immer Null, so dass alle y-Werte immer wieder Null sind, sowohl beim expliziten als auch beim impliziten Verfahren. Auch die exakte Lösung ist die triviale y=0 Funktion.

Lineare DGL, partikuläre Lösung, zweifache Resonanz:
 https://youtu.be/bh7vDk4tpOw
keinen Cosinus enthält, ist auch hier der Eigenwert Null, somit doppelte Resonant. Ansatz in Form es Störglieds, also ao + a1 t + a2 t², und wegen doppelter Resonanz alles mit t² malnehmen, einsetzen in die DGL und Koeffizientenvergleich.


Mathe2, Aufgabe3, System von DGLs, zu Fuß entkoppelt:
 https://youtu.be/D-uWBS5HWiw
Erste Gleichung nach y2 auflösen, ableiten, beides in Gl. 2 einsetzen ergibt eine Gleichung in y1, alles auf eine Seite bringen, charakteristische Gleichung aufstellen, prüfen mit Invariantentheorie auf Rechenfehler, dann Lösung hinschreiben. Y1 ableiten, und alles in die oberste Gleichung einsetzen, die sofort y2 liefert. Das Lösen der charakteristischen Gleichung erfolgt mit der p-q-Formel.

Mathe2, Aufgabe4, DGL System mit Eigenvektrmethode:
 https://youtu.be/M9djp7fBDbc
Störfunktion weglassen, Ansatz Y = Vektor A mal e hoch Lambda t, ergibt det (A - Lambda E) = 0,wobei E = I = Einheits- oder Identitätsmatrix. Die charakteristaische Gleichung läßt sich verallgemeinern zu lambda² - Spur A * Lambda + det A = 0 und liefert hier die Eigenwerte 0 und 4. Setzt man diese in (A - Lambda E ) y = 0 ein, entstehen zwei linear abhängige Gleichungen, eine wegstreichen, ein y wählen, das andere ausrechnen, und an hat die Eigenvektoren und damit die homogene Lösung. Partikuläre Lösung mit Ansatz in Form des Störglieds und Koeffizientenvergleich, wegen einfacher Resonanz muss hier noch t² mit angesetzt werden. Das Gleichungssystem, 6 Gleichungen für a0,a1,a2,b0.b1,b2 lässt sich in zwei Gleichungen für a1, b1 umformen, a2, b2 bekommt man dann sofort, a0, b0 sind uninteressant, da schon in der homogenen Lösung enthalten.

Invariantentheorie bei System aus 3 DGLs mit reellen Eigenwerten                                                        https://youtu.be/6_lRc8U0B1w

Aus der Matrix A werden die 3 Invarianten bestimmt, I = Spur A, II = Summe der Unterdeterminenten, III = Determinante von A, damit lautet die Eigenwertgleichung:   La³ - I La² + II La – III = 0, faktorisieren mit Hilfe des Horner Schemas und Eigenwerte bestimmen. Die transformierte Matrix mit den 3 Lambdas auf der Hauptdiagonalen hat dieselben Invarianten wie die Matrix A, so können die Lamdas kontrolliert werden. Jetzt werden die 3 Eigenwerte gebildet und die Lösung des Differentialgleichungssystems hingeschrieben, mit Anfangsbedingungen könnten die  Konstanten noch bestimmt werden.

 

 

 


Physik


1) Linsengesetze

Linsengesetze:
 https://www.youtube.com/watch?v=ayl23ICKLJA 
Herleitung der beiden wichtigsten Linsengesetze, Begriffe konvex, konkav, optische Achse, Bildgröße, Gegenstandsweite, Brennweite, chromatische Aberration.

Optik, Linsen, Aufgabe 1:
 https://www.youtube.com/watch?v=CjHpnfvUaY4 
Einfache Anwendung der Linsengesetze bei einem reellen Bild, einfach Zahlenwerte in die beiden Linsengleichungen einsetzen, eine typische * Aufgabe.

Optik, Linsen, Aufgabe 2:
 https://www.youtube.com/watch?v=_GNXW238e54 
Die Linsenmachergleichung wird ohne Herleitung aus der Formelsammlung entnommen (Herleitung wird auf Papier verteilt). Es wird daraus die symmetrische Bikonvexlinse und die Plankonvexlinse abgeleitet. Dann wird erklärt, was n bedeutet, wenn die Linse in Wasser getaucht wird. Ist die Brennweite in Luft gegeben, lässt sich zunächst der Linsenradius r ausrechnen und dann die Brennweite in Wasser. Die Endformel wird angegeben.

Optik, Linsen, Aufgabe 3:
 https://www.youtube.com/watch?v=0Te05Pb6Dvg 
Eine Linse wird als Lupe verwendet. Wir können die beiden Linsengleichungen wie gewohnt verwenden, müssen aber berücksichtigen, dass wir ein virtuelles Bild bekommen und damit die Bildweite und die Bildgröße negativ sind. B=-10 cm ist also der Schlüssel, und g=4,05 cm das Endergebnis. Endformel g = (1+G/B)*f, und mit b=-40,5 cm kann man die Probe in beiden Gleichungen machen.

Optik, Linsen, Aufgabe 5:
 https://www.youtube.com/watch?v=ozBBhW42d2w
Eine * Aufgabe, reelles Bild wegen Projektionsfläche, die gleiche Endformel wie in Aufgabe 4 liefert g=12,81 cm = (1+G/B)*f - bitte daran denken, das Einsternaufgaben genauso viele Punkte bringen wie Dreisternaufgaben, deswegen sollte man genügend zur Übung rechnen und sich auch auf die Herleitung der Endformel und die Fehlervermeidung durch Proben konzentrieren.

Optik, Linsen, Aufgebe 7:
 https://www.youtube.com/watch?v=jlBTr79jCSE
***Aufgabe: Ein Mikroskop: Ein Gegenstand G1 unmittelbar vor dem ersten Brennpunkt ergibt ein vergrößertes Bild B1, dass dann für die zweite Linse der Gegenstand G2 ist. Es muss unmittelbar beim Brennpunkt der zweiten Linse liegen, hier liegt es etwas rechts von diesem, womit ein virtuelles Bild entsteht, B2 und b2 sind negativ, B2 = -20,9 cm ist das Endergebnis, dann ist noch die Endformel herzuleiten. Es werden also die üblichen Linsengesetze aufgestellt, erst b1, dann G1=B2, dann g2=D-b1, dann b2 und zuletzt G2 berechnet.

Optik, Linsen, Aufgabe 8:
 https://www.youtube.com/watch?v=6UwqWfC3r_Q 
Weil g kleiner f und das Wort Lupe dasteht, handelt es sich wieder um ein virtuelles Bild mit b, B negativ. Das erste Linsengesetz ergibt die Bildweite b=-12 cm, das zweite die Bildgröße des Marienkäfers -1,6 cm.



2) Gravitation

Satellit Gravitation:
 https://youtu.be/AUqBD3QCw9k
zuerst wird das Newtons Gravitationsgesetz hingeschrieben. Da die allgemeine Gravitationskonstante und die Erdmasse nicht gegeben sind, können sie durch Betrachtung einer Masse auf der Erdoberfläche durch g und re ersetzt werden, mg = Newtonsche Gravitationskraft - Fliehkraft, Fliehkraft M Omega Erde ² re kann vernachlässigt werden. Gleichsetzen von Fliehkraft und Gravitationskraft beim Satelliten ergibt v, mit dem Kreisumfang 2 pi r ergibt sich die Umlaufzeit in Sekunden, die in Stunden und Minuten umzurechnen ist. Die Potentielle Energie wird durch Integration hergeleitet, kin. Energie und pot Energie weren bestimmt und addiert. Bei E kin ist zu berücksichtigen, dass der Sattelit am Anfang durch die Erddrehung schon eine Anfangsgeschwindigkeit vo hatte, vo = re mal Omega Erde.


3) Gastheorie

Ballonaufgabe Helium:
 https://youtu.be/Mwy95ex7GoE
Prinzip des Archimedes: Auftrieb ist das Gewicht der verdrängten Luftmasse. mg und das Gewicht des Heliums wirken nach unten, die Auftriebskraft nach oben, gleichsetzen, g kürzen und nach dem Volumen auflösen. Mit V = 4/3 pi r³ ergibt sich der Radius und damit der Durchmesser. Volumen in Kubikmeter mal 1000 ist Volumen in Liter, und durch 700 teilen, wenn man flüssiges statt gasförmiges Helium benutzen will. Wasserstoff ist leichter als Helium und würde funktionieren, ist allerdings feuergefährlich und zu Recht verboten. Steigt der Ballon, wird die Dichte von Luft kleiner, unser Ballon könnte also nur direkt über dem Boden schweben.

Geschwindigkeit und kin Energie Helium Normbed.:
 https://youtu.be/oZsy5a_prVg
Gaskonstante R durch molare Masse He = 4,003 ergibt spezifische Gaskonstante von Helium, 2077 J/ Kg K, womit sich aus rho = P / R T die Heliumdichte rho = 0,17859 kg/m³ ergibt, unter Normbedingungen, also 0°C = 273,15 K und einem Druck p=101325 Pa. Ein Liter hat somit die Masse m178,59 / 10^6 kg.
Mit der mittleren Geschwindigkeit V = Wurzel (8000 T RHe/pi) = 1212 m/s ergibt sich die kinetische Energie 1/2 m v² = 129,1 J. Die Formel 1/2 m v² gilt bei Edelgasen, weil sie nur in einzelnen Atomen vorkommen, bei Molekülen geht 40% der Energie in Rotation der Teilchen.


Geschwindigkeit, Ekin, 1Liter Helium:
 https://youtu.be/KGq2bakOM0k  https://youtu.be/QjD-PrsecA8
1 Liter Helium unter Normbedingungen: Druck p=101325 N/m², T = 0°C= 273,15 K. Es wird ein Würfel der Kantenlänge a betrachtet, vereinfachende Annahme: 1/3 der Gasmasse fliegt jeweils in x, y und z Richtung zwischen den Wänden hin und her und überträgt den Impuls 2 m v gegen die Wand, da angehalten und in Gegenrichtung wieder beschleunigt wird. Damit liefert der Impulssatz, allgemein M v = F t (Masse Geschwindigkeit = Kraft Zeit) hier 1/3 m 2v = p a² 2a/v, die Kraft ist also Druck mal Wandfläche a², die Zeit, die die Masse braucht, bis sie wieder gegen die Wand schlägt, ist 2a/v, Weg/Geschwindigkeit.
Also 1/2 m v² = 3/2 P V = Ekin, also ist die gesamte kinetische Energie sofort bekannt, da einfach 1,5 mal Druck mal Volumen. Die atomare Masseneinheit u=1,6605655/10^27 kg entspricht in etwa einer Protonen- oder Neutronenmasse. Ein Heliumatom wiegt 4,003 u, weil es 2 Protonen und 2 Neutronen enthält. Damit hat ein Atom die Masse mm=6,6472/10^27 kg. Damit ergibt sich die Dichte ro= p mm/ k T = 0,178594 kg/m³ und damit ist die Gesamtmasse m=1,78594 /10°4 kg. Mit der Ausgangsgleichung:
1/2 m v² = 3/2 P V ergibt sich v= Wurzel (3 P V/m) = 1304,6 m/s. Wenn man weiß, dass ein mol eines beliebigen Gases unter Normbedingungen 22,4 Liter Volumen einnimmt und Na = 6,022 *10^23 Teilchen hat, kann man m auch als mm NA/22,4 berechnen, Na ist die Zahl des Avogadro: "Gleiche Volumina verschiedener Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl Teilchen"

 

 

 

 

 


Mechanik 1

 


1) Graphische Statik

Mechanik1, Seileck, Resultierende und Abstand:
 https://youtu.be/DN1u5ddN5xM
Resultierende aus Rechteck bilden, Resultierende aus Dreieck bilden, besser systematisch durchnumerieren, F1, F2 (Rechteck), F3 (Dreieck), rechts F4, Kräfte F1 bis F4 im Kräfteplan einzeichnen, so dass sie sich nachlaufen, Resultierende im Kräfteplan einzeichnen. Pol wählen, Seilstrahlen S1-S5 im Kräfteplan einzeichnen, Lageplan, in A anfangen mit Seilstrahl 1, mit Wirkungslinie F1 schneiden, weiter mit Seilstrahl 2... bis zum Seilstrahl 5, der Ort, wo die Resultierende angreift, ist der Schnittpunkt von S1 mit S5.
Rechnerisch prüfen: Fz, Fx berechnen, Resultierende nach Pythagoras, Winkel ga = arctan (Fz/Fx), Saumme Ma bilden, a = Ma/Fz, a = b mal sin ga.

Viergelenkkette mit 2 Kräften:
 https://youtu.be/XuZnG3KYGco
Zuerst grafische Lösung, rechten Knoten freischneiden, mit F2 die Stabkräfte S2 und S3 bestimmen, dann linken Knoten frischneiden, Kraft F1 und S1 bestimmen, im Kräfteplan laufen sich die Pfeile nach, Pfeile in den Lageplan übertragen. Dann rechnerische Lösung wo man sich zunächst Sinus und Cosinus der entsprechenden Winkel besorgt und dann wieder den rechten und dann den linken Knoten freischneidet. Zum Schluss noch ein fortgeschrittenes Lösungsverfahren, das Seileck, dass die Konstruktion in einer Skizze ermöglicht.

Kran, Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten:
 https://youtu.be/RURdO6Df2so
Die Lösung erfolgt grafisch, indem G im Kräfteplan gezeichnet wird, die Wirkungslinien von S2, S3 angetragen und die Kräfte so eingezeichnet werden, dass sie sich nachlaufen. Übertragen der Kräfte in den Lageplan gibt Auskunft, dass unten Druck und oben Zug ist. Rechnerisch: Knoten freischneiden, alle Stäbe als Zug ansetzen, Summe Fx, Fy=0 ergibt zwei Gleichungen für S2, S3.

Brücke mit 6 Vertikalkräften:
 https://youtu.be/PXgqfWzgKFo
Die Brücke ist symmetrisch, die Pylonkräfte sind also gleich, Summe der Vertikalkräfte ergibt jeweils 3F. Jetzt eine Systemhälfte freischneiden, Summe MD ergibt den horizontalen Seilzug H = 2F =400 kN. Summe der Momente für die drei schrägen Seilabschnitte ergeben die Höhen h1=6m, h2=4m, h3=2m und der arctan liefert die zugehörigen Winkel.
Grafisch erfolgt die Lösung mit dem Seileck, wobei die Kraft F sechsmal untereinander gezeichnet wird, 2F rechts davon genau in der Mitte wählt man den Pol, und braucht nur noch die Seilstrahlen im Kräfteplan einzuzeichnen und in den Lageplan zu übertragen. Jedes Dreieck im Kräfteplan entspricht den drei sich nachlaufenden Kräften am jeweiligen Knoten.

Resultierende von 6 Kräften graphisch:
 https://youtu.be/ZLWtzP9FSBg
Die Kräfte werden in den Lageplan so übertragen, dass sie sich nachlaufen. Dann wird die Resultierende R12 im Kräfteplan konstruiert, vom Anfangspunkt F1 bis zum Endpunkt F2, genauso R123, R1-4, R1-5, R1-6=Rges.
Im Lageplan wird R12 im Schnittpunkt der Wirkungslinien F1, F2 angetragen. Schneiden mit der Wirkungslinie von F3, dort R123 antragen usw.
Oder die "Profilösung" mit Seileck: Auch hier im Kräfteplan alle Kräfte nachlaufend einzeichnen, Pol an beliebiger Stelle wählen und mit allen anderen Punkten verbinden, ergibt Seilstrahlen 1 bis 7. Jetzt im Lageplan Seilstrahl 1 irgendwo einzeichnen, mit F1 schneiden, dort Seilstrahl 2 antragen und mit Wirkungslinie F2 schneiden usw. die Resultierende greift im Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahles an.

Schiff mit zwei Schleppern:
 https://youtu.be/-ZZsDj_2qDA
Man kann die Aufgaben graphisch oder rechnerisch lösen. Graphisch ist a) ein Dreieck mit zwei Seiten und einem Winkel, zeichne F2 im Winkel a2 und schlage einen Kreis mit dem Radius F1, der die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet.
Rechnerisch: Summe Fx ergibt F1 Sin al1 = F2 sin al2, nach al1 auflösen, Rechner auf Degree, Summe Fy ergibt Fr = F1 cos al1 + F2 cos al2, nach Fr auflösen.
In b) Fr zeichnen, 30° Winkel, Kreis mit dem Radius F2 schlagen und den Schnittpunkt mit dem kleineren Winkel wählen. Rechnerisch beide Gleichungen quadrieren und aufaddieren, ergibt den Cosinussatz, man erhält eine quadratische Gleichung für F1, die mit der p-q-Formel zu lösen ist. Die kleinere Lösung ist maßgebend.
In c) ergibt die Bedingung F2 soll minimal werden einen rechten Winkel zwischen den Kräften F1, F2, da das Lot die Kürzeste Strecke von einem Punkt zu einer Geraden ist. Winkelsumme im Dreieck ist 180°, also al2=60°, F1 = Fr cos 30°, F2 = Fr sin 30°.


Scheibe mit drei Stäben und zwei Kräften:
 https://youtu.be/Z3wTQpILqLc
Rechnerisch gibt es drei Punkte, wo die Summe der Momente jeweils nur einen unbekannten Stab enthält. Kennt man jedoch den schrägen Stab, kann man auch mit Summe Fx, Fy=0 die restlichen Stabkräfte bestimmen.

System mit vielen schrägen Kräften und 3 Stäben:
 https://youtu.be/KVOeNRRraPw
Einige Kraftgruppen werden vorteilhaft zu Resultierenden zusammengefasst. Dann wird das Gesamtsystem freigeschnitten und die drei Stäbe als Zugkräfte angesetzt. Die Summe der Momente um einen Bezugspunkt wird allgemein erklärt, ebenso verschiedene Winkelbeziehungen. Dann wird die Summe der Momente um A, den Schnittpunkt S1, S2 gebildet und nach S3 aufgelöst. Mit der Summe der Kräfte horizontal und vertikal ergeben sich S2 und S3. Graphisch werden die Kräfte zu einer Resultierenden zusammengefasst, die im Kräfteplan leicht zu konstruieren ist, auf deren Wirkungslinie es aber ankommt, der nur im Lageplan konstruierbar ist. Das Culmann Verfahren wird erläutert, und das Seileck Verfahren als Alternative.

 

 


2) Kraftschraube

Kraftschraube:
 https://youtu.be/wCpOoPcS_A8
An einem Quader greifen 47 Kräfte an. Die resultierende Kraft und das resultierende Moment werden bestimmt, das ist die Dyname. Dann wird eine Gerade bestimmt, indem die Formel
Ortsvektor = Kraftvektor kreuz Momentenvektor durch Betrag der Kraft zum Quadrat angewendet, wozu als Richtungsvektor noch lambda mal der Richtung der Kraft zuaddiert wird. Bei der Herleitung der Formel hab ich leider etwas geschlampt. Die Geradengleichung bezieht sich auf den Punkt A, den ich als Ursprung meines Koordinatensystems verwende. Wäre dieser Koordinatenursprung um alinks vom Punkt A, so müsste ich noch den Vektor zu A, z. B. (1,0,0) a, auf die Gerade aufaddieren.

Resultierendes Moment:
 https://youtu.be/tufGLK1MgY0
Vektoren haben außer den Zahlen auch eine Einheit, Ortsvektoren zum Beispiel m (Meter), Kraftvektoren zum Beispiel N (Newton). Die Resultierende Kraft ist F1 + F2, das resultierende Moment ist r1 x F1 + r2 x F2.
Bezüglich des Punktes P erhält man das resultierende Moment, indem man von sämtlichen Ortsvektoren, also r1 und r2, rp abzieht und wieder die Kreuzprodukte bildet. Weit schneller bekommt man das gleiche Ergebnis, indem man auf M0 das Kreuzprodukt aus r0-rp mit R aufaddiert, r0 ist der Nullvektor.

Würfel mit 3 Kräften, Resultierende und Moment im Raum                                                                  https://youtu.be/aMM0mOYnzTo
Kraft 3 wird in Komponenten aufgeteilt, Resultierende in den drei Richtungen bestimmt, dann soll F3 in e3 Richtung wirken, drei Achsen um D mit rechter Hand ist schneller als drei Kreuzprodukte, um zum resultierenden Moment zu kommen.

 

 

 


3) Statische Bestimmtheit


Statische Bestimmtheit:
 https://youtu.be/xocyh_5aqd8
Es wird das allgemeine Abzählkriterium und ein dem System angemessenes Abzählkriterium vorgeführt, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt. Mit dem Aufbaukriterium kann auch die hinreichende Bedingung nachgewiesen werden, sofern die beiden Lager und das Gelenk nicht auf derselben Wirkungslinie liegen, andernfalls liegt eine Ausnahmelagerung vor, also ein unbrauchbares System, das in einer Richtung verschieblich, in der anderen unbestimmt oder überbestimmt wäre.

Fachwerk, statische Bestimmtheit:
 https://youtu.be/dWZjkAhNG88
Das Abzählkriterium liefert 22 Gleichungen für 22 Kräfte, die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit ist erfüllt. Das Aufbaukriterium sagt aus, dass im Unterbau ein Stab zu viel ist, während oben einer fehlt, unten also ein innerlich statisch unbestimmtes Viereck mit möglichen Zwängungen aus Temperatur, oben setzt sich die Konstruktion einfach in Bewegung bei der geringsten Horizontalkraft.


4) Gleichgewicht, Lager- und Gelenkkräfte

Mechanik1, Gerberträger, Freikörperbild:
 https://youtu.be/irwsN_1qekg
Abzählen ergibt 6 Gleichungen für 4 Lager- und zwei Gelenkkräfte, Aufbauen: Balken auf zwei Stützen, da drauf wieder Balken auf zwei Stützen, rechten Teil freischneiden, Gelenkkraft und Lagerkraft C ausrechnen, Gelenkkräfte umdrehen, linken Teil ins Gleichgewicht setzen.

Mechanik1, Freikörperbild:
 https://youtu.be/NvwgdRVpeM0
Geometrie: Sin, cos al = 1 durch Wurzel 5 bzw. 2 durch Wurzel 5, Resultierende erzeugt, Stabkraft in Vertikal + Horizontalkraft zerlegt, Summe Kräfte in Verschiebungsrichtung der Einspannung ergibt Stabkraft S, Summe der Kräfte senkrecht dazu die Einspannkraft A, und Summe der Momente um A das Einspannmoment. Die Stabkraft wird dabei in das Festlager geschoben und dort in Komponenten zerteilt.

Mechanik1, Zwei Walzen:
 https://youtu.be/LTXhQSJj-WQ
Zwei Walzen werden freigeschnitten, ein gedrehtes Koordinatensystem eingeführt und mit Summe Fx=0, Summe Fy=0 die beiden Seil- sowie die beiden Normalkräfte bestimmt.

Mechanik1, Dreigelenkbogen, zwei Kräfte, Ah bestimmen:
 https://youtu.be/U6mBKPTTwWU
Rechts nur Stabkraft, F in Mittelpunkt verschieben und aufteilen, Summe Ma ergibt S, Summe H, V die Lagerkräfte in A, Sucht man nur Ah, mit Summe Mp schneller. Freikörperbild zeichnen.
Mechanik1,räumliches Gleichgewicht. https://youtu.be/vniPZYtMSy4
System wird von oben aus betrachtet, Schwerpunkt ausrechnen, Lasten und Stabkräfte einzeichnen, Summe M um die drei Achsen durch das Festlager ergibt die drei Stabkräfte, Summe F ergibt die drei Lagerkräfte.

Mechanik1, Seile am Tetraeder:
 https://youtu.be/kpYrsCmjHKI
Geometrie des Tetraeders klären, zuerst eine Dreiecksfläche mit Pythagoras bearbeiten ergibt Höhe des Dreiecks h1 = Wurzel3/2, dann Schnitt durch den Lotfußpunkt legen, es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, von denen ich eins aussuchen kann, um die Tetraederhöhe h = Wurzel aus 2/3 mal a.
Jetzt einen Schnitt um eine Stange legen, Seilkräfte als Resultierende antragen, Summe M um Tetraederspitze ergibt R, und dann wieder aufteilen ergibt S = 0,2722 F = F mal 1/3 mal Wurzel aus 2/3.

Mechanik, schräge Tür mit Seil:
 https://youtu.be/RyXGslpyn7M
Das Moment als Kreuzprodukt wird allgemein erklärt. F mit einem Einheitsvektor multipliziert gibt den Seilk